Dispersión de Møller

La dispersión de Møller es el nombre que recibe la dispersión electrón - electrón en la teoría cuántica de campos , en honor al físico danés Christian Møller, quien la derivó en 1932. ^{[ 1 ]} La interacción electrónica idealizada en la dispersión de Møller constituye la base teórica de muchos fenómenos conocidos, como la repulsión de electrones en el átomo de helio . Si bien anteriormente muchos colisionadores de partículas se diseñaban específicamente para colisiones electrón-electrón, más recientemente los colisionadores electrón-positrón se han vuelto más comunes. No obstante, la dispersión de Møller sigue siendo un proceso paradigmático dentro de la teoría de las interacciones de partículas.

Podemos expresar este proceso con la notación habitual, que se usa a menudo en física de partículas :$${\displaystyle e^{-}e^{-}\longrightarrow e^{-}e^{-},}$$

En electrodinámica cuántica , existen dos diagramas de Feynman de nivel árbol que describen el proceso: un diagrama de canal t en el que los electrones intercambian un fotón y un diagrama de canal u similar. La simetría de cruce , uno de los trucos que se utilizan a menudo para evaluar los diagramas de Feynman, implica en este caso que la dispersión de Møller debería tener la misma sección transversal que la dispersión de Bhabha (dispersión electrón- positrón ).

En la teoría electrodébil, el proceso se describe mediante cuatro diagramas de nivel de árbol: los dos de QED y un par idéntico en el que se intercambia un bosón Z en lugar de un fotón. La fuerza débil es puramente levógira, pero las fuerzas débil y electromagnética se mezclan en las partículas que observamos. El fotón es simétrico por construcción, pero el bosón Z prefiere partículas levógiras a dextrógiras. Por lo tanto, las secciones transversales para electrones levógiros y dextrógiros difieren. Esta diferencia fue observada por primera vez por el físico ruso Yakov Zel'dovich en 1959, pero en aquel momento creía que la asimetría que viola la paridad (unos cientos de partes por mil millones) era demasiado pequeña para ser observada. Esta asimetría que viola la paridad puede medirse disparando un haz polarizado de electrones a través de un blanco de electrones no polarizados ( hidrógeno líquido , por ejemplo), como se hizo en un experimento en el Centro del Acelerador Lineal de Stanford , SLAC-E158. ^{[ 2 ]} La asimetría en la dispersión de Møller es

$${\displaystyle A_{\rm {PV}}=-m_{e}E{\frac {G_{\rm {F}}}{{\sqrt {2}}\pi \alpha }}{\frac {16\sin ^{2}\Theta _{\text{cm}}}{\left(3+\cos ^{2}\Theta _{\text{cm}}\right)^{2}}}\left({\frac {1}{4}}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}\right),}$$

donde m _e es la masa del electrón, E la energía del electrón incidente (en el sistema de referencia del otro electrón),${\displaystyle G_{\rm {F}}}$es la constante de Fermi ,${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina ,${\displaystyle \Theta _{\text{cm}}}$es el ángulo de dispersión en el sistema de referencia del centro de masas , y${\displaystyle \theta _ {\rm {W}}}$es el ángulo de mezcla débil, también conocido como ángulo de Weinberg .

La dispersión de Møller se puede calcular desde el punto de vista de la QED, a nivel de árbol, con la ayuda de los dos diagramas que se muestran en esta página. Estos dos diagramas contribuyen en el orden principal desde el punto de vista de la QED. Si tenemos en cuenta la fuerza débil, que se unifica con la fuerza electromagnética a alta energía, entonces tenemos que añadir dos diagramas a nivel de árbol para el intercambio de una${\displaystyle Z^{0}}$bosón. Aquí centraremos nuestra atención en un cálculo QED estricto a nivel de árbol de la sección transversal, que es bastante instructivo pero tal vez no sea la descripción más precisa desde un punto de vista físico.

Antes de la derivación, escribimos los 4-momentos como (${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$para los electrones entrantes,${\displaystyle p_{3}}$y${\displaystyle p_{4}}$para electrones salientes y${\displaystyle m=m_{e}}$):

$${\displaystyle p_{1}=(E,0,0,p),~p_{2}=(E,0,0,-p),}$$

$${\displaystyle p_{3}=(E,p\sin \theta,0,p\cos \theta),~p_{4}=(E,-p\sin \theta,0,-p\cos \theta).}$$

Las variables de Mandelstam son:

$${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}}$$

$${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}}$$

$${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}}$$

Estas variables de Mandelstam satisfacen la identidad:${\displaystyle s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}}$.

