Autómata celular móvil

El método del autómata celular móvil ( MCA ) es un método de mecánica de sólidos computacional basado en el concepto discreto. Ofrece ventajas tanto del autómata celular clásico como de los métodos de elementos discretos . Una ventaja importante ^{[ 1 ]} del método MCA es que permite la simulación directa de la fractura de materiales, incluyendo la generación de daños, la propagación de grietas, la fragmentación y la mezcla de masas. Es difícil simular estos procesos mediante métodos de mecánica de medios continuos (por ejemplo: método de elementos finitos , método de diferencias finitas , etc.), por lo que se requieren nuevos conceptos como la peridinámica . El método de elementos discretos es muy eficaz para simular materiales granulares, pero las fuerzas mutuas entre los autómatas celulares móviles permiten simular el comportamiento de los sólidos. A medida que el tamaño de la celda del autómata tiende a cero, el comportamiento del MCA se aproxima a los métodos clásicos de mecánica de medios continuos . ^{[ 2 ]} El método MCA fue desarrollado en el grupo de SG Psakhie. ^{[ 3 ]}

En el marco del enfoque MCA , un objeto bajo modelado se considera como un conjunto de elementos/autómatas que interactúan. La dinámica del conjunto de autómatas se define por sus fuerzas mutuas y las reglas que rigen sus relaciones. Este sistema existe y opera en el tiempo y el espacio. Su evolución en el tiempo y el espacio se rige por las ecuaciones de movimiento. Las fuerzas mutuas y las reglas para las relaciones entre elementos se definen mediante la función de respuesta del autómata. Esta función debe especificarse para cada autómata. Debido a la movilidad de los autómatas, se deben incluir los siguientes nuevos parámetros de los autómatas celulares: R ⁱ – vector de radio del autómata; V ⁱ – velocidad del autómata; ω ⁱ – velocidad de rotación del autómata; θ ⁱ – vector de rotación del autómata; m ⁱ – masa del autómata; J ⁱ – momento de inercia del autómata.

El nuevo concepto del método MCA se basa en la introducción del estado del par de autómatas (relación entre pares de autómatas que interactúan), además del estado convencional de un autómata individual. Cabe destacar que la introducción de esta definición permite pasar del concepto de red estática al concepto de vecinos . Como resultado, los autómatas tienen la capacidad de cambiar sus vecinos modificando los estados (relaciones) de los pares.

La introducción de un nuevo tipo de estados lleva a un nuevo parámetro para usarlo como criterio para cambiar relaciones . Se define como un autómata con parámetros superpuestos h ^ij . Así, la relación de los autómatas celulares se caracteriza por el valor de su superposición . 

La estructura inicial se forma estableciendo ciertas relaciones entre cada par de elementos vecinos.

A diferencia del método clásico de autómatas celulares, en el método MCA no solo se puede cambiar un solo autómata, sino también una relación de pares de autómatas . De acuerdo con el concepto de autómatas biestables, existen dos tipos de estados de pares (relaciones):

Por lo tanto, el cambio del estado de las relaciones de pares está controlado por los movimientos relativos de los autómatas y los medios formados por dichos pares pueden considerarse medios biestables.

La evolución de los medios MCA se describe mediante las siguientes ecuaciones de movimiento para la traslación :

${\displaystyle {d^{2}h^{ij} \over dt^{2}}=\left({1 \over m^{i}}+{1 \over m^{j}}\right)p^{ij}+\sum _{k\neq j}C(ij,ik)\psi (\alpha _{ij,ik}){1 \over m^{i}}p^{ik}+\sum _{l\neq i}C(ij,jl)\psi (\alpha _{ij,jl}){1 \sobre m^{j}}p^{jl}}$

Aquí${\displaystyle m^{i}}$es la masa del autómata${\displaystyle i}$,${\displaystyle p^{ij}}$es la fuerza central que actúa entre los autómatas${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$,${\displaystyle C(ij,ik)}$es cierto coeficiente asociado con la transferencia del parámetro h del par ij al par ik ,${\displaystyle \psi (\alpha _ {ij,ik})}$es el ángulo entre las direcciones ij e ik .

