Moran I

El valor de${\displaystyle I}$puede depender bastante de las suposiciones incorporadas en la matriz de ponderaciones espaciales${\displaystyle w_{ij}}$La matriz es necesaria porque, para abordar la autocorrelación espacial y modelar la interacción espacial, debemos imponer una estructura que restrinja el número de vecinos a considerar. Esto se relaciona con la primera ley de geografía de Tobler , que establece que todo depende de todo lo demás, pero las cosas más cercanas aún más; en otras palabras, la ley implica una función de decaimiento de la distancia espacial , de modo que, si bien todas las observaciones influyen en todas las demás, después de cierto umbral de distancia, esa influencia puede despreciarse.

La idea es construir una matriz que refleje con precisión sus suposiciones sobre el fenómeno espacial particular en cuestión. Un enfoque común es dar un peso de 1 si dos zonas son vecinas, y 0 en caso contrario, aunque la definición de "vecinos" puede variar. Otro enfoque común podría ser dar un peso de 1 a${\displaystyle k}$vecinos más cercanos, 0 en caso contrario. Una alternativa es utilizar una función de decaimiento de distancia para asignar pesos. A veces, la longitud de una arista compartida se utiliza para asignar diferentes pesos a los vecinos. La selección de la matriz de pesos espaciales debe guiarse por la teoría sobre el fenómeno en cuestión. El valor de${\displaystyle I}$Es bastante sensible a los pesos y puede influir en las conclusiones que se extraen sobre un fenómeno, especialmente al utilizar distancias.

El valor esperado del índice I de Moran bajo la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación espacial es

${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}$

La distribución nula utilizada para esta expectativa es que${\displaystyle x}$La entrada se permuta mediante una permutación.${\displaystyle \pi }$elegido uniformemente al azar (y la esperanza es sobre elegir la permutación).

Con tamaños de muestra grandes (es decir, cuando N tiende a infinito), el valor esperado tiende a cero.

Su varianza es igual a

${\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)S_{0}^{2}}}-(E(I))^{2}}$

dónde

${\displaystyle S_{0}=\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3S_{0}^{2}}$

${\displaystyle S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6S_{0}^{2}}$^{[ 5 ]}

Los valores significativamente inferiores a -1/(N-1) indican autocorrelación espacial negativa y los valores significativamente superiores a -1/(N-1) indican autocorrelación espacial positiva. Para la comprobación de hipótesis estadísticas, los valores I de Moran se pueden transformar en puntuaciones z .

Valores de${\displaystyle I}$rango entre${\displaystyle {\frac {N}{S}}_{0}w_{min}}$y${\displaystyle {\frac {N}{S}}_{0}w_{max}}$^{[ 6 ]} donde${\displaystyle w_{min}}$y${\displaystyle w_{max}}$son los valores propios mínimo y máximo correspondientes de la matriz de pesos. Para una matriz normalizada por filas${\displaystyle {\frac {N}{S}}_{0}=1}$.

El índice I de Moran está inversamente relacionado con el índice C de Geary , pero no son idénticos. El índice I de Moran mide la autocorrelación espacial global, mientras que el índice C de Geary es más sensible a la autocorrelación espacial local.