El problema del gusano de Moser

El problema del gusano de Moser (también conocido como el problema de la manta del gusano madre ) es un problema sin resolver en geometría formulado por el matemático austro-canadiense Leo Moser en 1966. El problema pide la región de área más pequeña que puede acomodar cada curva plana de longitud 1. Aquí "acomodar" significa que la curva puede rotarse y trasladarse para encajar dentro de la región. En algunas variaciones del problema, la región está restringida a ser convexa .

Por ejemplo, un disco circular de radio 1/2 puede acomodar cualquier curva plana de longitud 1 colocando el punto medio de la curva en el centro del disco. Otra posible solución tiene la forma de un rombo con ángulos de vértice de 60° y 120° y con una diagonal larga de longitud unitaria. ^[1] Sin embargo, estas no son soluciones óptimas; se conocen otras formas que resuelven el problema con áreas más pequeñas.

No es completamente trivial que exista una cobertura de área mínima. Una posibilidad alternativa sería que exista un área mínima a la que se pueda aproximar pero que no se pueda alcanzar. Sin embargo, existe una cobertura convexa mínima . Su existencia se desprende del teorema de selección de Blaschke . ^[2]

Tampoco es trivial determinar si una forma dada forma una cubierta. Gerriets y Poole (1974) conjeturaron que una forma acomoda cada curva de longitud unitaria si y solo si acomoda cada cadena poligonal de longitud unitaria con tres segmentos, una condición más fácil de probar, pero Panraksa, Wetzel y Wichiramala (2007) demostraron que ningún límite finito en el número de segmentos en una policadena sería suficiente para esta prueba.

El problema sigue abierto, pero a lo largo de una serie de artículos los investigadores han estrechado la brecha entre los límites inferior y superior conocidos. En particular, Norwood y Poole (2003) construyeron una cubierta universal (no convexa) y demostraron que la forma mínima tiene un área de como máximo 0,260437; Gerriets y Poole (1974) y Norwood, Poole y Laidacker (1992) dieron límites superiores más débiles. En el caso convexo, Wang (2006) mejoró un límite superior a 0,270911861. Khandhawit, Pagonakis y Sriswasdi (2013) utilizaron una estrategia de mínimo-máximo para el área de un conjunto convexo que contiene un segmento, un triángulo y un rectángulo para mostrar un límite inferior de 0,232239 para una cubierta convexa.

En la década de 1970, John Wetzel conjeturó que un sector circular de 30° con un radio unitario es una cubierta con un área de . Movshovich y Wetzel (2017) y Panraksa y Wichiramala (2021) afirmaron de forma independiente dos pruebas de la conjetura. Si se confirma, esto reducirá el límite superior de la cubierta convexa en aproximadamente un 3 %. ${\displaystyle \pi /12\aproximadamente 0,2618}$

• Problema del sofá móvil : el problema de encontrar una forma de área máxima que pueda rotarse y trasladarse a través de un corredor en forma de L.
• Conjunto de Kakeya , un conjunto de área mínima que puede acomodar cada segmento de línea de longitud unitaria (se permiten traslaciones, pero no rotaciones)
• Problema de recubrimiento universal de Lebesgue : encuentre el área convexa más pequeña que puede cubrir cualquier conjunto plano de diámetro unitario.
• Bellman está perdido en un problema de bosque : encuentra el camino más corto para escapar de un bosque de tamaño y forma conocidos.

• Gerriets, John; Poole, George (1974), "Regiones convexas que cubren arcos de longitud constante", The American Mathematical Monthly , 81 (1): 36–41, doi :10.2307/2318909, JSTOR  2318909, MR  0333991.
• Khandhawit, Tirasan; Pagonakis, Dimitrios; Sriswasdi, Sira (2013), "Límite inferior para problemas de área de envoltura convexa y cobertura universal", International Journal of Computational Geometry & Applications , 23 (3): 197–212, arXiv : 1101.5638 , doi :10.1142/S0218195913500076, MR  3158583, S2CID  207132316.
• Norwood, Rick; Poole, George (2003), "Un límite superior mejorado para el problema del gusano de Leo Moser", Geometría discreta y computacional , 29 (3): 409–417, doi : 10.1007/s00454-002-0774-3 , MR  1961007.
• Norwood, Rick; Poole, George; Laidacker, Michael (1992), "El problema del gusano de Leo Moser", Geometría discreta y computacional , 7 (2): 153–162, doi : 10.1007/BF02187832 , MR  1139077.
• Panraksa, Chatchawan; Wetzel, John E.; Wichiramala, Wacharin (2007), "Cubrir arcos unitarios de n segmentos no es suficiente", Geometría discreta y computacional , 37 (2): 297–299, doi : 10.1007/s00454-006-1258-7 , MR  2295060.
• Wang, Wei (2006), "Un límite superior mejorado para el problema del gusano", Acta Mathematica Sinica , 49 (4): 835–846, MR  2264090.
• Panraksa, Chatchawan; Wichiramala, Wacharin (2021), "El sector de Wetzel cubre arcos unitarios" , Periodica Mathematica Hungarica , 82 (2): 213–222, arXiv : 1907.07351 , doi : 10.1007/s10998-020-00354-x, S2CID  225397486.
• Movshovich, Yevgenya; Wetzel, John (2017), "Los arcos unitarios drapeables encajan en el sector unitario de 30°" , Advances in Geometry , 17 (4): 497–506, doi :10.1515/advgeom-2017-0011, S2CID  125746596.