Parámetros de Stokes

Los parámetros de Stokes son un conjunto de valores que describen el estado de polarización de la radiación electromagnética . Fueron definidos por George Gabriel Stokes en 1851, ^{[ 1 ] [ 2 ]} como una alternativa matemáticamente conveniente a la descripción más común de la radiación incoherente o parcialmente polarizada en términos de su intensidad total ( I ), grado de polarización ( fraccional) ( p ) y los parámetros de forma de la elipse de polarización . El efecto de un sistema óptico sobre la polarización de la luz puede determinarse construyendo el vector de Stokes para la luz de entrada y aplicando el cálculo de Mueller para obtener el vector de Stokes de la luz que sale del sistema. Pueden determinarse a partir de fenómenos directamente observables. El artículo original de Stokes fue descubierto independientemente por Francis Perrin en 1942 ^{[ 3 ]} y por Subrahamanyan Chandrasekhar en 1947, ^{[ 4 ] [ 5 ]} quien lo denominó parámetros de Stokes.

La relación de los parámetros de Stokes S ₀ , S ₁ , S ₂ , S ₃ con los parámetros de la elipse de intensidad y polarización se muestra en las ecuaciones siguientes y en la figura de la derecha.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}$

Aquí${\displaystyle Ip}$,${\displaystyle 2\psi }$y${\displaystyle 2\chi }$son las coordenadas esféricas del vector tridimensional de coordenadas cartesianas${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$.${\displaystyle I}$es la intensidad total del haz, y${\displaystyle p}$es el grado de polarización, limitado por${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. El factor de dos antes${\displaystyle \psi }$representa el hecho de que cualquier elipse de polarización es indistinguible de una rotada 180°, mientras que el factor de dos antes${\displaystyle \chi }$Esto indica que una elipse es indistinguible de una con las longitudes de los semiejes intercambiadas y una rotación de 90°. La información de fase de la luz polarizada no se registra en los parámetros de Stokes. Los cuatro parámetros de Stokes se denotan a veces como I , Q , U y V , respectivamente.

Dados los parámetros de Stokes, se pueden calcular las coordenadas esféricas con las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

Una onda plana monocromática se especifica mediante su vector de propagación ,${\displaystyle {\vec {k}}}$y las amplitudes complejas del campo eléctrico ,${\displaystyle E_{1}}$y${\displaystyle E_{2}}$, de base${\displaystyle ({\sombrero {\epsilon }}_{1}, {\sombrero {\epsilon }}_{2})}$La pareja${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$se denomina vector de Jones . Alternativamente, se puede especificar el vector de propagación, la fase ,${\displaystyle \phi }$y el estado de polarización,${\displaystyle \Psi }$, dónde${\displaystyle \Psi }$es la curva trazada por el campo eléctrico en función del tiempo en un plano fijo. Los estados de polarización más conocidos son lineal y circular, que son casos degenerados del estado más general, una elipse .

Una forma de describir la polarización es mediante los semiejes mayor y menor de la elipse de polarización, su orientación y la dirección de rotación (véase la figura anterior). Los parámetros de Stokes${\displaystyle I}$,${\displaystyle Q}$,${\displaystyle U}$, y${\displaystyle V}$Proporcionan una descripción alternativa del estado de polarización que resulta experimentalmente conveniente, ya que cada parámetro corresponde a una suma o diferencia de intensidades medibles. La siguiente figura muestra ejemplos de los parámetros de Stokes en estados degenerados.

Definiciones

Los parámetros de Stokes se definen por

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}}$

donde los subíndices se refieren a tres bases diferentes del espacio de vectores de Jones : la base cartesiana estándar (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$), una base cartesiana rotada 45° (${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$), y una base circular (${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$). La base circular se define de manera que${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$,${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$.

Los símbolos ⟨⋅⟩ representan valores esperados . La luz puede considerarse una variable aleatoria que toma valores en el espacio C ² de vectores de Jones.${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$Cualquier medición produce una onda específica (con una fase, elipse de polarización y magnitud determinadas), pero esta oscila y varía entre diferentes resultados. Los valores esperados son diversos promedios de estos resultados. La luz intensa, pero no polarizada, tendrá I > 0, pero Q = U = V = 0, lo que refleja que ningún tipo de polarización predomina. En el artículo sobre coherencia se muestra una forma de onda convincente .

