Convergencia de Moscú

En análisis matemático , la convergencia de Mosco es una noción de convergencia para funcionales que se utiliza en análisis no lineal y análisis de conjuntos . Nombrada en honor al matemático italiano Umberto Mosco, es un caso particular de Γ-convergencia . La convergencia de Mosco a veces se formula como convergencia "Γ-límite débil y Γ-límite fuerte", ya que utiliza tanto la topología débil como la fuerte en un espacio vectorial topológico X. En espacios de dimensión finita, la convergencia de Mosco coincide con la epiconvergencia , mientras que en espacios de dimensión infinita, la convergencia de Mosco es una propiedad estrictamente más fuerte.

Sea X un espacio vectorial topológico y sea X ^∗ el espacio dual de funcionales lineales continuos en X. Sean F _n  : X → [0, +∞] funcionales en X para cada n = 1, 2, ... Se dice que la secuencia (o, más generalmente, la red ) ( F _n ) converge en el sentido de Mosco a otro funcional F : X → [0, +∞] si se cumplen las dos condiciones siguientes:           

• desigualdad de límite inferior: para cada secuencia de elementos x _n  ∈ X que converge débilmente a x ∈ X ,   

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})\geq F(x);}$

• Desigualdad de límite superior: para cada x  ∈ X existe una sucesión aproximada de elementos x _n ∈ X , que converge fuertemente a x , tal que   

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})\leq F(x).}$

Dado que en la definición de Γ-convergencia se utilizan desigualdades de límites inferiores y superiores de este tipo, la convergencia de Mosco a veces se formula como convergencia “Γ-liminf débil y Γ-limsup fuerte”. La convergencia de Mosco a veces se abrevia como M-convergencia y se denota por

${\displaystyle \mathop {\text{M-lim}} _{n\to \infty }F_{n}=F{\text{ o }}F_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{\mathrm {M} }}F.}$

• Moscú, Umberto (1967). «Aproximación de las soluciones de algunas desigualdades variacionales» . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa . 21 (3): 373–394 .
• Mosco, Umberto (1969). "Convergencia de conjuntos convexos y de soluciones de desigualdades variacionales" . Advances in Mathematics . 3 (4): 510– 585. doi : 10.1016/0001-8708(69)90009-7 . hdl : 10338.dmlcz/101692 .
• Borwein, Jonathan M.; Fitzpatrick, Simon (1989). "Convergencia de Moscú y la propiedad de Kadec" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 106 (3): 843– 851. doi : 10.2307/2047444 . hdl : 1959.13/940515 . JSTOR 2047444 . 
• Mosco, Umberto. "Directorio de profesores del Instituto Politécnico de Worcester" .