Según los dos diagramas de esta página, el elemento de matriz del canal t es

$${\displaystyle i{\mathcal {M}}_{t}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\frac {-i}{t}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2}),}$$

El elemento de matriz del canal en U es

$${\displaystyle i{\mathcal {M}}_{u}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\frac {-i}{u}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1}).}$$

Entonces la suma es

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\mathcal {M}}&=i({\mathcal {M}}_{t}-{\mathcal {M}}_{u})\\&=-i(-ie)^{2}\left[{\frac {1}{t}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})-{\frac {1}{u}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})\right].\end{aligned}}}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\mathcal {M}}|^{2}&=e^{4}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad +{\frac {1}{u^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]{\biggr \}}.\end{aligned}}}$$

Para calcular la sección transversal no polarizada, promediamos sobre los espines iniciales y sumamos sobre los espines finales, con el factor 1/4 (1/2 por cada electrón incidente):

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}&={\frac {e^{4}}{4}}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} [(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }]{\biggl \}}\end{aligned}}}$$

donde hemos utilizado la relación${\displaystyle \sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}$A continuación, calcularíamos las trazas.

El primer término entre llaves es

$${\displaystyle {\begin{aligned}&~~{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {16}{t^{2}}}(p_{1}^{\mu }p_{3}^{\nu }+p_{3}^{\mu }p_{1}^{\nu }+(-p_{13}+m^{2})g^{\mu \nu })(p_{2\mu }p_{4\nu }+p_{4\mu }p_{2\nu }+(-p_{24}+m^{2})g_{\mu \nu })\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{23}p_{14}-m^{2}p_{13}-m^{2}p_{24}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+2m^{2}(p_{14}-p_{12}){\big )}\\&={\frac {8}{t^{2}}}(s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4})\end{aligned}}}$$

Aquí${\displaystyle p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}}$y hemos utilizado el${\displaystyle \gamma }$-identidad de matriz

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }]=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$$

y que el rastro de cualquier producto de un número impar de${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$es cero.

De manera similar, el segundo término es

$${\displaystyle {\begin{aligned}&~~{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {32}{u^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}-m^{2}p_{23}-m^{2}p_{14}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {8}{u^{2}}}(s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4})\end{aligned}}}$$

Utilizando el${\displaystyle \gamma }$-identidades matriciales

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=-32,}$$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=16g^{\rho \sigma },}$$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\gamma _{\mu }\gamma ^{\tau }\gamma _{\nu }]=-32g^{\rho \lambda }g^{\sigma \tau },}$$

y la identidad de las variables de Mandelstam:${\displaystyle s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}}$, obtenemos el tercer término

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} \left[(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }\right]\\={}&-{\frac {32}{tu}}\left(-2p_{12}p_{34}+2m^{2}(p_{12}+p_{13}+p_{14})-2m^{4}\right)\\={}&{\frac {16}{tu}}\left(s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}\right)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}&\equiv {\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}\\&=2e^{4}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\end{aligned}}.}$$

Sustituya en los momentos que hemos establecido aquí, que son

$${\displaystyle s=4E^{2}=E_{CM}^{2},}$$

$${\displaystyle t=2p^{2}(\cos \theta -1),}$$

$${\displaystyle u=2p^{2}(-\cos \theta -1).}$$

Finalmente obtenemos la sección transversal no polarizada $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {1}{64\pi ^{2}E_{CM}^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{2E_{CM}^{2}}}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big [}4(m^{2}+2p^{2})^{2}+{\big (}4p^{4}-3(m^{2}+2p^{2})^{2}{\big )}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big ]}.\end{aligned}}}$$

con${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}}$y${\displaystyle E_{CM}=2E}$.

En el límite no relativista,${\displaystyle m\gg p}$,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}4-3\sin ^{2}\theta {\Big )}\\&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}1+3\cos ^{2}\theta {\Big )}.\end{aligned}}}$$

En el límite ultrarrelativista,${\displaystyle m\ll p}$,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}16p^{4}-8p^{4}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big )}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}3+\cos ^{2}\theta {\Big )}^{2}.\end{aligned}}}$$

• SLAC E158: Medición de la carga débil del electrón