Lo opuesto sería la luz perfectamente polarizada que, además, tiene una amplitud fija e invariable: una curva sinusoidal pura. Esto se representa mediante una variable aleatoria con un único valor posible, por ejemplo,${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$En este caso, se pueden reemplazar los corchetes por barras de valor absoluto, obteniendo una aplicación cuadrática bien definida.

${\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}$

de los vectores de Jones a los vectores de Stokes correspondientes; a continuación se dan formas más convenientes. El mapa toma su imagen en el cono definido por | I | ² = | Q | ² + | U | ² + | V | ² , donde la pureza del estado satisface p = 1 (véase más abajo).

La siguiente figura muestra cómo los signos de los parámetros de Stokes están determinados por la helicidad y la orientación del semieje mayor de la elipse de polarización. Nótese que la quiralidad del parámetro V aparece invertida accidentalmente en la imagen inferior. Un valor positivo de V corresponde a una polarización dextrógira, mientras que un valor negativo corresponde a una polarización levógira (véase, por ejemplo, las páginas 46-53 de «Absorción y dispersión de la luz por partículas pequeñas» de Bohren y Huffman).

Para una radiación coherente puramente monocromática , se deduce de las ecuaciones anteriores que

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

mientras que para la radiación del haz completo (no coherente), los parámetros de Stokes se definen como cantidades promediadas, y la ecuación anterior se convierte en una desigualdad: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

Sin embargo, podemos definir una intensidad de polarización total.${\displaystyle I_{p}}$, de modo que

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

dónde${\displaystyle I_{p}/I}$es la fracción de polarización total.

Definamos la intensidad compleja de polarización lineal como

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}$

Bajo rotación${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$de la elipse de polarización, se puede demostrar que${\displaystyle I}$y${\displaystyle V}$son invariables, pero

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

Con estas propiedades, los parámetros de Stokes pueden considerarse como tres intensidades generalizadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle I}$es la intensidad total,${\displaystyle |V|}$es la intensidad de la polarización circular, y${\displaystyle |L|}$es la intensidad de la polarización lineal. La intensidad total de la polarización es${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$y la orientación y el sentido de rotación vienen dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$y${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\operatorname {atan2} (U,Q).\\\end{aligned}}}$

En la última fórmula, la función arcotangente de dos argumentos atan2 calcula el argumento principal del número complejo .${\displaystyle Q+iU}$.​

En términos de los parámetros de la elipse de polarización, los parámetros de Stokes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Invirtiendo la ecuación anterior se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Los parámetros de Stokes (y por lo tanto la polarización de cierta radiación electromagnética) pueden determinarse directamente a partir de la observación. ^{[ 8 ]} Utilizando un polarizador lineal y una placa de cuarto de onda , se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones que relaciona los parámetros de Stokes con la intensidad medida: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{l}(0)&={\frac {1}{2}}(I+Q)\\I_{l}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+U)\\I_{l}({\frac {\pi }{2}})&={\frac {1}{2}}(I-Q)\\I_{q}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+V),\\\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle I_{l}(\theta )}$es la irradiancia de la radiación en un punto cuando el polarizador lineal gira en un ángulo de${\displaystyle \theta }$y de manera similar${\displaystyle I_{q}(\theta )}$es la irradiancia en un punto cuando la placa de cuarto de onda gira en un ángulo de${\displaystyle \theta }$Se puede implementar un sistema utilizando ambas placas simultáneamente en diferentes ángulos para medir los parámetros. Esto permite obtener una medición más precisa de las magnitudes relativas de los parámetros (que suele ser el resultado principal deseado), ya que todos los parámetros se ven afectados por las mismas pérdidas.

Desde un punto de vista geométrico y algebraico, los parámetros de Stokes guardan una correspondencia biunívoca con el cono cerrado, convexo y de dimensión 4 real de operadores hermíticos no negativos en el espacio de Hilbert C ² . El parámetro I sirve como traza del operador, mientras que las entradas de la matriz del operador son funciones lineales simples de los cuatro parámetros I , Q , U , V , que sirven como coeficientes en una combinación lineal de los operadores de Stokes . Los autovalores y autovectores del operador se pueden calcular a partir de los parámetros de la elipse de polarización I , p , ψ , χ .

