Epiconvergencia

En análisis matemático , la epiconvergencia es un tipo de convergencia para funciones de valor real y funciones de valor real extendidas .

La epiconvergencia es importante porque constituye la noción de convergencia adecuada para aproximar problemas de minimización en el campo de la optimización matemática . La noción simétrica de hipoconvergencia es apropiada para problemas de maximización. La convergencia de Mosco es una generalización de la epiconvergencia a espacios de dimensión infinita.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio métrico y${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$una función de valor real para cada número natural${\displaystyle n}$Decimos que la secuencia${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a una función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$si para cada${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ para todo }}x_{n}\to x{\text{ y }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ para algún }}x_{n}\to x.\end{aligned}}}$

Supongamos que tenemos un problema de minimización difícil.

${\displaystyle \inf _{x\in C}g(x)}$

dónde${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$y${\displaystyle C\subseteq X}$Podemos intentar aproximar este problema mediante una secuencia de problemas más fáciles.

${\displaystyle \inf _{x\in C_{n}}g_{n}(x)}$

para funciones${\displaystyle g_{n}}$y conjuntos${\displaystyle C_{n}}$.

La epiconvergencia ofrece una respuesta a la pregunta: ¿En qué sentido deben converger las aproximaciones al problema original para garantizar que las soluciones aproximadas converjan a una solución del original?

Podemos integrar estos problemas de optimización en el marco de epiconvergencia definiendo funciones de valor real extendidas.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}g(x),&x\in C,\\\infty ,&x\not \in C,\end{cases}}\\[4pt]f_{n}(x)&={\begin{cases}g_{n}(x),&x\in C_{n},\\\infty ,&x\not \in C_{n}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Así que los problemas${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)}$y${\displaystyle \inf _{x\in X}f_{n}(x)}$son equivalentes a los problemas original y aproximado, respectivamente.

Si${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a${\displaystyle f}$, entonces${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }[\inf f_{n}]\leq \inf f}$. Además, si${\displaystyle x}$es un punto límite de minimizadores de${\displaystyle f_{n}}$, entonces${\displaystyle x}$es un minimizador de${\displaystyle f}$. En este sentido,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {argmin} f_{n}\subseteq \operatorname {argmin} f.}$

La epiconvergencia es la noción más débil de convergencia para la cual se cumple este resultado.

• ${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a${\displaystyle f}$si y solo si${\displaystyle (-f_{n})}$hipoconverge a${\displaystyle -f}$.
• ${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a${\displaystyle f}$si y solo si${\displaystyle (\operatorname {epi} f_{n})}$converge a${\displaystyle \operatorname {epi} f}$como conjuntos, en el sentido de convergencia de conjuntos de Painlevé-Kuratowski . Aquí,${\displaystyle \operatorname {epi} f}$es el epígrafe de la función${\displaystyle f}$.
• Si${\displaystyle f_{n}}$ epi-converge a${\displaystyle f}$, entonces${\displaystyle f}$es semicontinua inferior .
• Si${\displaystyle f_{n}}$es convexo para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a${\displaystyle f}$, entonces${\displaystyle f}$es convexo.
• Si${\displaystyle f_{n}^{1}\leq f_{n}\leq f_{n}^{2}}$y ambos${\displaystyle (f_{n}^{1})}$y ${\displaystyle (f_{n}^{2})}$epi-converger a ${\displaystyle f}$, entonces ${\displaystyle (f_{n})}$epi-converge a ${\displaystyle f}$.
• Si ${\displaystyle (f_{n})}$converge uniformemente a ${\displaystyle f}$en cada conjunto compacto de${\displaystyle \mathbb {R} _{n}}$y${\displaystyle (f_{n})}$son continuos, entonces${\displaystyle (f_{n})}$epiconverge e hipoconverge a ${\displaystyle f}$.
• En general, la epiconvergencia no implica ni se deriva de la convergencia puntual . Se pueden establecer supuestos adicionales sobre una familia de funciones puntualmente convergentes para garantizar la epiconvergencia.

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger (2009). "Límites epigráficos". Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  317. Medios científicos y comerciales de Springer. págs. 238–297 . doi : 10.1007/978-3-642-02431-3_7 . ISBN  978-3-540-62772-2.
• Kall, Peter (1986). "Aproximación a problemas de optimización: una revisión elemental". Matemáticas de la Investigación Operativa . 11 (1): 9– 18. doi : 10.1287/moor.11.1.9 .
• Attouch, Hedy; Mojados, Roger (1989). "Análisis epigráfico". Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 6 : 73– 100. Código bibliográfico : 1989AIHPC...6...73A . doi : 10.1016/S0294-1449(17)30036-7 .