cálculo de Mueller

El cálculo de Mueller es un método matricial para manipular vectores de Stokes , que representan la polarización de la luz. Fue desarrollado en 1943 por Hans Mueller . En esta técnica, el efecto de un elemento óptico particular se representa mediante una matriz de Mueller, una matriz de 4×4 que es una generalización superpuesta de la matriz de Jones .

Sin tener en cuenta la superposición coherente de ondas , cualquier estado de luz totalmente polarizado, parcialmente polarizado o no polarizado puede representarse mediante un vector de Stokes (${\displaystyle {\vec {S}}}$) ; y cualquier elemento óptico puede representarse mediante una matriz de Mueller (M).

Si un haz de luz está inicialmente en el estado${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$y luego pasa a través de un elemento óptico M y sale en un estado${\displaystyle {\vec {S}}_{o}}$, entonces está escrito

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}\ .}$

Si un haz de luz pasa a través del elemento óptico M ₁ seguido de M ₂ y luego M ₃ , se escribe:

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\left(\mathrm {M} _{2}\left(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\right)\right)}$

Dado que la multiplicación de matrices es asociativa , se puede escribir

${\displaystyle {\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\ .}$

La multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que en general

${\displaystyle \mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\neq \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}}_{i}\ .}$

Sin tener en cuenta la coherencia, la luz no polarizada o parcialmente polarizada debe tratarse mediante el cálculo de Mueller, mientras que la luz totalmente polarizada puede tratarse con el cálculo de Mueller o con el cálculo de Jones, más sencillo . Sin embargo, muchos problemas que involucran luz coherente (como la de un láser ) deben tratarse con el cálculo de Jones, ya que este trabaja directamente con el campo eléctrico de la luz en lugar de con su intensidad o potencia, y por lo tanto conserva información sobre la fase de las ondas. Más específicamente, se puede decir lo siguiente sobre las matrices de Mueller y las matrices de Jones: ^{[ 1 ]}

Los vectores de Stokes y las matrices de Mueller operan sobre intensidades y sus diferencias, es decir, superposiciones incoherentes de luz; no son adecuados para describir los efectos de interferencia o difracción.

(...)

Cualquier matriz de Jones [J] puede transformarse en la matriz de Mueller-Jones correspondiente, M, utilizando la siguiente relación: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {M=A(J\otimes J^{*})A^{-1}} }$,

donde * indica el conjugado complejo [ sic ] , [ A es:]

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&i&-i&0\\\end{pmatrix}}}$

y ⊗ es el producto tensorial (de Kronecker) .

(...)

Si bien la matriz de Jones tiene ocho parámetros independientes [dos componentes cartesianas o polares para cada uno de los cuatro valores complejos en la matriz de 2 por 2], la información de fase absoluta se pierde en la [ecuación anterior], lo que da como resultado solo siete elementos de matriz independientes para una matriz de Mueller derivada de una matriz de Jones.

A continuación se enumeran las matrices de Mueller para algunos elementos ópticos comunes ideales:

Expresión general para la rotación del marco de referencia ^{[ 3 ]} del marco local al marco del laboratorio:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\0&-\sin {(2\theta )}&\cos {(2\theta )}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo de rotación . Para la rotación del sistema de referencia del laboratorio al sistema de referencia local, el signo de los términos seno se invierte.

Polarizador lineal (transmisión horizontal)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Las matrices de Mueller para otros ángulos de rotación del polarizador se pueden generar mediante la rotación del sistema de referencia.

Polarizador lineal (transmisión vertical)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Polarizador lineal (transmisión de +45°)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Polarizador lineal (transmisión de −45°)

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Matriz general de polarizador lineal

${\displaystyle {1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\\cos {(2\theta )}&\cos ^{2}(2\theta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&0\\\sin {(2\theta )}&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&\sin ^{2}(2\theta )&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad }$

dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo de rotación del polarizador.

Retardador lineal general (los cálculos de la placa de onda se realizan a partir de este).

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\theta )+\sin ^{2}(2\theta )\cos(\delta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\sin(2\theta )\sin(\delta )\\0&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\cos ^{2}(2\theta )\cos(\delta )+\sin ^{2}(2\theta )&-\cos(2\theta )\sin(\delta )\\0&-\sin(2\theta )\sin(\delta )&\cos(2\theta )\sin(\delta )&\cos(\delta )\end{pmatrix}}\quad }$

dónde${\displaystyle \delta }$es la diferencia de fase entre el eje rápido y el eje lento y${\displaystyle \theta }$es el ángulo del eje lento.

Placa de cuarto de onda (eje rápido vertical)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

Placa de cuarto de onda (eje rápido horizontal)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}}$

Lámina de media onda (eje rápido horizontal y vertical; también, espejo ideal)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

Filtro atenuador (25% de transmisión)

${\displaystyle {1 \over 4}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad }$

La arquitectura de Mueller/Stokes también puede utilizarse para describir procesos ópticos no lineales, como la fluorescencia excitada por múltiples fotones y la generación de segundo armónico. El tensor de Mueller puede vincularse al tensor de Jones en el sistema de referencia del laboratorio mediante una analogía directa con las matrices de Mueller y Jones.

${\displaystyle \mathrm {M} ^{(2)}=\mathrm {A} \left(\chi ^{(2)*}\otimes \chi ^{(2)}\right):\mathrm {A} ^{-1}\mathrm {A} ^{-1}}$,

dónde${\displaystyle M^{(2)}}$es el tensor de Mueller de rango tres que describe el vector de Stokes producido por un par de vectores de Stokes incidentes, y${\displaystyle \chi ^{(2)}}$es el tensor de Jones de 2×2×2 en el marco de laboratorio.

El cálculo de Mueller encuentra aplicación en la polarimetría, donde se utiliza para la caracterización de tejidos biomédicos, aprovechando las interacciones luz-materia dependientes de la polarización para revelar la estructura y la patología del tejido. Diversos estudios han demostrado la caracterización del cáncer de colon humano mediante imágenes polarimétricas de Mueller, donde el contraste polarimétrico se correlaciona con los cambios patológicos. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Se han combinado métodos de aprendizaje automático con mediciones de la matriz de Mueller para la identificación de tumores en tejido cerebral, incluyendo el procesamiento directo de imágenes de la matriz de Mueller con redes neuronales convolucionales para la segmentación de tejidos. ^{[ 6 ]} Para mantener la consistencia física al aumentar conjuntos de datos polarimétricos limitados para el aprendizaje profundo , las estrategias de aumento conscientes de la física aplican transformaciones que preservan las restricciones matemáticas de las matrices de Mueller. ^{[ 7 ]}

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