Los parámetros de Stokes con I igual a 1 (es decir, los operadores de traza 1) están en correspondencia biunívoca con la bola tridimensional cerrada de estados mixtos (u operadores de densidad ) del espacio cuántico C ² , cuyo límite es la esfera de Bloch . Los vectores de Jones corresponden al espacio subyacente C ² , es decir, a los estados puros (no normalizados) del mismo sistema. Nótese que la fase global (es decir, el factor de fase común entre las dos ondas componentes en los dos ejes de polarización perpendiculares) se pierde al pasar de un estado puro |φ⟩ al estado mixto correspondiente |φ⟩⟨φ|, al igual que se pierde al pasar de un vector de Jones al vector de Stokes correspondiente.

En la base del estado de polarización horizontal${\displaystyle |H\rangle }$y estado de polarización vertical${\displaystyle |V\rangle }$, el estado de polarización lineal de +45° es${\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$, el estado de polarización lineal de -45° es${\displaystyle |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )}$, el estado de polarización circular de la mano izquierda es${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}$y el estado de polarización circular derecha es${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}$. Es fácil ver que estos estados son los autovectores de las matrices de Pauli , y que los parámetros de Stokes normalizados ( U/I , V/I , Q/I ) corresponden a las coordenadas del vector de Bloch (${\displaystyle a_{x}}$,${\displaystyle a_{y}}$,${\displaystyle a_{z}}$). De forma equivalente, tenemos${\displaystyle U/I=tr\left(\rho \sigma _{x}\right)}$,${\displaystyle V/I=tr\left(\rho \sigma _{y}\right)}$,${\displaystyle Q/I=tr\left(\rho \sigma _{z}\right)}$, dónde${\displaystyle \rho }$es la matriz de densidad del estado mixto.

Generalmente, una polarización lineal en un ángulo θ tiene un estado cuántico puro.${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$; por lo tanto, la transmitancia de un polarizador/analizador lineal en el ángulo θ para una fuente de luz de estado mixto con matriz de densidad${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+a_{x}\sigma _{x}+a_{y}\sigma _{y}+a_{z}\sigma _{z}\right)}$es${\displaystyle tr(\rho |\theta \rangle \langle \theta |)={\frac {1}{2}}\left(1+a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta }\right)}$, con una transmitancia máxima de${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$en${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}}$si${\displaystyle a_{z}>0}$, o en${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}+{\frac {\pi }{2}}}$si${\displaystyle a_{z}<0}$; la transmitancia mínima de${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$Se alcanza en la dirección perpendicular a la dirección de máxima transmitancia. Aquí, la relación entre la transmitancia máxima y la mínima se define como la relación de extinción.${\displaystyle ER=(1+DOLP)/(1-DOLP)}$donde el grado de polarización lineal es${\displaystyle DOLP={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}}}$. De forma equivalente, la fórmula para la transmitancia se puede reescribir como${\displaystyle A\cos ^{2}{(\theta -\theta _{0})}+B}$, que es una forma extendida de la ley de Malus ; aquí,${\displaystyle A,B}$ambos son no negativos y está relacionado con la tasa de extinción por${\displaystyle ER=(A+B)/B}$. Dos de los parámetros de Stokes normalizados también se pueden calcular mediante${\displaystyle a_{x}=DOLP\sin {2\theta _{0}},\,a_{z}=DOLP\cos {2\theta _{0}},\,DOLP=(ER-1)/(ER+1)}$.

