Teorema de Mordell-Weil

En matemáticas , el teorema de Mordell-Weil establece que para una variedad abeliana${\displaystyle A}$sobre un campo numérico${\displaystyle K}$, el grupo${\displaystyle A(K)}$de K puntos racionales de${\displaystyle A}$es un grupo abeliano finitamente generado , llamado grupo de Mordell-Weil . El caso con${\displaystyle A}$una curva elíptica${\displaystyle E}$y${\displaystyle K}$El campo de los números racionales es el teorema de Mordell , que responde a una pregunta aparentemente planteada por Henri Poincaré alrededor de 1901; fue demostrado por Louis Mordell en 1922. Es un teorema fundamental de la geometría diofántica y de la aritmética de las variedades abelianas .

El proceso de la cuerda tangente (una forma del teorema de adición en una curva cúbica ) se conocía ya en el siglo XVII. El proceso del descenso infinito de Fermat era bien conocido, pero Mordell logró establecer la finitud del grupo cociente.${\displaystyle E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )}$lo cual constituye un paso importante en la demostración. Ciertamente, la finitud de este grupo es una condición necesaria para${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ser finitamente generado; y muestra que el rango es finito. Esta resulta ser la dificultad esencial. Se puede probar mediante el análisis directo de la duplicación de un punto en E.

Algunos años más tarde André Weil retomó el tema, produciendo la generalización a jacobianos de curvas de género superior sobre cuerpos numéricos arbitrarios en su disertación doctoral ^{[ 1 ]} publicada en 1928. Se requirieron métodos más abstractos para llevar a cabo una demostración con la misma estructura básica. La segunda mitad de la demostración necesita algún tipo de función de altura , en términos de la cual acotar el 'tamaño' de los puntos de${\displaystyle A(K)}$. Alguna medida de las coordenadas servirá; las alturas son logarítmicas, por lo que (en términos generales) es una cuestión de cuántos dígitos se requieren para escribir un conjunto de coordenadas homogéneas . Para una variedad abeliana, no hay una representación preferida a priori , aunque como variedad proyectiva .

Ambas partes de la demostración han mejorado significativamente gracias a los avances técnicos posteriores: en la cohomología de Galois aplicada al descenso y en el estudio de las mejores funciones de altura (que son formas cuadráticas ).

El teorema deja varias preguntas sin respuesta:

• Cálculo del rango. Este sigue siendo un problema computacional exigente y no siempre tiene soluciones efectivas .
• Significado del rango: véase la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .
• Posibles subgrupos de torsión: Barry Mazur demostró en 1978 que el grupo de Mordell-Weil solo puede tener un número finito de subgrupos de torsión. Este es el caso de la curva elíptica de la conjetura de torsión .
• Para una curva${\displaystyle C}$en su variedad jacobina como${\displaystyle A}$¿puede la intersección de${\displaystyle C}$con${\displaystyle A(K)}$¿Ser infinito? El teorema de Faltings implica que esto es falso a menos que${\displaystyle C=A}$.
• En el mismo contexto, puede${\displaystyle C}$contienen infinitos puntos de torsión de${\displaystyle A}$Debido a la conjetura de Manin-Mumford , demostrada por Michel Raynaud , esto es falso a menos que se trate del caso de una curva elíptica.

• Geometría aritmética
• Grupo Mordell-Weil

• Weil, André (1929). "La aritmética de las corrientes algébriques". Acta Matemática . 52 (1): 281– 315. doi : 10.1007/BF02592688 . SEÑOR 1555278 . 
• Mordell, Louis Joel (1922). "Sobre las soluciones racionales de las ecuaciones indeterminadas de tercer y cuarto grado" . Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 21 : 179–192 .
• Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de las curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  106. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-0-387-09494-6 . ISBN 0-387-96203-4MR 2514094 .​