Variable del motor

En matemáticas , una función de una variable motora es una función con argumentos y valores en el plano de los números complejos divididos , al igual que las funciones de una variable compleja involucran números complejos ordinarios . William Kingdon Clifford acuñó el término «motor» para un operador cinemático en su «Esbozo preliminar de bicuaterniones» (1873). Utilizó números complejos divididos para los escalares en sus bicuaterniones divididos . Aquí se usa el término «variable motora» en lugar de «variable compleja dividida» por motivos de eufonía y tradición.

Por ejemplo,

${\displaystyle f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.}$

Las funciones de una variable motora proporcionan un contexto para extender el análisis real y ofrecen una representación compacta de las aplicaciones del plano. Sin embargo, la teoría se queda muy corta en comparación con la teoría de funciones en el plano complejo ordinario . No obstante, algunos aspectos del análisis complejo convencional tienen una interpretación dada con variables motoras y, más generalmente, en el análisis hipercomplejo .

Sea D =${\displaystyle \{z=x+jy:x,y\in R\}}$, el plano complejo dividido. Las siguientes funciones ejemplares f tienen dominio y rango en D :

La acción de un versor hiperbólico${\displaystyle u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a}$se combina con la traducción para producir la transformación afín.

${\displaystyle f(z)=uz+c\ }$. Cuando c = 0, la función es equivalente a un mapeo de compresión .

La función de elevar al cuadrado no tiene analogía en la aritmética compleja ordinaria. Sea

${\displaystyle f(z)=z^{2}\ }$y tenga en cuenta que${\displaystyle f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

El resultado es que los cuatro cuadrantes se mapean en uno solo, el componente identidad :

${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}}$y hay cuatro raíces cuadradas para los elementos de este componente, pero ninguna raíz cuadrada para los elementos de los otros tres componentes.

Tenga en cuenta que${\displaystyle zz^{*}=1\ }$forma la unidad hipérbola${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$. Por lo tanto, la reciprocidad

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{donde}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

implica la hipérbola como curva de referencia en contraposición al círculo en C.

Utilizando el concepto de línea proyectiva sobre un anillo , se forma la línea proyectiva P( D ). La construcción utiliza coordenadas homogéneas con componentes de números complejos divididos. La línea proyectiva P( D ) se transforma mediante transformaciones fraccionarias lineales :

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],}$a veces escrito

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$siempre que cz + d sea una unidad en D.

Las transformaciones fraccionarias lineales elementales incluyen:

• rotaciones hiperbólicas${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},}$
• traducciones${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},}$y
• la inversión${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Cada una de estas tiene una inversa, y las composiciones completan un grupo de transformaciones fraccionarias lineales. La variable motora se caracteriza por un ángulo hiperbólico en sus coordenadas polares, y este ángulo se conserva mediante transformaciones fraccionarias lineales de la variable motora, al igual que el ángulo circular se conserva mediante las transformaciones de Möbius del plano complejo ordinario. Las transformaciones que conservan ángulos se denominan conformes , por lo que las transformaciones fraccionarias lineales son aplicaciones conformes .

Se pueden comparar las transformaciones que delimitan regiones: por ejemplo, en el plano complejo ordinario, la transformación de Cayley traslada el semiplano superior al disco unitario , delimitándolo. Una transformación del componente identidad U ₁ de D en un rectángulo proporciona una acción de delimitación comparable:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T}$

donde T = { z = x + j y  : | y | < x < 1 o | y | < 2 – x cuando 1 ≤ x <2}.

Para realizar las transformaciones fraccionarias lineales como biyecciones en la recta proyectiva, se utiliza una compactificación de D. Véase la sección que se presenta a continuación.

La función exponencial transforma todo el plano D en U ₁ :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x}$.

Así, cuando x = b j, entonces e ^x es un versor hiperbólico. Para la variable motora general z = a + b j, se tiene

${\displaystyle e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\ }$.

