Función zeta múltiple

En matemáticas , las funciones zeta múltiples son generalizaciones de la función zeta de Riemann , definida por

${\displaystyle \zeta(s_{1},\ldots ,s_{k})=\suma _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\suma _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!}$

y convergen cuando Re( s ₁ ) + ... + Re( s _i ) >  i para todo  i . Al igual que la función zeta de Riemann, las funciones zeta múltiples pueden continuar analíticamente como funciones meromórficas (véase, por ejemplo, Zhao (1999)). Cuando s ₁ , ..., s _k son todos enteros positivos (con s ₁  > 1) estas sumas a menudo se denominan valores zeta múltiples (MZV) o sumas de Euler . Estos valores también pueden considerarse como valores especiales de los polilogaritmos múltiples. ^{[1] [2]}

En la definición anterior, la k se denomina "profundidad" de un MZV, y n  =  s ₁  + ... +  s _k se conoce como el "peso". ^[3]

La forma abreviada estándar para escribir varias funciones zeta es colocar las cadenas repetidas del argumento entre llaves y usar un superíndice para indicar la cantidad de repeticiones. Por ejemplo,

${\displaystyle \zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1\}^{2},3).}$

Las funciones zeta múltiples surgen como casos especiales de los polilogaritmos múltiples.

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

que son generalizaciones de las funciones polilogarítmicas . Cuando todas las son raíces n- ^ésimas de la unidad y todas son números enteros no negativos, los valores del polilogaritmo múltiple se denominan valores zeta múltiples coloreados de nivel . En particular, cuando , se denominan sumas de Euler o valores zeta múltiples alternados , y cuando se denominan simplemente valores zeta múltiples. Los valores zeta múltiples a menudo se escriben ${\displaystyle \mu_{i}}$ $estilo de visualización s_{i}}$ ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n=2}$${\estilo de visualización n=1}$

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {1}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

y las sumas de Euler se escriben

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon ^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

donde . A veces, los autores escribirán una barra sobre un correspondiente a un igual a , así que por ejemplo ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$$estilo de visualización s_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _ {i}}$${\estilo de visualización -1}$

${\displaystyle \zeta ({\overline {a}},b)=\zeta (a,b;-1,1)}$.

Kontsevich observó que es posible expresar valores zeta múltiples coloreados (y, por lo tanto, sus casos especiales) como ciertas integrales multivariables . Este resultado se expresa a menudo mediante el uso de una convención para integrales iteradas, donde

${\displaystyle \int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{d}(t)dt=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})dt_{d}\right)\right)dt_{2}\right)dt_{1}}$

Utilizando esta convención, el resultado puede expresarse de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdots \left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {dt}{a_{d}-t}}}$donde para .${\displaystyle a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}}$${\displaystyle j=1,2,\lpuntos ,d}$

Este resultado es extremadamente útil debido a un resultado bien conocido sobre los productos de integrales iteradas, a saber, que

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)dt\right)\!\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)dt\cdots f_{m}(t)dt\right)=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {Sh}}_{n,m}}\int _{0}^{x}f_{\sigma (1)}(t)\cdots f_{\sigma (m)}(t)}$donde y es el grupo simétrico de símbolos.${\displaystyle {\mathfrak {Sh}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma (1)<\cdots <\sigma (n),\sigma (n+1)<\cdots <\sigma (m)\}}$${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle m}$

Para utilizar esto en el contexto de múltiples valores zeta, definamos , como el monoide libre generado por y como el espacio vectorial libre generado por . se puede equipar con el producto aleatorio , convirtiéndolo en un álgebra . Luego, la función zeta múltiple se puede ver como un mapa de evaluación, donde identificamos , y definimos ${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle a={\frac {dt}{t}}}$${\displaystyle b={\frac {dt}{1-t}}}$

${\displaystyle \zeta (\mathbf {w} )=\int _{0}^{1}\mathbf {w} }$Para cualquiera ,${\displaystyle \mathbf {w} \in X^{*}}$

lo cual, por la identidad integral antes mencionada , hace

${\displaystyle \zeta (a^{s_{1}-1}b\cdots a^{s_{d}-1}b)=\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d}).}$

Entonces, la identidad integral de los productos da ^[2]

${\displaystyle \zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{ ⧢ }}v).}$

En el caso particular de sólo dos parámetros tenemos (con s > 1 y n ,  m enteros): ^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}}$

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}}$¿Dónde están los números armónicos generalizados ?${\displaystyle H_{n,t}}$

Se sabe que múltiples funciones zeta satisfacen lo que se conoce como dualidad MZV, cuyo caso más simple es la famosa identidad de Euler :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!}$

donde H _n son los números armónicos .

