Teorema de convergencia monótona

En el campo matemático del análisis real , el teorema de convergencia monótona es cualquiera de una serie de teoremas relacionados que demuestran el buen comportamiento de convergencia de secuencias monótonas , es decir, secuencias que no son crecientes ni decrecientes . En su forma más simple, dice que una secuencia no decreciente acotada superiormente de números reales $a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K$ converge a su cota superior más pequeña, su supremo . Del mismo modo, una sucesión no creciente acotada inferiormente converge a su cota inferior más grande, su ínfimo . En particular, las sumas infinitas de números no negativos convergen al supremo de las sumas parciales si y solo si las sumas parciales están acotadas.

Para secuencias no negativas, doblemente indexadas y no decrecientes $0\leq a_{i,1}\leq a_{i,2}\leq \cdots$ , dice que tomar la suma y el supremo se pueden intercambiar.

En matemáticas más avanzadas, el teorema de convergencia monótona generalmente se refiere a un resultado fundamental en la teoría de la medida debido a Lebesgue y Beppo Levi que dice que para secuencias de funciones medibles no negativas que aumentan puntualmente $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots$ , tomar la integral y el supremo se pueden intercambiar, y el resultado será finito si cualquiera de ellos es finito.

Convergencia de una sucesión monótona de números reales

Teorema: Sea $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ser una secuencia monótona de números reales (ya sea $a_{n}\leq a_{n+1}$ a pesar de $n$ o $a_{n}\geq a_{n+1}$ a pesar de $n$ ). Entonces, las siguientes son equivalentes:

$(a_{n})$ tiene un límite finito en $\mathbb {R}$ .
$(a_{n})$ está delimitado.

Además, si $(a_{n})$ es no decreciente, entonces $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n}a_{n}$ ; si $(a_{n})$ es no creciente, entonces $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n}a_{n}$ . ^{[ 1 ]}

Prueba

(1 ⇒ 2) Supongamos $(a_{n})\to L\in \mathbb {R}$ . Por el $\varepsilon$ -definición de límite, existe $N$ de tal manera que $|a_{n}-L|<1$ a pesar de $n\geq N$ , por eso $|a_{n}|\leq |L|+1$ para $n\geq N$ . Dejar $M=\max\{\,|a_{1}|,\dots ,|a_{N-1}|,\,|L|+1\,\}$ . Entonces $|a_{n}|\leq M$ a pesar de $n$ , entonces $(a_{n})$ está delimitado.

(2 ⇒ 1) Supongamos $(a_{n})$ es limitado y monótono.

Si $(a_{n})$ es no decreciente y acotada superiormente, conjunto $c=\sup _{n}a_{n}$ . Para cualquier $\varepsilon >0$ , existe $N$ con $c-\varepsilon <a_{N}\leq c$ ; de lo contrario $c-\varepsilon$ sería un límite superior más pequeño que $c$ . Para $n\geq N$ La monotonicidad da $a_{N}\leq a_{n}\leq c$ , por eso $0\leq c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon$ . De este modo $a_{n}\to c=\sup _{n}a_{n}$ .
Si $(a_{n})$ es no creciente y está acotada inferiormente, o bien repita el argumento con $c=\inf _{n}a_{n}$ o aplicar el caso anterior a $(-a_{n})$ para obtener $a_{n}\to \inf _{n}a_{n}$ .

Esto demuestra la equivalencia.

Observación

La implicación "acotada y monótona ⇒ convergente" puede fallar $\mathbb {Q}$ porque el supremo/ínfimo de una sucesión racional no tiene por qué ser racional. Por ejemplo, $a_{n}=\lfloor 10^{n}{\sqrt {2}}\rfloor /10^{n}$ es no decreciente y está acotada superiormente por ${\sqrt {2}}$ , pero no tiene límite en $\mathbb {Q}$ (su límite real es ${\sqrt {2}}$ ).

Convergencia de una serie monótona

Existe una variante de la proposición anterior donde permitimos secuencias no acotadas en los números reales extendidos, los números reales con $\infty$ y $-\infty$ agregado.

{\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}

En los números reales extendidos, cada conjunto tiene un supremo (resp. ínfimo ) que por supuesto puede ser $\infty$ (resp. $-\infty$ ) si el conjunto no está acotado. Un uso importante de los reales extendidos es que cualquier conjunto de números no negativos $a_{i}\geq 0,i\in I$ tiene una suma independiente del orden bien definida

\sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,\ |J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

dónde ${\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]\subset {\bar {\mathbb {R} }}$ son los números reales no negativos extendidos superiores. Para una serie de números no negativos

\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{J\subset \mathbb {N} ,|J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}=\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i},

Por lo tanto, esta suma coincide con la suma de una serie si ambas están definidas. En particular, la suma de una serie de números no negativos no depende del orden de la suma.

