Dispersión de Møller

La dispersión de Møller es el nombre que se le da a la dispersión electrón -electrón en la teoría cuántica de campos , llamada así por el físico danés Christian Møller . La interacción de electrones que se idealiza en la dispersión de Møller forma la base teórica de muchos fenómenos familiares, como la repulsión de electrones en el átomo de helio. Si bien anteriormente muchos colisionadores de partículas se diseñaron específicamente para colisiones electrón-electrón, más recientemente los colisionadores electrón-positrón se han vuelto más comunes. Sin embargo, la dispersión de Møller sigue siendo un proceso paradigmático dentro de la teoría de las interacciones de partículas.

Podemos expresar este proceso en la notación habitual, a menudo utilizada en física de partículas :$${\displaystyle e^{-}e^{-}\longrightarrow e^{-}e^{-},}$$

En electrodinámica cuántica , existen dos diagramas de Feynman de nivel de árbol que describen el proceso: un diagrama de canal t en el que los electrones intercambian un fotón y un diagrama de canal u similar. La simetría cruzada , uno de los trucos que se utilizan a menudo para evaluar los diagramas de Feynman, implica en este caso que la dispersión de Møller debe tener la misma sección transversal que la dispersión de Bhabha (dispersión electrón- positrón ).

En la teoría electrodébil, el proceso se describe en cambio mediante cuatro diagramas de nivel de árbol: los dos de QED y un par idéntico en el que se intercambia un bosón Z en lugar de un fotón. La fuerza débil es puramente levógira, pero las fuerzas débil y electromagnética se mezclan en las partículas que observamos. El fotón es simétrico por construcción, pero el bosón Z prefiere partículas levógiras a partículas diestras. Por lo tanto, las secciones transversales para electrones levógiros y diestros difieren. La diferencia fue notada por primera vez por el físico ruso Yakov Zel'dovich en 1959, pero en ese momento creía que la asimetría violadora de paridad (unos pocos cientos de partes por mil millones) era demasiado pequeña para ser observada. Esta asimetría violadora de paridad se puede medir disparando un haz polarizado de electrones a través de un objetivo de electrones no polarizado ( hidrógeno líquido , por ejemplo), como se hizo mediante un experimento en el Centro de Aceleradores Lineales de Stanford , SLAC-E158. ^[1] La asimetría en la dispersión de Møller es

$${\displaystyle A_{\rm {PV}}=-m_{e}E{\frac {G_{\rm {F}}}{{\sqrt {2}}\pi \alpha }}{\frac {16\sin ^{2}\Theta _{\text{cm}}}{\left(3+\cos ^{2}\Theta _{\text{cm}}\right)^{2}}}\left({\frac {1}{4}}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}\right),}$$

donde m _e es la masa del electrón, E es la energía del electrón entrante (en el marco de referencia del otro electrón), es la constante de Fermi , es la constante de estructura fina , es el ángulo de dispersión en el marco del centro de masa, y es el ángulo de mezcla débil, también conocido como ángulo de Weinberg . $Estilo de visualización G_{\rm {F}}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \Theta _ {\text{cm}}}$${\displaystyle \theta _ {\rm {W}}}$

La dispersión de Møller se puede calcular desde el punto de vista de la QED, a nivel de árbol, con la ayuda de los dos diagramas que se muestran en esta página. Estos dos diagramas contribuyen en el orden principal desde el punto de vista de la QED. Si tomamos en cuenta la fuerza débil, que se unifica con la fuerza electromagnética a alta energía, entonces tenemos que agregar dos diagramas a nivel de árbol para el intercambio de un bosón. Aquí centraremos nuestra atención en un cálculo estricto de la sección eficaz mediante QED a nivel de árbol, que es bastante instructivo pero tal vez no sea la descripción más precisa desde un punto de vista físico. ${\displaystyle Z^{0}}$

Antes de la derivación, escribimos los 4-momentos como ( y para los electrones entrantes, y para los electrones salientes, y ): $estilo de visualización p_{1}}$$estilo de visualización p_{2}$$estilo de visualización p_{3}$$estilo de visualización p_{4}}$${\displaystyle m=m_{e}}$

$${\displaystyle p_{1}=(E,0,0,p),~p_{2}=(E,0,0,-p),}$$

$${\displaystyle p_{3}=(E,p\sin \theta ,0,p\cos \theta ),~p_{4}=(E,-p\sin \theta ,0,-p\cos \theta ).}$$

