Conjunto Kakeya

En matemáticas , un conjunto de Kakeya , o conjunto de Besicovitch , es un conjunto de puntos en el espacio euclidiano que contiene un segmento de línea unitario en cada dirección. Por ejemplo, un disco de radio 1/2 en el plano euclidiano , o una esfera de radio 1/2 en el espacio tridimensional, forman un conjunto de Kakeya. Gran parte de la investigación en este campo se ha centrado en el problema de cuán pequeños pueden ser dichos conjuntos. Abram Besicovitch demostró que existen conjuntos de Besicovitch de medida cero .

Un conjunto de agujas de Kakeya (a veces también conocido como conjunto de Kakeya) es un conjunto (de Besicovitch) en el plano con una propiedad más robusta: un segmento de línea unitario puede girar continuamente 180 grados dentro de él, volviendo a su posición original con orientación invertida. Nuevamente, el disco de radio 1/2 es un ejemplo de un conjunto de agujas de Kakeya.

El problema de la aguja de Kakeya plantea si existe un área mínima en una región del plano en la que una aguja de longitud unitaria pueda girar 360°. Esta pregunta fue formulada por primera vez, para regiones convexas , por Sōichi Kakeya  ( 1917 ). El área mínima para conjuntos convexos se obtiene mediante un triángulo equilátero de altura 1 y área 1/ √3 , como demostró Pál . ^{[ 1 ]}${\displaystyle D}$

Kakeya parece haber sugerido que el conjunto de Kakeya de área mínima, sin la restricción de convexidad, tendría forma de deltoide de tres puntas . Sin embargo, esto es falso; existen conjuntos de Kakeya no convexos más pequeños. ${\displaystyle D}$

Abram Besicovitch demostró que no existe un límite inferior > 0 para el área de una región en la que una aguja de longitud unitaria pueda girar. Es decir, para cada , existe una región de área dentro de la cual la aguja puede moverse mediante un movimiento continuo que la rota 360 grados completos. ^{[ 3 ]} Esto se basó en trabajos anteriores suyos sobre conjuntos planos que contienen un segmento unitario en cada orientación. Dicho conjunto se denomina ahora conjunto de Besicovitch . El trabajo de Besicovitch de 1919 demostró que dicho conjunto podía tener una medida arbitrariamente pequeña , aunque es posible que el problema ya hubiera sido considerado por analistas con anterioridad. ${\displaystyle D}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$

Un método para construir un conjunto de Besicovitch (véase la figura para las ilustraciones correspondientes) se conoce como "árbol de Perron", llamado así en honor a Oskar Perron, quien logró simplificar la construcción original de Besicovitch. ^{[ 4 ]} La construcción precisa y los límites numéricos se dan en la obra de divulgación de Besicovitch. ^{[ 2 ]}

La primera observación que cabe hacer es que la aguja puede moverse en línea recta tan lejos como quiera sin barrer ninguna área. Esto se debe a que la aguja es un segmento de línea de ancho cero. El segundo truco de Pál , conocido como Pál se une , ^{[ 5 ]} describe cómo mover la aguja entre dos ubicaciones cualesquiera que sean paralelas mientras barre un área insignificante. La aguja seguirá la forma de una "N". Se mueve desde la primera ubicación a cierta distancia hacia arriba a la izquierda de la "N", barre el ángulo hacia la diagonal central, se mueve hacia abajo por la diagonal, barre el segundo ángulo y luego se mueve hacia arriba por el lado derecho paralelo de la "N" hasta que llega a la segunda ubicación requerida. Las únicas regiones de área no cero barridas son los dos triángulos de altura uno y el ángulo en la parte superior de la "N". El área barrida es proporcional a este ángulo que es proporcional a , y por lo tanto el área barrida puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo un valor de suficientemente grande . (En realidad, las áreas barridas no son triángulos, sino pequeñas secciones de un círculo, pero es cierto que el área total barrida es pequeña cuando es grande). ${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

La construcción comienza con cualquier triángulo de altura 1 y un ángulo considerable en la parte superior, por donde la aguja pueda deslizarse fácilmente. El objetivo es realizar varias operaciones sobre este triángulo para reducir su área manteniendo las mismas direcciones de deslizamiento. Primero, se divide el triángulo en dos y se desplazan las piezas una sobre la otra de manera que sus bases se superpongan minimizando el área total. La aguja puede deslizarse en las mismas direcciones deslizando las del primer triángulo, pasando al segundo y luego deslizando las direcciones de este último. La aguja puede saltar triángulos usando la técnica "N" porque las dos líneas por donde se cortó el triángulo original son paralelas. En esta construcción, el segmento de línea abandona el área del triángulo superpuesto original y desliza una nueva área adicional (arbitrariamente pequeña).

