Fórmula de Mollweide

En trigonometría , la fórmula de Mollweide es un par de relaciones entre lados y ángulos en un triángulo. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una variante de una de las expresiones, con un estilo más geométrico, fue publicada por primera vez por Isaac Newton en 1707. Ambas relaciones fueron publicadas por Friedrich Wilhelm von Oppel en 1746 y posteriormente por Thomas Simpson en 1748. Karl Mollweide republicó el mismo resultado en 1808 sin citar a sus predecesores. ^{[ 3 ]}

Puede utilizarse para comprobar la consistencia de las soluciones de triángulos . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle a,}$${\displaystyle b,}$y${\displaystyle c}$Sean las longitudes de los tres lados de un triángulo.${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \beta ,}$y${\displaystyle \gamma }$Sean las medidas de los ángulos opuestos a esos tres lados respectivamente. Las fórmulas de Mollweide son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }},\\[10mu]{\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma }}.\end{aligned}}}$

Porque en un triángulo plano${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma ={\tfrac {1}{2}}\pi -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta ),}$Estas identidades pueden escribirse alternativamente de una forma en la que sean más claramente un caso límite de las analogías de Napier para triángulos esféricos (esta fue la forma utilizada por Von Oppel),

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}},\\[10mu]{\frac {ab}{c}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.\end{aligned}}}$

Dividir uno por el otro para eliminar${\displaystyle c}$da como resultado la ley de las tangentes ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{ab}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$

En términos de tangentes de medio ángulo solamente, la fórmula de Mollweide se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\\[10mu]{\frac {ab}{c}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }},\end{aligned}}}$

o equivalentemente

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta &={\frac {a+bc}{a+b+c}},\\[10mu]{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}&={\frac {{\phantom {-}}a-b+c}{-a+b+c}}.\end{aligned}}}$

Multiplicando los lados respectivos de estas identidades se obtiene una tangente de medio ángulo en términos de los tres lados,

${\displaystyle {\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\bigr )}^{2}={\frac {(a+bc)(a-b+c)}{(a+b+c)(-a+b+c)}}.}$

que se convierte en la ley de las cotangentes después de tomar la raíz cuadrada,

${\displaystyle {\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{sa}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }{sb}}={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{sc}}={\sqrt {\frac {s{\vphantom {)}}}{(sc)(sb)(sa)}}}={\frac {1}{r}},}$

dónde${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$es el semiperímetro y${\displaystyle r}$el radio del círculo inscrito .

Las identidades también pueden demostrarse equivalentes a la ley de los senos y la ley de los cosenos .

En trigonometría esférica , la ley de los cosenos y las identidades derivadas, como las analogías de Napier, tienen duales precisos que intercambian los ángulos centrales que miden los lados y los ángulos diedros en los vértices. En el límite infinitesimal , la ley de los cosenos para los lados se reduce a la ley de los cosenos planares y dos de las analogías de Napier se reducen a las fórmulas de Mollweide mencionadas anteriormente. Pero la ley de los cosenos para los ángulos degenera en${\displaystyle 0=0.}$Al dividir la longitud del lado al cuadrado por el exceso esférico${\displaystyle E,}$obtenemos una razón no nula, la relación trigonométrica esférica:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\tan {\tfrac {1}{2}}E}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }}.\end{aligned}}}$

En el límite infinitesimal, a medida que las tangentes de medio ángulo de los lados esféricos se reducen a longitudes de lados planos, la tangente de medio ángulo del exceso esférico se reduce al doble del área.${\displaystyle A}$de un triángulo plano, por lo que en el plano esto es:

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2A}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha \,\sin \beta }},}$

y asimismo para${\displaystyle a}$y${\displaystyle b.}$

Como corolarios (multiplicando o dividiendo la fórmula anterior en términos de${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$) obtenemos dos enunciados duales de las fórmulas de Mollweide. El primero expresa el área en términos de dos lados y el ángulo comprendido, y el otro es la ley de los senos:

${\displaystyle {\frac {ab}{2A}}={\frac {1}{\sin \gamma }},}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}.}$

Alternativamente, podemos expresar la segunda fórmula de una forma más cercana a una de las fórmulas de Mollweide (nuevamente la ley de las tangentes):

${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }}={\frac {ab}{a+b}}.}$

Una generalización de la fórmula de Mollweide es válida para un cuadrilátero cíclico.${\displaystyle \square ABCD.}$Indica las longitudes de los lados.${\displaystyle |AB|=a,}$${\displaystyle |BC|=b,}$${\displaystyle |CD|=c,}$y${\displaystyle |DA|=d}$y medidas angulares${\displaystyle \angle {DAB}=\alpha ,}$${\displaystyle \angle {ABC}=\beta,}$${\displaystyle \angle {BCD}=\gamma ,}$y${\displaystyle \angle {CDA}=\delta .}$Si${\displaystyle E}$es el punto de intersección de las diagonales, denotemos${\displaystyle \angle {CED}=\theta .}$Entonces: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {ac}{bd}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

Se pueden construir varias fórmulas variantes mediante sustitución basada en las identidades cuadriláteras cíclicas,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\phantom {-}}\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )={\phantom {-}}\sin {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\cos {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ),\\[3mu]\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )=-\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )=-\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma +\delta )=\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\alpha ).\end{aligned}}}$

Como relaciones racionales en términos de tangentes de medio ángulo de dos ángulos adyacentes, estas fórmulas se pueden escribir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {bd}{ac}}&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha -\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\tan {\tfrac {1}{2}}\beta }}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{alineado}}}$

Un triángulo puede considerarse como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, como${\displaystyle d}$Cuando se aproxima a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo.${\displaystyle \triangle A'B'C',}$y las fórmulas anteriores se simplifican a las fórmulas análogas de triángulos. Renombrando para que coincidan con la convención para triángulos, en el límite${\displaystyle a'=b,}$${\displaystyle b'=c,}$${\displaystyle c'=a,}$${\displaystyle \alpha '=\alpha +\delta -\pi =\pi -\theta ,}$${\displaystyle \beta '=\beta,}$y${\displaystyle \gamma '=\gamma .}$

• De Kleine, H. Arthur (1988), "Prueba sin palabras: la ecuación de Mollweide", Mathematics Magazine , 61 (5): 281, doi : 10.1080/0025570X.1988.11977390
• Karjanto, Natanael (2011), "La fórmula de Mollweide en la enseñanza de la trigonometría", Teaching Mathematics and Its Applications , 30 (2): 70– 74, arXiv : 1808.08049 , doi : 10.1093/teamat/hrr008
• Wu, Rex H. (2007),"La historia de Mollweide y algunas identidades trigonométricas"(PDF) (preimpresión)
• Wu, Rex H. (2020), "Demostración sin palabras: Las ecuaciones de Mollweide a partir de la ley de los senos", Mathematics Magazine , 93 (5): 386, doi : 10.1080/0025570X.2020.1817707