En la teoría de las funciones de una variable motora, se debe prestar especial atención a las funciones de raíz cuadrada y logaritmo. En particular, el plano de los números complejos divididos consta de cuatro componentes conexas.${\displaystyle \{U_{1},-U_{1},jU_{1},-jU_{1}\},}$y el conjunto de puntos singulares que no tienen inversa: las diagonales z = x ± x j, x ∈ R . El componente identidad , es decir { z  : x > | y | } = U ₁ , es el rango de la función de elevación al cuadrado y la exponencial. Por lo tanto, es el dominio de las funciones de raíz cuadrada y logaritmo. Los otros tres cuadrantes no pertenecen al dominio porque la raíz cuadrada y el logaritmo se definen como inversas biyectivas de la función de elevación al cuadrado y la función exponencial.

Motter y Rosa ofrecen una descripción gráfica del logaritmo de D en su artículo "Cálculo hiperbólico" (1998). ^{[ 1 ]}

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann que caracterizan las funciones holomorfas en un dominio del plano complejo tienen un análogo para funciones de una variable motora. Motter y Rossa propusieron un enfoque para funciones D-holomorfas utilizando una derivada de Wirtinger : ^{[ 1 ]}

La función f = u + j v se denomina D-holomorfa cuando

${\displaystyle 0\ =\ \left({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y}\right)(u+jv)=\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).}$

Al considerar componentes reales e imaginarias, una función D-holomorfa satisface

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.}$

Estas ecuaciones fueron publicadas ^{[ 2 ]} en 1893 por Georg Scheffers , por lo que se las ha llamado condiciones de Scheffers . ^{[ 3 ]}

El enfoque comparable en la teoría de funciones armónicas se puede ver en un texto de Peter Duren. ^{[ 4 ]} Es evidente que los componentes u y v de una función D-holomorfa f satisfacen la ecuación de onda , asociada con D'Alembert , mientras que los componentes de las funciones C-holomorfas satisfacen la ecuación de Laplace .

En la Universidad Nacional de La Plata en 1935, JC Vignaux, experto en convergencia de series infinitas , contribuyó con cuatro artículos sobre la variable motora a la revista anual de la universidad. ^{[ 5 ]} Es el único autor del artículo introductorio y consultó con el jefe de su departamento, A. Durañona y Vedia, sobre los demás. En "Sobre las series de números complejos hiperbólicos" dice (p.  123):

Este sistema de números complejos hiperbólicos [variables motoras] es la suma directa de dos campos isomorfos al campo de los números reales; esta propiedad permite explicar la teoría de series y de funciones de la variable compleja hiperbólica mediante el uso de propiedades del campo de los números reales.

A continuación, procede, por ejemplo, a generalizar teoremas de Cauchy, Abel, Mertens y Hardy al ámbito de la variable motora.

En el artículo principal, citado a continuación, considera las funciones D-holomorfas y la satisfacción de la ecuación de d'Alembert por sus componentes. Llama rectángulo isótropo a un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales y = x e y = − x , ya que sus lados están sobre líneas isótropas . Concluye su resumen con estas palabras:

Los rectángulos isotrópicos desempeñan un papel fundamental en esta teoría, ya que forman los dominios de existencia para las funciones holomorfas, los dominios de convergencia de las series de potencias y los dominios de convergencia de las series funcionales.

Vignaux completó su serie con una nota de seis páginas sobre la aproximación de funciones D-holomorfas en un rectángulo isótropo unitario mediante polinomios de Bernstein . Si bien esta serie presenta algunos errores tipográficos y un par de fallos técnicos, Vignaux logró exponer las líneas principales de la teoría que se sitúa entre el análisis complejo real y el ordinario. El texto resulta especialmente valioso como documento didáctico para estudiantes y profesores debido a su desarrollo ejemplar a partir de los elementos. Además, toda la obra se fundamenta en su relación con la geometría de Émile Borel , lo que justifica su motivación.

En 1892, Corrado Segre recordó el álgebra tesarina como números bicomplejos . ^{[ 6 ]} Naturalmente, surgió la subálgebra de tesarinas reales y pasó a llamarse números bireales .

