Escalamiento multidimensional

También se conoce como Análisis de Coordenadas Principales (PCoA), Escalamiento de Torgerson o Escalamiento de Torgerson-Gower. Toma una matriz de entrada que proporciona las disimilitudes entre pares de elementos y produce una matriz de coordenadas cuya configuración minimiza una función de pérdida llamada deformación , ^{[ 2 ]} que viene dada por $${\displaystyle {\text{Deformación}}_{D}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\Biggl (}{\frac {\sum _{i,j}{\bigl (}b_{ij}-x_{i}^{T}x_{j}{\bigr )}^{2}}{\sum _{i,j}b_{ij}^{2}}}{\Biggr )}^{1/2},}$$ dónde${\displaystyle x_{i}}$denotamos vectores en un espacio N -dimensional,${\displaystyle x_{i}^{T}x_{j}}$denota el producto escalar entre${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle x_{j}}$, y${\displaystyle b_{ij}}$son los elementos de la matriz${\displaystyle B}$definidos en el paso 2 del siguiente algoritmo, que se calculan a partir de las distancias.

Pasos de un algoritmo MDS clásico:

El MDS clásico utiliza el hecho de que la matriz de coordenadas${\displaystyle X}$puede derivarse mediante descomposición de valores propios a partir de${\textstyle B=XX'}$. Y la matriz${\textstyle B}$se puede calcular a partir de la matriz de proximidad${\textstyle D}$mediante el uso de doble centrado. ^{[ 4 ]}

1. Configurar la matriz de proximidad al cuadrado${\textstyle D^{(2)}=[d_{ij}^{2}]}$
2. Aplicar doble centrado:${\textstyle B=-{\frac {1}{2}}CD^{(2)}C}$utilizando la matriz de centrado${\textstyle C=I-{\frac {1}{n}}J_ {n}}$, dónde${\textstyle n}$es el número de objetos,${\textstyle I}$es el${\textstyle n\times n}$matriz identidad y${\textstyle J_{n}}$es un${\textstyle n\times n}$matriz de todos unos.
3. Determinar el${\textstyle m}$autovalores más grandes${\textstyle \lambda _ {1},\lambda _ {2},...,\lambda _ {m}}$y los vectores propios correspondientes${\textstyle e_ {1},e_ {2},...,e_ {m}}$de${\textstyle B}$(dónde${\textstyle m}$es el número de dimensiones deseadas para la salida).
4. Ahora,${\textstyle X=E_{m}\Lambda _{m}^{1/2}}$, dónde${\textstyle E_{m}}$es la matriz de${\textstyle m}$vectores propios y${\textstyle \Lambda _{m}}$es la matriz diagonal de${\textstyle m}$valores propios de${\textstyle B}$.

El escalamiento multidimensional clásico (MDS) asume distancias métricas. Por lo tanto, no es aplicable para las calificaciones de disimilitud directa.

Es un superconjunto del MDS clásico que generaliza el procedimiento de optimización a una variedad de funciones de pérdida y matrices de entrada de distancias conocidas con ponderaciones, etc. Una función de pérdida útil en este contexto se denomina estrés , que a menudo se minimiza mediante un procedimiento llamado mayorización de estrés . El MDS métrico minimiza la función de coste denominada "estrés", que es una suma residual de cuadrados:

${\displaystyle {\text{Estrés}}_{D}(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\sqrt {\sum _{i\neq j=1,...,n}{\bigl (}d_{ij}-\|x_{i}-x_{j}\|{\bigr )}^{2}}}.}$

El escalado métrico utiliza una transformación de potencia con un exponente controlado por el usuario.${\textstyle p}$:${\textstyle d_{ij}^{p}}$y${\textstyle -d_{ij}^{2p}}$para la distancia. En la escala clásica${\textstyle p=1.}$El escalamiento no métrico se define mediante el uso de regresión isotónica para estimar de forma no paramétrica una transformación de las disimilitudes.

A diferencia del escalamiento multidimensional métrico (MDS métrico), el escalamiento multidimensional no métrico encuentra una relación monótona no paramétrica entre las disimilitudes en la matriz ítem-ítem y las distancias euclidianas entre los ítems, y la ubicación de cada ítem en el espacio de baja dimensión.

Dejar${\displaystyle d_{ij}}$ser la disimilitud entre puntos${\displaystyle i,j}$. Dejar${\displaystyle {\hat {d}}_{ij}=\|x_{i}-x_{j}\|}$sea ​​la distancia euclidiana entre puntos incrustados${\displaystyle x_{i},x_{j}}$.

