El problema de la señora Miniver

El problema de la Sra. Miniver es un problema de geometría sobre el área de círculos . Pregunta cómo colocar dos círculos y de radios dados de tal manera que la lente formada al intersecar sus dos interiores tenga un área igual a la diferencia simétrica de y (el área contenida en uno pero no en ambos círculos). ^[1] Recibió su nombre por una analogía entre la geometría y la dinámica social enunciada por el personaje ficticio Sra. Miniver , quien "veía cada relación como un par de círculos que se intersecan". Su solución implica una ecuación trascendental . ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

El problema surge de "Una visita a una casa de campo", uno de los artículos periodísticos de Jan Struther que apareció en el Times de Londres entre 1937 y 1939 y en el que aparecía su personaje, la señora Miniver. Según la historia:

Ella veía cada relación como un par de círculos que se entrecruzan. A primera vista, parecería que cuanto más se superponen, mejor es la relación; pero no es así. Más allá de cierto punto, se aplica la ley de los rendimientos decrecientes y no quedan suficientes recursos privados en ninguna de las partes para enriquecer la vida que se comparte. Probablemente, la perfección se alcanza cuando el área de las dos medialunas exteriores, sumadas, es exactamente igual a la del trozo con forma de hoja del medio. En el papel debe haber alguna fórmula matemática clara para llegar a esto; en la vida, ninguna. ^[2]

Louis A. Graham y Clifton Fadiman formalizaron las matemáticas del problema y lo popularizaron entre los matemáticos recreativos . ^{[1] [3]}

El problema se puede resolver cortando la luna a lo largo del segmento de línea entre los dos puntos de cruce de los círculos, en dos segmentos circulares , y usando la fórmula para el área de un segmento circular para relacionar la distancia entre los puntos de cruce con el área total que el problema requiere que tenga la luna. Esto da una ecuación trascendental para la distancia entre los puntos de cruce pero se puede resolver numéricamente. ^{[1] [4]} Hay dos condiciones de contorno cuyas distancias entre centros se pueden resolver fácilmente: lo más alejados que pueden estar los centros es cuando los círculos tienen radios iguales, y lo más cerca que pueden estar es cuando un círculo está contenido completamente dentro del otro, lo que sucede cuando la relación entre los radios es . Si la relación de los radios cae más allá de estos casos límite, los círculos no pueden satisfacer la restricción de área del problema. ^[4]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

En el caso de dos círculos de igual tamaño, estas ecuaciones se pueden simplificar un poco. El rombo formado por los dos centros de los círculos y los dos puntos de intersección, con longitudes de lados iguales al radio, tiene un ángulo radianes en los centros de los círculos, que se obtiene resolviendo la ecuación de la que se sigue que la razón entre la distancia entre sus centros y sus radios es . ^[4]${\displaystyle \theta \aproximadamente 2,605}$$${\displaystyle \theta -\sin \theta ={\frac {2\pi }{3}},}$$${\displaystyle 2\cos {\tfrac {\theta }{2}}\aproximadamente 0,529864}$

• Problema de las cabras#Problema de pastoreo interior , otro problema de igualación de áreas de lunas circulares y lentes