Matriz de Moore

En álgebra lineal , una matriz de Moore , introducida por EH Moore  (1896), es una matriz definida sobre un cuerpo finito . Cuando es una matriz cuadrada, su determinante se denomina determinante de Moore (esto no está relacionado con el determinante de Moore de una matriz hermítica cuaterniónica ). La matriz de Moore tiene potencias sucesivas del automorfismo de Frobenius aplicadas a sus columnas (comenzando con la potencia cero del automorfismo de Frobenius en la primera columna), por lo que es una matriz m × n o para todos los índices i y j . (Algunos autores utilizan la transpuesta de la matriz anterior). $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{1}^{q}&\puntos &\alpha _{1}^{q^{n-1}}\\\alpha _{2}&\alpha _{2}^{q}&\puntos &\alpha _{2}^{q^{n-1}}\\\alpha _{3}&\alpha _{3}^{q}&\puntos &\alpha _{3}^{q^{n-1}}\\\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\\alpha _{m}&\alpha _{m}^{q}&\puntos &\alpha _{m}^{q^{n-1}}\\\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle M_{i,j}=\alpha _{i}^{q^{j-1}}}$$

El determinante de Moore de una matriz de Moore cuadrada (por lo que m = n ) se puede expresar como:

$${\displaystyle \det(V)=\prod _{\mathbf {c} }\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{n}\alpha _{n}\right), }$$

donde c se ejecuta sobre un conjunto completo de vectores de dirección, que se hace específico al tener la última entrada distinta de cero igual a 1, es decir,

$${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i\leq n}\prod _{c_{1},\puntos ,c_{i-1}}\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{i-1}\alpha _{i-1}+\alpha _{i}\right).}$$

En particular, el determinante de Moore se anula si y sólo si los elementos de la columna de la izquierda son linealmente dependientes en el cuerpo finito de orden q . Por lo tanto, es análogo al wronskiano de varias funciones.

Dickson utilizó el determinante de Moore para encontrar los invariantes modulares del grupo lineal general sobre un campo finito.

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