Ahora, para cada elección de los puntos incrustados${\displaystyle x_{i}}$y es una función monótonamente creciente${\displaystyle f}$, defina la función "estrés":

${\displaystyle S(x_{1},...,x_{n};f)={\sqrt {\frac {\sum _{i<j}{\bigl (}f(d_{ij})-{\hat {d}}_{ij}{\bigr )}^{2}}{\sum _{i<j}{\hat {d}}_{ij}^{2}}}}.}$

El factor de${\displaystyle \sum _{i<j}{\hat {d}}_{ij}^{2}}$en el denominador es necesario para evitar un "colapso". Supongamos que definimos en su lugar${\displaystyle S={\sqrt {\sum _{i<j}{\bigl (}f(d_{ij})-{\hat {d}}_{ij})^{2}}}}$, entonces se puede minimizar trivialmente estableciendo${\displaystyle f=0}$, luego colapsa todos los puntos al mismo punto.

Existen varias variantes de esta función de coste. Los programas MDS minimizan automáticamente el estrés para obtener la solución MDS.

El núcleo de un algoritmo MDS no métrico reside en un proceso de optimización doble. En primer lugar, se debe encontrar la transformación monótona óptima de las proximidades. En segundo lugar, los puntos de una configuración deben disponerse de forma óptima, de modo que sus distancias coincidan lo más posible con las proximidades escaladas.

NMDS necesita optimizar dos objetivos simultáneamente. Esto generalmente se hace de forma iterativa:

1. Inicializar${\displaystyle x_{i}}$aleatoriamente, por ejemplo, mediante muestreo de una distribución normal.
2. Hacer hasta que se cumpla un criterio de parada (por ejemplo,${\displaystyle S<\epsilon }$)
   1. Resuelve para${\displaystyle f=\arg \min _{f}S(x_{1},...,x_{n};f)}$mediante regresión isotónica .
   2. Resuelve para${\displaystyle x_{1},...,x_{n}=\arg \min _{x_{1},...,x_{n}}S(x_{1},...,x_{n};f)}$mediante descenso de gradiente u otros métodos.
3. Devolver${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle f}$

El análisis del espacio más pequeño (SSA, por sus siglas en inglés) de Louis Guttman es un ejemplo de un procedimiento MDS no métrico.

Una extensión del escalamiento multidimensional métrico, en el que el espacio objetivo es un espacio no euclidiano suave arbitrario. En los casos en que las disimilitudes son distancias en una superficie y el espacio objetivo es otra superficie, GMDS permite encontrar la incrustación de mínima distorsión de una superficie en otra. ^{[ 5 ]}

Una extensión del MDS, conocida como Super MDS, incorpora información tanto de distancia como de ángulo para una mejor localización de la fuente. A diferencia del MDS tradicional, que utiliza únicamente mediciones de distancia, Super MDS procesa algebraicamente (sin iteración) los datos de distancia y ángulo de llegada (AOA) para lograr una mayor precisión. ^{[ 6 ]}

El método se desarrolla en los siguientes pasos:

1. Construir el núcleo Gram de aristas reducidas: Para una red de${\displaystyle N}$fuentes en un${\displaystyle \eta }$espacio -dimensional, definimos los vectores de borde como${\displaystyle v_{i}=x_{m}-x_{n}}$La disimilitud viene dada por${\displaystyle k_{i,j}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$Ensambla estos elementos para formar el núcleo completo.${\displaystyle K=VV^{T}}$y luego formar el núcleo reducido utilizando el${\displaystyle N-1}$vectores independientes:${\displaystyle {\bar {K}}=[V]_{(N-1)\times \eta }\ [V]_{(N-1)\times \eta }^{T}}$,
2. Descomposición propia: Calcule la descomposición propia de${\displaystyle {\bar {K}}}$,
3. Estimar vectores de borde: Recuperar los vectores de borde como${\displaystyle {\hat {V}}={\Bigl (}U_{M\times \eta }\,\Lambda _{\eta \times \eta }^{\odot {\frac {1}{2}}}{\Bigr )}^{T}}$,
4. Alineamiento de Procusto: Recuperar${\displaystyle {\hat {V}}}$de${\displaystyle V}$mediante la transformación de Procrustes,
5. Calcular coordenadas: Resuelve las siguientes ecuaciones lineales para calcular las estimaciones de las coordenadas.${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\vline \mathbf {0} _{1\times N-1}\\\hline \mathbf {[C]} _{N-1\times N}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {X} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}\\\hline [\mathbf {V} ]_{N-1\times \eta }\end{pmatrix}},}$

Este enfoque conciso reduce la necesidad de múltiples puntos de anclaje y mejora la precisión de la localización aprovechando las restricciones angulares.