Ahora, dividimos nuestro triángulo en 2n ^{subtriángulos} . La figura muestra ocho. Para cada par de triángulos consecutivos, realizamos la misma operación de superposición que describimos antes para obtener la mitad de formas nuevas, cada una compuesta por dos triángulos superpuestos. A continuación, superponemos pares consecutivos de estas nuevas formas desplazándolas de manera que sus bases se superpongan de forma que se minimice el área total. Repetimos esto n veces hasta que solo quede una forma. Nuevamente, la aguja puede barrer las mismas direcciones barriendo aquellas en cada uno de los 2n ^{subtriángulos} en orden de su dirección. La aguja puede saltar triángulos consecutivos usando la técnica "N" porque las dos líneas en las que se cortaron estos triángulos son paralelas.

Lo que queda es calcular el área de la figura final. Debido a la dificultad y las limitaciones de longitud, el argumento final no se puede incluir completamente. En su lugar, se mostrará un ejemplo. Al observar la figura, se puede ver que los 2 ⁿ subtriángulos se superponen mucho. Todos se superponen en la parte inferior, la mitad de ellos en la parte inferior de la rama izquierda, un cuarto de ellos en la parte inferior de la rama izquierda izquierda, y así sucesivamente. Supongamos que el área de cada figura creada con i operaciones de fusión a partir de 2 ⁱ subtriángulos está limitada por A _i . Antes de fusionar dos de estas figuras, tienen un área limitada por 2 A _i . Luego, movemos las dos figuras juntas de manera que se superpongan lo máximo posible. En el peor de los casos, estas dos regiones son dos rectángulos de 1 por ε perpendiculares entre sí, de modo que se superponen en un área de solo ε ² . Pero las dos figuras que hemos construido, si son largas y delgadas, apuntan en gran medida en la misma dirección porque están hechas de grupos consecutivos de subtriángulos. La explicación aproximada indica que se superponen al menos en un 1% de su área. Entonces, el área fusionada estaría delimitada por A _i+1 = 1,99 A _i . El área del triángulo original está delimitada por 1. Por lo tanto, el área de cada subtriángulo está delimitada por A ₀ = 2 ^-n y la forma final tiene un área delimitada por A _n = 1,99 ⁿ × 2 ^-n . En realidad, una suma cuidadosa de todas las áreas que no se superponen muestra que el área de la región final es mucho mayor, a saber, 1/n . A medida que n crece, esta área se reduce a cero. Un conjunto de Besicovitch se puede crear combinando seis rotaciones de un árbol de Perron creado a partir de un triángulo equilátero. Una construcción similar se puede hacer con paralelogramos.

Existen otros métodos para construir conjuntos de Besicovitch de medida cero además del método de "brotación". Por ejemplo, Kahane utiliza conjuntos de Cantor para construir un conjunto de Besicovitch de medida cero en el plano bidimensional. ^{[ 6 ]}

En 1941, HJ Van Alphen ^{[ 7 ]} demostró que existen conjuntos de agujas de Kakeya arbitrariamente pequeños dentro de un círculo con radio 2 + ε (ε > 0 arbitrario). En 1965 se encontraron conjuntos de agujas de Kakeya simplemente conexos con un área menor que el deltoides. Melvin Bloom e IJ Schoenberg presentaron independientemente conjuntos de agujas de Kakeya con áreas que se aproximan a , el número de Bloom-Schoenberg (≈0,2843). Schoenberg conjeturó que este número es el límite inferior para el área de los conjuntos de agujas de Kakeya simplemente conexos. Sin embargo, en 1971, F. Cunningham ^{[ 8 ]} demostró que, dado ε > 0, existe un conjunto de agujas de Kakeya simplemente conexo de área menor que ε contenido en un círculo de radio 1. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

Aunque existen conjuntos de agujas de Kakeya de medida positiva arbitrariamente pequeña y conjuntos de Besicovitch de medida 0, no existen conjuntos de agujas de Kakeya de medida 0.

La misma pregunta sobre cuán pequeños podrían ser estos conjuntos de Besicovitch se planteó entonces en dimensiones superiores, dando lugar a una serie de conjeturas conocidas colectivamente como las conjeturas de Kakeya , y que han contribuido a iniciar el campo de las matemáticas conocido como teoría geométrica de la medida . En particular, si existen conjuntos de Besicovitch de medida cero, ¿podrían también tener medida de Hausdorff s-dimensional cero para algunas dimensiones menores que la dimensión del espacio en el que se encuentran? Esta pregunta da lugar a la siguiente conjetura:

Conjetura del conjunto de Kakeya : un conjunto en el espacio euclidiano que contiene un segmento de línea unitario en cada dirección debe tener una dimensión de Hausdorff igual a la dimensión del espacio.