Debido al tamaño finito de los autómatas móviles, es necesario tener en cuenta los efectos de rotación. Las ecuaciones de movimiento para la rotación se pueden escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {d^{2}\theta ^{ij} \over dt^{2}}=\left({q^{ij} \over J^{i}}+{q^{ji} \over J^{j}}\right)\tau ^{ij}+\sum _{k\neq j}S(ij,ik){q^{ik} \over J^{i}}\tau ^{ik}+\sum _{l\neq j}S(ij,jl){q^{jl} \sobre J^{j}}\tau ^{jl}}$

Aquí Θ ^ij es el ángulo de rotación relativa (es un parámetro de conmutación como h ^ij para la traslación), q ^ij es la distancia desde el centro del autómata i hasta el punto de contacto del autómata j (brazo de momento), τ ^ij es la interacción tangencial del par,${\displaystyle S(ij,ik)}$es cierto coeficiente asociado con la transferencia del parámetro Θ de un par a otro (es similar a${\displaystyle C(ij,ik)}$(a partir de la ecuación de traslación).

Estas ecuaciones son completamente similares a las ecuaciones de movimiento para el enfoque de muchas partículas .

Traslación del par de autómatas El parámetro de deformación adimensional para la traslación del par de autómatas ij se puede presentar como:

${\displaystyle \varepsilon ^{ij}={h^{ij} \over r_{0}^{ij}}={\left(q^{ij}+q^{ji}\right)-\left(d^{i}+d^{j}\right){\big /}2 \over \left(d^{i}+d^{j}\right){\big /}2}}$

En este caso:

${\displaystyle \left(\Delta {\varepsilon ^{i(j)}}+\Delta {\varepsilon ^{j(i)}}\right){\left(d^{i}+d^{j}\right) \over 2}=V_{n}^{ij}\Delta {t}}$

donde Δt es el paso de tiempo y V _n ^ij es la velocidad relativa .

La rotación del par de autómatas se puede calcular por analogía con las últimas relaciones de traslación.

El parámetro ε ^ij se utiliza como medida de la deformación del autómata i bajo su interacción con el autómata j . Donde q ^ij es la distancia desde el centro del autómata i hasta su punto de contacto con el autómata j ; R ⁱ = d ⁱ /2 ( d ⁱ es el tamaño del autómata i ).

Como ejemplo, se considera una muestra de titanio sometida a carga cíclica (tensión - compresión). El diagrama de carga se muestra en la siguiente figura:

Debido a la movilidad de cada autómata, el método MCA permite tener en cuenta directamente acciones como:

• mezcla de masas
• efectos de penetración
• reacciones químicas
• deformación intensa
• transformaciones de fase
• acumulación de daños
• fragmentación y fractura
• generación y desarrollo de grietas

Mediante el uso de condiciones de contorno de distintos tipos (fijas, elásticas, viscoelásticas, etc.), es posible simular diferentes propiedades del medio circundante que contiene el sistema simulado. Asimismo, es posible modelar diferentes modos de carga mecánica (tensión, compresión, deformación por cizallamiento, etc.) estableciendo condiciones adicionales en los límites.

• Mecánica de medios continuos : rama de la física que estudia el comportamiento de los materiales modelados como medios continuos. 
• Mecánica de sólidos : rama de la mecánica que se ocupa de los materiales sólidos y su comportamiento. 
• Mecánica de fractura : estudio de la propagación de grietas en materiales. 
• Peridinámica : formulación no local de la mecánica de medios continuos. 
• Simulación por ordenador : proceso de modelado matemático realizado en un ordenador. 
• Método de elementos discretos – Método numérico 
• Autómata celular : modelo discreto de computación. 
• Método de elementos finitos : método numérico para resolver problemas físicos o de ingeniería. 
• Método de diferencias finitas : una clase de técnicas numéricas. 

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• MCA software package
• Software para simulación de materiales con enfoque discreto-continuo «FEM+MCA»: Número de registro estatal en la Fundación de Investigación Aplicada de Algoritmos y Software (AFAS): 50208802297 / Smolin AY, Zelepugin SA, Dobrynin SA; solicitante y centro de desarrollo: Universidad Estatal de Tomsk . – Fecha de registro: 28.11.2008; certificado AFAS N° 11826, fecha: 01.12.2008.