Convergencia monótona de sumas no negativas

Dejar $a_{i,k}\geq 0$ Sea una secuencia de números reales no negativos indexados por números naturales. $i$ y $k$ . Supongamos que $a_{i,k}\leq a_{i,k+1}$ a pesar de $i,k$ . Entonces ^{[ 2 ]}^{: 168}

\sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}=\sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.

Prueba

Desde $a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}$ tenemos $\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}$ entonces $\sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}$ .

Por el contrario, podemos intercambiar sup y sum para sumas finitas recurriendo a la definición de límite , por lo que $\sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}$ por eso $\sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}$ .

Ejemplos

Matrices

El teorema establece que si tienes una matriz infinita de números reales no negativos $a_{i,k}\geq 0$ de tal manera que las filas sean débilmente crecientes y cada una esté acotada. $a_{i,k}\leq K_{i}$ donde los límites son sumables $\sum _{i}K_{i}<\infty$ Luego, para cada columna, las sumas de columnas no decrecientes $\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum K_{i}$ son acotadas y por lo tanto convergentes, y el límite de las sumas de las columnas es igual a la suma de la "columna límite". $\sup _{k}a_{i,k}$ ¿Cuál de los elementos es el supremo sobre la fila?

mi

Considere la expansión

\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}

Ahora está listo

a_{i,k}={\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}={\frac {1}{i!}}\cdot {\frac {k}{k}}\cdot {\frac {k-1}{k}}\cdot \cdots {\frac {k-i+1}{k}}

para $i\leq k$ y $a_{i,k}=0$ para $i>k$ , entonces $0\leq a_{i,k}\leq a_{i,k+1}$ con $\sup _{k}a_{i,k}={\frac {1}{i!}}<\infty$ y

\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}

.

El lado derecho es una secuencia no decreciente en $k$ , por lo tanto

\lim _{k\to \infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sup _{k}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}=e

.

Convergencia monótona para funciones medibles no negativas (Beppo Levi)

El siguiente resultado extiende la convergencia monótona de series no negativas al ámbito de la teoría de la medida. Es una piedra angular de la teoría de la medida y la integración; el lema de Fatou y el teorema de convergencia dominada se derivan directamente de él. Se debe a Beppo Levi , quien en 1906 demostró una ligera generalización de un resultado anterior de Henri Lebesgue . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Dejar $\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ denota el Borel $\sigma$ -álgebra en la semirrecta extendida $[0,+\infty ]$ (entonces $\{+\infty \}\in \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ ).

Teorema (Convergencia monótona para funciones medibles no negativas)

Dejar $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ ser una medida espacio y $X\in \Sigma$ . Si $\{f_{k}\}_{k\geq 1}$ es una secuencia de no negativos $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$ -funciones medibles en $X$ de tal manera que $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots \quad {\text{for all }}x\in X,$ entonces el supremo puntual $f:=\sup _{k}f_{k}$ es medible y $\int _{X}f\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

Prueba

Dejar $f=\sup _{k}f_{k}$ . Medibilidad de $f$ Esto se deduce ya que los límites/supremas puntuales de funciones medibles son medibles.

Límite superior. Por monotonicidad de la integral, $f_{k}\leq f$ implica $\limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \;\leq \;\int _{X}f\,d\mu .$

Límite inferior. Fijar una función simple no negativa. $s\leq f$ . Colocar $A_{k}=\{x\in X:\;s(x)\leq f_{k}(x)\}.$ Entonces $A_{k}\uparrow X$ porque $f_{k}\uparrow f\geq s$ . Para la función de conjunto $\nu _{s}(A):=\int _{A}s\,d\mu ,$ tenemos $\nu _{s}$ es una medida (escribe $s=\sum _{i}c_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}$ y nota $\nu _{s}(A)=\sum _{i}c_{i}\,\mu (A\cap E_{i})$ ), por lo tanto, por continuidad desde abajo, $\int _{X}s\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{A_{k}}s\,d\mu .$ En cada $A_{k}$ tenemos $s\leq f_{k}$ , entonces $\int _{A_{k}}s\,d\mu \;\leq \;\int _{X}f_{k}\,d\mu .$ Tomar límites da $\int _{X}s\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu$ . Finalmente, toma el supremo sobre todos los simples $s\leq f$ (lo que equivale a $\int _{X}f\,d\mu$ por definición de la integral de Lebesgue) para obtener $\int _{X}f\,d\mu \;\leq \;\liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

La combinación de los dos límites produce $\int _{X}f\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .\square$