También cabe destacar que una rotación del eje de polarización en un ángulo θ corresponde al operador de rotación de la esfera de Bloch.${\displaystyle R_{y}(2\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$Por ejemplo, el estado de polarización horizontal${\displaystyle |H\rangle }$rotaría a${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$El efecto de una placa de cuarto de onda alineada con el eje horizontal se describe mediante:${\displaystyle R_{z}(\pi /2)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /4}&0\\0&e^{+i\pi /4}\end{bmatrix}}}$, o equivalentemente la puerta de fase S , y el vector de Bloch resultante se convierte en${\displaystyle (-a_{y},a_{x},a_{z})}$Con esta configuración, si realizamos el método del analizador rotatorio para medir la relación de extinción, podremos calcular${\displaystyle a_{y}}$y también verificar${\displaystyle a_{z}}$Para que este método funcione, el eje rápido y el eje lento de la lámina de onda deben estar alineados con las direcciones de referencia para los estados base.

El efecto de una placa de cuarto de onda girada un ángulo θ se puede determinar mediante la fórmula de rotación de Rodrigues como${\displaystyle R_{n}(\pi /2)={\frac {1}{\sqrt {2}}}I-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$, con${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}\cos {2\theta }+{\hat {x}}\sin {2\theta }}$. La transmitancia de la luz resultante a través de un polarizador lineal (placa analizadora) a lo largo del eje horizontal se puede calcular utilizando la misma fórmula de rotación de Rodrigues y centrándose en sus componentes en${\displaystyle I}$y${\displaystyle \sigma _{z}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=tr[R_{n}(\pi /2)\rho R_{n}(-\pi /2)|H\rangle \langle H|]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+(a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta })\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left(1+a_{y}\sin {2\theta }+DOLP\times {\frac {\cos {(4\theta -2\theta _{0})}+\cos {(2\theta _{0})}}{2}}\right)\end{aligned}}}$

La expresión anterior es la base teórica de muchos polarímetros. Para luz no polarizada , T=1/2 es una constante. Para luz polarizada circularmente pura, T tiene una dependencia sinusoidal del ángulo θ con un período de 180 grados, y puede alcanzar la extinción absoluta donde T=0. Para luz polarizada linealmente pura, T tiene una dependencia sinusoidal del ángulo θ con un período de 90 grados, y la extinción absoluta solo se alcanza cuando la polarización de la luz original está a 90 grados del polarizador (es decir,${\displaystyle a_{z}=-1}$). En esta configuración,${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$y${\displaystyle T={\frac {1-\cos {(4\theta )}}{4}}}$con un máximo de 1/2 en θ=45° y un punto de extinción en θ=0°. Este resultado se puede utilizar para determinar con precisión el eje rápido o lento de una lámina de cuarto de onda, por ejemplo, utilizando un divisor de haz polarizador para obtener una luz polarizada linealmente alineada con la placa analizadora y girando la lámina de cuarto de onda entre ambos.

De manera similar, el efecto de una placa de media onda girada un ángulo θ se describe mediante${\displaystyle R_{n}(\pi )=-i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$, que transforma la matriz de densidad en:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(\pi )\rho R_{n}(-\pi )&={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot [-{\vec {\sigma }}+2{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[I-{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+2({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]\end{aligned}}}$

La expresión anterior demuestra que si la luz original es de polarización lineal pura (es decir,${\displaystyle a_{y}=0}$), la luz resultante después de la placa de media onda sigue siendo de polarización lineal pura (es decir, sin${\displaystyle \sigma _{y}}$componente) con un eje mayor rotado. Dicha rotación de la polarización lineal tiene una dependencia sinusoidal del ángulo θ con un período de 90 grados.

• cálculo de Mueller
• cálculo de Jones
• Polarización (ondas)
• Modelo del cielo de Rayleigh
• Operadores de Stokes
• Mezcla de polarización

• Jackson, JD, Electrodinámica clásica , John Wiley & Sons, 1999. ISBN 9780471309321
• Stone, JM, Radiación y óptica , McGraw-Hill, 1963.
• Collett, E., Guía de campo sobre polarización , Guías de campo de SPIE vol. FG05 , SPIE, 2005. ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Óptica , 2.ª ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster (1954). "Polarización y parámetros de Stokes". Am. J. Phys . 22 (6): 351. Bibcode : 1954AmJPh..22..351M . doi : 10.1119/1.1933744 .
• William H. McMaster (1961). "Representación matricial de la polarización". Rev. Mod. Phys . 33 (1): 8. Bibcode : 1961RvMP...33....8M . doi : 10.1103/RevModPhys.33.8 .