Las variables de Mandelstam son:

$${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}}$$

$${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}}$$

$${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}}$$

Estas variables de Mandelstam satisfacen la identidad: . ${\displaystyle s+t+u\equiv \suma m_{j}^{2}=4m^{2}}$

Según los dos diagramas de esta página, el elemento de matriz del canal t es

$${\displaystyle i{\mathcal {M}}_{t}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\frac {-i}{t}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2}),}$$

El elemento de matriz del canal u es

$${\displaystyle i{\mathcal {M}}_{u}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2} ){\frac {-i}{u}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1}).}$$

Así que la suma es

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\mathcal {M}}&=i({\mathcal {M}}_{t}-{\mathcal {M}}_{u})\\&=-i(-ie)^{2}\left[{\frac {1}{t}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})-{\frac {1}{u}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})\right].\end{aligned}}}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\mathcal {M}}|^{2}&=e^{4}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad +{\frac {1}{u^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]{\biggr \}}.\end{aligned}}}$$

Para calcular la sección transversal no polarizada, hacemos un promedio de los espines iniciales y sumamos los espines finales, con el factor 1/4 (1/2 para cada electrón entrante):

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}&={\frac {e^{4}}{4}}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} [(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }]{\biggl \}}\end{aligned}}}$$

donde hemos utilizado la relación . A continuación calcularemos las trazas. ${\displaystyle \sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}$

El primer término entre llaves es

$${\displaystyle {\begin{aligned}&~~{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {16}{t^{2}}}(p_{1}^{\mu }p_{3}^{\nu }+p_{3}^{\mu }p_{1}^{\nu }+(-p_{13}+m^{2})g^{\mu \nu })(p_{2\mu }p_{4\nu }+p_{4\mu }p_{2\nu }+(-p_{24}+m^{2})g_{\mu \nu })\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{23}p_{14}-m^{2}p_{13}-m^{2}p_{24}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+2m^{2}(p_{14}-p_{12}){\big )}\\&={\frac {8}{t^{2}}}(s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4})\end{aligned}}}$$

Aquí , y hemos utilizado la identidad de matriz ${\displaystyle p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}}$${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }]=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$$

y esa traza de cualquier producto de un número impar de es cero. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

De manera similar, el segundo término es

$${\displaystyle {\begin{aligned}&~~{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {32}{u^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}-m^{2}p_{23}-m^{2}p_{14}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {8}{u^{2}}}(s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4})\end{aligned}}}$$

Uso de las identidades matriciales ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=-32,}$$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=16g^{\rho \sigma },}$$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\gamma _{\mu }\gamma ^{\tau }\gamma _{\nu }]=-32g^{\rho \lambda }g^{\sigma \tau },}$$

y la identidad de las variables de Mandelstam: , obtenemos el tercer término ${\displaystyle s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} \left[(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }\right]\\={}&-{\frac {32}{tu}}\left(-2p_{12}p_{34}+2m^{2}(p_{12}+p_{13}+p_{14})-2m^{4}\right)\\={}&{\frac {16}{tu}}\left(s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}\right)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}&\equiv {\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}\\&=2e^{4}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\end{aligned}}.}$$

Sustituimos los momentos que hemos establecido aquí, que son

$${\displaystyle s=4E^{2}=E_{CM}^{2},}$$

$${\displaystyle t=2p^{2}(\cos \theta -1),}$$

$${\displaystyle u=2p^{2}(-\cos \theta -1).}$$

Finalmente obtenemos la sección transversal no polarizada. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {1}{64\pi ^{2}E_{CM}^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{2E_{CM}^{2}}}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big [}4(m^{2}+2p^{2})^{2}+{\big (}4p^{4}-3(m^{2}+2p^{2})^{2}{\big )}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big ]}.\end{aligned}}}$$

con y . ${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}}$${\displaystyle E_{CM}=2E}$

En el límite no relativista, , ${\displaystyle m\gg p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}4-3\sin ^{2}\theta {\Big )}\\&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}1+3\cos ^{2}\theta {\Big )}.\end{aligned}}}$$

En el límite ultrarelativista, , ${\displaystyle m\ll p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}16p^{4}-8p^{4}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big )}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}3+\cos ^{2}\theta {\Big )}^{2}.\end{aligned}}}$$

• SLAC E158: Medición de la carga DÉBIL del electrón