Se sabe que esto es cierto para n = 1, 2, pero solo se conocen resultados parciales en dimensiones superiores.

La conjetura de Kakeya está estrechamente relacionada con la conjetura de restricción , la conjetura de Bochner-Riesz y la conjetura de suavizado local . ^{[ 9 ] [ 10 ]}

En febrero de 2025, Hong Wang y Joshua Zahl publicaron en arXiv una supuesta demostración para el caso n = 3. [ 11 ] ^{La conjetura de} Kakeya en tres dimensiones se describe como "uno de los problemas abiertos más buscados en la teoría geométrica de la medida", y la supuesta demostración se considera un avance. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

Una forma moderna de abordar este problema es considerar un tipo particular de función maximal , que construimos de la siguiente manera: Denotemos S ^{n −1} ⊂ R ⁿ como la esfera unitaria en el espacio n -dimensional. Definamos como el cilindro de longitud 1, radio δ > 0, centrado en el punto a ∈ R ⁿ , y cuyo lado largo es paralelo a la dirección del vector unitario e ∈ S ^{n −1} . Entonces, para una función localmente integrable f , definimos la función maximal de Kakeya de f como ${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _ {a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y),}$

donde m denota la medida de Lebesgue n -dimensional . Nótese que está definida para vectores e en la esfera S ^{n −1} . ${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$

Luego existe una conjetura para estas funciones que, de ser cierta, implicará la conjetura del conjunto de Kakeya para dimensiones superiores:

Conjetura de la función máxima de Kakeya : Para todo ε > 0, existe una constante C _ε > 0 tal que para cualquier función f y todo δ > 0, (ver espacio lp para la notación)

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

Algunos resultados que contribuyen a demostrar la conjetura de Kakeya son los siguientes:

• La conjetura de Kakeya es verdadera para n = 1 (trivialmente) y n = 2 (Davies ^{[ 15 ]} ).
• En cualquier espacio n -dimensional, Wolff ^{[ 16 ]} demostró que la dimensión de un conjunto de Kakeya debe ser al menos ( n +2)/2.
• En 2002, Katz y Tao ^{[ 17 ]} mejoraron la cota de Wolff a , que es mejor para n > 4.${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$
• En 2000, Katz, Łaba y Tao ^{[ 18 ]} demostraron que la dimensión de Minkowski de los conjuntos de Kakeya en 3 dimensiones es estrictamente mayor que 5/2.
• En 2000, Jean Bourgain conectó el problema de Kakeya con la combinatoria aritmética ^{[ 19 ] [ 20 ]} que involucra el análisis armónico y la teoría aditiva de números .
• En 2017, Katz y Zahl ^{[ 21 ]} mejoraron el límite inferior de la dimensión de Hausdorff de los conjuntos de Besicovitch en 3 dimensiones para una constante absoluta .${\displaystyle 5/2+\epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$
• En 2025, Wang y Zahl ^{[ 11 ]} publicaron en arXiv una posible prueba de la conjetura de Kakeya en el caso n = 3.

Sorprendentemente, se ha demostrado que estas conjeturas están relacionadas con diversas cuestiones en otros campos, especialmente en el análisis armónico . Por ejemplo, en 1971, Charles Fefferman pudo utilizar la construcción del conjunto de Besicovitch para demostrar que, en dimensiones mayores que 1, las integrales de Fourier truncadas sobre bolas centradas en el origen con radios que tienden al infinito no necesariamente convergen en la norma L ^p cuando p ≠ 2 (a diferencia del caso unidimensional, donde dichas integrales truncadas sí convergen). ^{[ 22 ]}

Entre los análogos del problema de Kakeya se incluye la consideración de conjuntos que contienen formas más generales que las líneas, como los círculos.

• En 1997 ^{[ 23 ]} y 1999, ^{[ 24 ]} Wolff demostró que los conjuntos que contienen una esfera de cualquier radio deben tener dimensión completa, es decir, la dimensión es igual a la dimensión del espacio en el que se encuentra, y lo demostró probando límites en una función máxima circular análoga a la función máxima de Kakeya.

• Se conjeturó que existían conjuntos que contenían una esfera alrededor de cada punto de medida cero. Los resultados de Elias Stein ^{[ 25 ]} demostraron que todos esos conjuntos deben tener medida positiva cuando n ≥ 3, y Marstrand ^{[ 26 ]} demostró lo mismo para el caso n=2 .

