razón de verosimilitud monótona

Supongamos que estás trabajando en un proyecto y puedes trabajar duro o holgazanear. Llama a tu elección esfuerzo.${\displaystyle \ e\ }$y la calidad del proyecto resultante${\displaystyle \ q~.}$Si el MLRP se cumple para la distribución de${\displaystyle \ q\ }$condicionado a tu esfuerzo${\displaystyle \ e\ }$Cuanto mayor sea la calidad, más probable es que hayas trabajado duro. Por el contrario, cuanto menor sea la calidad, más probable es que hayas holgazaneado.

1: Elige el esfuerzo${\displaystyle \ e\in \{H,L\}\ }$dónde${\displaystyle \ H\ }$significa un gran esfuerzo y${\displaystyle \ L\ }$significa poco esfuerzo.

2: Observar${\displaystyle \ q\ }$extraído de${\displaystyle \ f(q\ |\ e)~.}$Por la ley de Bayes con una distribución a priori uniforme ,

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } {\bigl [}\ e=H\ {\big |}\ q\ {\bigr ]}={\frac {f(q\ |\ H)}{\ f(q\ |\ H)+f(q\ |\ L)\ }}\ }$

3: Supongamos${\displaystyle \ f(q\ |\ e)\ }$satisface el MLRP. Reordenando, la probabilidad de que el trabajador haya trabajado duro es

${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 1+f(q\ |\ L)/f(q\ |\ H)\ }}\ }$

que, gracias al MLRP, es monótonamente creciente en${\displaystyle \ q\ }$(porque${\displaystyle \ {\frac {f(q\ |\ L)}{\ f(q\ |\ H)\ }}\ }$está disminuyendo en${\displaystyle \ q\ }$).

Por lo tanto, si un empleador está realizando una "evaluación del desempeño", puede inferir el comportamiento de su empleado a partir de los méritos de su trabajo.

Si la familia de variables aleatorias tiene el MLRP en${\displaystyle \ T(X)\ ,}$Se puede determinar fácilmente una prueba uniformemente más potente para la hipótesis.${\displaystyle \ H_{0}\$ :\ \theta \leq \theta _{0}\ } versus${\displaystyle \ H_{1}\$ :\ \theta >\theta _{0}~.}

Ejemplo: Deje${\displaystyle \ e\ }$ser un insumo para una tecnología estocástica – el esfuerzo del trabajador, por ejemplo – y ${\displaystyle \ y\ }$su resultado, cuya probabilidad se describe mediante una función de densidad de probabilidad.${\displaystyle \ f(y;e)~.}$Entonces, la propiedad de razón de verosimilitud monótona (MLRP) de la familia${\displaystyle \ f\ }$se expresa de la siguiente manera: Para cualquier ${\displaystyle \ e_{1},e_{2}\ ,}$el hecho de que ${\displaystyle e_{2}>e_{1}}$implica que la razón ${\displaystyle \ {\frac {\ f(y;e_{2})\ }{f(y;e_{1})}}\ }$está aumentando en ${\displaystyle \ y~.}$

Las familias exponenciales de un parámetro tienen funciones de verosimilitud monótonas. En particular, la familia exponencial unidimensional de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad con

${\displaystyle \ f_{\theta }(x)=c(\theta )\ h(x)\ \exp {\Bigl (}\ \pi \left(\theta \right)\ T\left(x\right)\ {\Bigr )}\ }$

tiene una razón de verosimilitud monótona no decreciente en el estadístico suficiente${\displaystyle \ T(x)\ ,}$siempre que${\displaystyle \ \pi (\theta )\ }$es no decreciente.

Las funciones de verosimilitud monótonas se utilizan para construir pruebas uniformemente más potentes , según el teorema de Karlin-Rubin . ^{[ 1 ]} Consideremos una medición escalar que tiene una función de densidad de probabilidad parametrizada por un parámetro escalar.${\displaystyle \ \theta \ ,}$y definir la razón de verosimilitud${\displaystyle \ \ell (x)={\frac {f_{\theta _{1}}(x)}{\ f_{\theta _{0}}(x)\ }}~.}$ Si${\displaystyle \ \ell (x)\ }$es monótono no decreciente, en${\displaystyle \ x\ ,}$para cualquier par${\displaystyle \ \theta _{1}\geq \theta _{0}\ }$(lo que significa que el mayor${\displaystyle \ x\ }$es, cuanto más probable sea${\displaystyle \ H_{1}\ }$es), entonces la prueba de umbral:

${\displaystyle \ \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}\ }$

dónde${\displaystyle \ x_{0}\ }$se elige de modo que${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } {\bigl \{}\ \varphi (X)\ {\big |}\ \theta _{0}\ {\bigr \}}=\alpha \ }$

es la prueba UMP de tamaño${\displaystyle \ \alpha \ }$para pruebas${\displaystyle \ H_{0}\$ :\ \theta \leq \theta _{0}~~} vs.${\displaystyle ~~H_{1}:\theta >\theta _{0}~.}$

Tenga en cuenta que exactamente la misma prueba también es UMP para realizar pruebas.${\displaystyle \ H_{0}\$ :\ \theta =\theta _{0}~~} vs.${\displaystyle ~~H_{1}:\theta >\theta _{0}~.}$

Las funciones de verosimilitud monótonas se utilizan para construir estimadores insesgados de la mediana , empleando métodos especificados por Johann Pfanzagl y otros. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Uno de estos procedimientos es análogo al procedimiento de Rao-Blackwell para estimadores insesgados de la media : El procedimiento es válido para una clase menor de distribuciones de probabilidad que el procedimiento de Rao-Blackwell para la estimación insesgada de la media, pero para una clase mayor de funciones de pérdida . ^{[ 3 ] : 713}

Si una familia de distribuciones${\displaystyle \ f_{\theta }(x)\ }$tiene la propiedad de razón de verosimilitud monótona en${\displaystyle \ T(X)\ ,}$

1. La familia tiene tasas de riesgo monótonamente decrecientes en${\displaystyle \ \theta \ }$(pero no necesariamente en${\displaystyle \ T(X)\ }$)
2. La familia exhibe la dominancia estocástica de primer orden (y por lo tanto de segundo orden) en${\displaystyle \ x\ ,}$y la mejor actualización bayesiana de${\displaystyle \ \theta \ }$está aumentando en${\displaystyle T(X)}$.

Pero no a la inversa: ni las tasas de riesgo monótonas ni el dominio estocástico implican el MLRP.

La MLR es una condición importante en la distribución de tipos de agentes en el diseño de mecanismos y la economía de la información , donde Paul Milgrom definió la "favorabilidad" de las señales (en términos de dominancia estocástica) como una consecuencia de la MLR. ^{[ 4 ]} La mayoría de las soluciones a los modelos de diseño de mecanismos asumen distribuciones de tipos que satisfacen la MLR para aprovechar métodos de solución que pueden ser más fáciles de aplicar e interpretar.