Observaciones

(Finitud.) Las cantidades pueden ser finitas o infinitas; el lado izquierdo es finito si y solo si el lado derecho lo es.
(Límites puntuales e integrales.) Bajo las hipótesis,
- $\displaystyle \lim _{k\to \infty }f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k\to \infty }f_{k}(x)=\liminf _{k\to \infty }f_{k}(x)$ a pesar de $x$ ;
- por monotonicidad de la integral, $\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu .$ De forma equivalente, $\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\lim _{k\to \infty }f_{k}\,d\mu ,$ con el entendimiento de que los límites pueden ser $+\infty$ .
(Versión casi omnipresente.) Si la monotonía se mantiene $\mu$ -En casi todas partes, redefinir arbitrariamente la función límite en un conjunto nulo preserva la mensurabilidad y deja todas las integrales sin cambios. Por lo tanto, el teorema sigue siendo válido.
(Fundamento fundamental.) La demostración utiliza únicamente: (i) la monotonicidad de la integral para funciones medibles no negativas; (ii) que $A\mapsto \int _{A}s\,d\mu$ es una medida para simple $s$ y (iii) continuidad inferior de las medidas. Por lo tanto, el lema puede utilizarse para derivar otras propiedades básicas (por ejemplo, linealidad) de la integral de Lebesgue.
(Relajando el supuesto de monotonicidad.) Bajo hipótesis similares, se puede relajar la monotonicidad. ^{[ 5 ]} Sea $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ ser un espacio de medida, $X\in \Sigma$ y dejar $\{f_{k}\}_{k\geq 1}$ sean funciones medibles no negativas en $X$ de tal manera que $f_{k}(x)\to f(x)$ para ae $x$ y $f_{k}\leq f$ ae para todos $k$ . Entonces $f$ es medible, el límite $\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu$ existe y $\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\int _{X}f\,d\mu .$

Demostración basada en el lema de Fatou.

La demostración también puede basarse en el lema de Fatou en lugar de una demostración directa como la anterior, ya que el lema de Fatou puede demostrarse independientemente del teorema de convergencia monótona. Sin embargo, el teorema de convergencia monótona es, en cierto modo, más primitivo que el lema de Fatou. Se deduce fácilmente del teorema de convergencia monótona, y la demostración del lema de Fatou es similar y, posiblemente, un poco menos natural que la demostración anterior.

Como antes, la mensurabilidad se deriva del hecho de que ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$ casi en todas partes. El intercambio de límites e integrales es entonces una consecuencia sencilla del lema de Fatou. Uno tiene $\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu$ por el lema de Fatou, y luego, desde $\int f_{k}\,d\mu \leq \int f_{k+1}\,d\mu \leq \int fd\mu$ (monotonicidad), $\liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .$ Por lo tanto $\int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

Véase también

Notas

↑ Una generalización de este teorema fue dada por Bibby, John (1974). "Axiomatizaciones del promedio y una mayor generalización de secuencias monótonas" . Glasgow Mathematical Journal . 15 (1): 63– 65. doi : 10.1017/S0017089500002135 .
↑ Véase, por ejemplo, Yeh, J. (2006). Análisis real: Teoría de la medida y la integración . Hackensack, NJ: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.
↑ Rudin, Walter (1974). Análisis real y complejo ( ed. TMH ). McGraw–Hill. pág. 22.
↑ Schappacher, Norbert ; Schoof, René (1996), "Beppo Levi y la aritmética de las curvas elípticas" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 60, doi : 10.1007/bf03024818 , MR 1381581 , S2CID 125072148 , Zbl 0849.01036
↑ coudy ( https://mathoverflow.net/users/6129/coudy ), ¿Conoces teoremas importantes que aún se desconocen?, URL (versión: 2018-06-05): https://mathoverflow.net/q/296540

[1] Una generalización de este teorema fue dada por Bibby, John (1974). "Axiomatizaciones del promedio y una mayor generalización de secuencias monótonas" . Glasgow Mathematical Journal . 15 (1): 63– 65. doi : 10.1017/S0017089500002135 .

[2] Véase, por ejemplo, Yeh, J. (2006). Análisis real: Teoría de la medida y la integración . Hackensack, NJ: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.

[BigRudin-3] Rudin, Walter (1974). Análisis real y complejo ( ed. TMH ). McGraw–Hill. pág. 22.

[4] Schappacher, Norbert ; Schoof, René (1996), "Beppo Levi y la aritmética de las curvas elípticas" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 60, doi : 10.1007/bf03024818 , MR 1381581 , S2CID 125072148 , Zbl 0849.01036

[5] udy ( https://mathoverflow.net/users/6129/coudy ), ¿Conoces teoremas importantes que aún se desconocen?, URL (versión: 2018-06-05): https://mathoverflow.net/q/296540

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