Una generalización de la conjetura de Kakeya consiste en considerar conjuntos que contienen, en lugar de segmentos de líneas en todas las direcciones, por ejemplo, porciones de subespacios k -dimensionales. Definimos un conjunto de Besicovitch ( n , k ) K como un conjunto compacto en R ⁿ que contiene una traslación de cada disco unitario k -dimensional con medida de Lebesgue cero. Es decir, si B denota la bola unitaria centrada en cero, para cada subespacio k- dimensional P , existe x ∈ R ⁿ tal que ( P ∩ B ) + x ⊆ K. Por lo tanto, un conjunto de Besicovitch ( n , 1) es el conjunto de Besicovitch estándar descrito anteriormente.

La conjetura de ( n , k )-Besicovitch: No existen conjuntos de ( n , k )-Besicovitch para k > 1.

En 1979, Marstrand ^{[ 27 ]} demostró que no existían conjuntos de Besicovitch (3, 2). Sin embargo, casi al mismo tiempo, Falconer ^{[ 28 ]} demostró que no existían conjuntos de Besicovitch ( n , k ) para 2 k > n . La mejor cota hasta la fecha es la de Bourgain, ^{[ 29 ]} quien demostró que no existen tales conjuntos cuando 2 ^{k −1} + k > n .

En 1999, Wolff planteó el análogo de campo finito del problema de Kakeya, con la esperanza de que las técnicas para resolver esta conjetura pudieran trasladarse al caso euclidiano.

Conjetura de Kakeya sobre cuerpos finitos : Sea F un cuerpo finito, sea K ⊆ F ⁿ un conjunto de Kakeya, es decir, para cada vector y ∈ F ⁿ existe x ∈ F ⁿ tal que K contiene una línea { x + ty  : t ∈ F }. Entonces el conjunto K tiene un tamaño de al menos c _n | F | ⁿ donde c _n >0 es una constante que solo depende de n .

Zeev Dvir demostró esta conjetura en 2008, mostrando que la afirmación se cumple para c _n = 1/ n !. ^{[ 30 ] [ 31 ]} En su demostración, observó que cualquier polinomio en n variables de grado menor que | F | que se anula en un conjunto de Kakeya debe ser idénticamente cero. Por otro lado, los polinomios en n variables de grado menor que | F | forman un espacio vectorial de dimensión

${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

Por lo tanto, existe al menos un polinomio no trivial de grado menor que | F | que se anula en cualquier conjunto dado con menos de este número de puntos. Combinando estas dos observaciones se demuestra que los conjuntos de Kakeya deben tener al menos | F | ⁿ / n ! puntos.

No está claro si las técnicas se extenderán para demostrar la conjetura original de Kakeya, pero esta demostración sí le da credibilidad a la conjetura original al hacer improbables los contraejemplos esencialmente algebraicos. Dvir ha escrito un artículo de revisión sobre los avances en el problema de Kakeya en cuerpos finitos y su relación con los extractores de aleatoriedad . ^{[ 32 ]}

• Conjunto Nikodym

• Besicovitch, Abram (1963). "El problema de Kakeya". American Mathematical Monthly . 70 (7): 697– 706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR  2312249. MR  0157266 .
• Dvir, Zeev (2009). "Sobre el tamaño de los conjuntos de Kakeya en cuerpos finitos". Journal of the American Mathematical Society . 22 (4): 1093– 1097. arXiv : 0803.2336 . Bibcode : 2009JAMS...22.1093D . doi : 10.1090/ S0894-0347-08-00607-3 . MR  2525780. S2CID  3358826 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). La geometría de los conjuntos fractales . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. SR  0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). "Algunos problemas sobre máximos y mínimos en relación con los óvalos". Tohoku Science Reports . 6 : 71–88 .
• Katz, Nets Hawk ; Łaba, Izabella ; Tao, Terence (2000). "Una cota mejorada para la dimensión de Minkowski de los conjuntos de Besicovitch en${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ " ( PDF ) . Annals of Mathematics . 152 (2): 383– 446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR  2661389. MR 1804528.  S2CID 17007027  .

• Wolff, Thomas (1999). «Trabajos recientes relacionados con el problema de Kakeya». En Rossi, Hugo (ed.). Perspectivas en matemáticas: Charlas invitadas con motivo del 250 aniversario de la Universidad de Princeton . Providence, RI: American Mathematical Society. pp.  129–162 . ISBN 978-0-8218-0975-4. MR  1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella ; Shubin, Carol (eds.). Lecciones sobre análisis armónico . Serie de conferencias universitarias. Vol. 29. Con prólogo de Charles Fefferman y prefacio de Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR  2003254 .

• Kakeya en la Universidad de Columbia Británica
• Besikovitch en UCLA
• Problema de la aguja de Kakeya en mathworld
• La demostración de Dvir de la conjetura de Kakeya sobre el campo finito en el blog de Terence Tao
• Introducción a los conjuntos de Besicovitch-Kakeya