En 1946, U. Bencivenga publicó un ensayo ^{[ 7 ]} sobre los números duales y los números complejos divididos, donde empleó el término número bireal. También describió parte de la teoría de funciones de la variable bireal. El ensayo fue estudiado en la Universidad de Columbia Británica en 1949, cuando Geoffrey Fox escribió su tesis de maestría titulada "Teoría elemental de funciones de una variable hipercompleja y la teoría de la aplicación conforme en el plano hiperbólico". En la página 46, Fox informa: "Bencivenga ha demostrado que una función de una variable bireal mapea el plano hiperbólico en sí mismo de tal manera que, en aquellos puntos para los cuales la derivada de una función existe y no se anula, los ángulos hiperbólicos se conservan en la aplicación".

G. Fox procede a proporcionar la descomposición polar de una variable bireal y analiza la ortogonalidad hiperbólica . Partiendo de una definición diferente, demuestra en la página 57

Teorema 3.42  : Dos vectores son mutuamente ortogonales si y solo si sus vectores unitarios son reflexiones mutuas entre sí en una u otra de las líneas diagonales que pasan por 0.

Fox se centra en las "transformaciones bilineales".${\displaystyle w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}}$, dónde${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$son constantes bireales. Para lidiar con la singularidad, aumenta el plano con un solo punto en el infinito (página 73).

Entre sus contribuciones novedosas a la teoría de funciones se encuentra el concepto de un sistema entrelazado . Fox muestra que para un k bireal que satisface

( a − b ) ² < | k | < ( a + b ) ²

las hipérbolas

| z | = a² ^y | z − ^k | = b²

no se intersecan (forman un sistema entrelazado). Luego demuestra que esta propiedad se conserva mediante transformaciones bilineales de una variable bireal.

La función inversa multiplicativa es tan importante que se toman medidas extremas para incluirla en las aplicaciones de la geometría diferencial . Por ejemplo, el plano complejo se reduce a la esfera de Riemann para la aritmética compleja ordinaria. Para la aritmética compleja dividida, se utiliza un hiperboloide en lugar de una esfera.${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.}$Al igual que con la esfera de Riemann, el método es una proyección estereográfica desde P = (0, 0, 1) a través de t = ( x , y , 0) al hiperboloide. La línea L = Pt está parametrizada por s en${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}}$de modo que pasa por P cuando s es cero y por t cuando s es uno.

De H ∩ L se deduce que

${\displaystyle (1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{ de modo que}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.}$

Si t está en el cono nulo , entonces s = 2 y (2 x , ±2 x , – 1) está en H , los puntos opuestos (2 x , ±2 x , 1) forman el cono de luz en el infinito que es la imagen del cono nulo bajo inversión.

Tenga en cuenta que para t con${\displaystyle y^{2}>1+x^{2},}$s es negativo. Esto implica que el rayo inverso que pasa por P hasta t proporciona el punto en H. Estos puntos t están por encima y por debajo de la hipérbola conjugada a la hipérbola unitaria.

La compactificación debe completarse en P ³ R con coordenadas homogéneas ( w, x, y, z ) donde w = 1 especifica el espacio afín ( x, y, z ) utilizado hasta ahora. El hiperboloide H se absorbe en la cónica proyectiva.${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},}$que es un espacio compacto .

Walter Benz realizó la compactificación utilizando una aplicación debida a Hans Beck. Isaak Yaglom ilustró una compactificación en dos pasos como la anterior, pero con el plano complejo dividido tangente al hiperboloide. ^{[ 8 ]} En 2015, Emanuello y Nolder realizaron la compactificación incrustando primero el plano motor en un toro y luego haciéndolo proyectivo mediante la identificación de puntos antipodales . ^{[ 9 ]}

• Francesco Catoni, Dino Boccaletti y Roberto Cannata (2008) Matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski , Birkhäuser Verlag , Basilea. Capítulo 7: Funciones de una variable hiperbólica.
• Shahram Dehdasht + otros siete (2021) "Óptica hiperbólica conforme", Physical Review Research 3,033281 doi : 10.1103/PhysRevResearch.3.033281