Valores especiales de funciones zeta dobles, con s  > 0 y par , t  > 1 y impar , pero s + t = 2 N +1 (tomando si es necesario ζ (0) = 0): ^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)}$

Nótese que si tenemos irreducibles, es decir, estos MZV no pueden escribirse como función de solamente. ^[5]${\displaystyle s+t=2p+2}$${\displaystyle p/3}$${\displaystyle \zeta (a)}$

En el caso particular de sólo tres parámetros tenemos (con a > 1 y n , j ,  i enteros):

${\displaystyle \zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{j,c}}{(j+1)^{b}}}}$

Los MZV anteriores satisfacen la fórmula de reflexión de Euler:

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$para${\displaystyle a,b>1}$

Utilizando las relaciones de mezcla, es fácil demostrar que: ^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)}$para${\displaystyle a,b,c>1}$

Esta función puede verse como una generalización de las fórmulas de reflexión.

Sea , y para una partición del conjunto , sea . Además, dados tales y una k -tupla de exponentes, defina . ${\displaystyle S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle \Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$${\displaystyle c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle i=\{i_{1},...,i_{k}\}}$${\displaystyle \prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})}$

Las relaciones entre y son: y${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})}$${\displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3}).}$

Para cualquier real , . ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1,}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

Demostración. Supongamos que son todos distintos. (No hay pérdida de generalidad, ya que podemos tomar límites). El lado izquierdo se puede escribir como . Ahora, pensando en la simetría ${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$

grupo que actúa sobre k -tuplas de números enteros positivos. Una k -tupla dada tiene un grupo de isotropía ${\displaystyle \Sigma _{k}}$${\displaystyle n=(1,\cdots ,k)}$${\displaystyle n=(n_{1},\cdots ,n_{k})}$

${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$y una partición asociada de : es el conjunto de clases de equivalencia de la relación dada por si y solo si , y . Ahora el término aparece en el lado izquierdo de exactamente veces. Aparece en el lado derecho en aquellos términos correspondientes a particiones que son refinamientos de : dejando denotar refinamiento, aparece veces. Por lo tanto, la conclusión se seguirá si para cualquier k -tupla y partición asociada . Para ver esto, note que cuenta las permutaciones que tienen un tipo de ciclo especificado por : dado que cualquier elemento de tiene un tipo de ciclo único especificado por una partición que refina , se sigue el resultado. ^[6]${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle (1,2,\cdots ,k)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle i\sim j}$${\displaystyle n_{i}=n_{j}}$${\displaystyle \Sigma _{k}(n)=\{\sigma \in \Sigma _{k}:\sigma (i)\sim \forall i\}}$${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$${\displaystyle \left|\Sigma _{k}(n)\right|}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }(\Pi )}$${\displaystyle \left|\Sigma _{k}(n)\right|=\sum _{\Pi \succeq \Lambda }c(\Pi )}$${\displaystyle n=\{n_{1},\cdots ,n_{k}\}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle c(\Pi )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$${\displaystyle \Lambda }$

Para , el teorema dice que para . Este es el resultado principal de. ^[7]${\displaystyle k=3}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}S(i_{\sigma (1)},i_{\sigma (2)},i_{\sigma (3)})=\zeta (i_{1})\zeta (i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1})\zeta (i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{3})\zeta (i_{2})+2\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$${\displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}>1}$

Teniendo . Para enunciar el análogo del Teorema 1 para , necesitamos un bit de notación. Para una partición ${\displaystyle \zeta (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle \zeta 's}$

${\displaystyle \Pi =\{P_{1},\cdots ,P_{l}\}}$de , dejar . ${\displaystyle \{1,2\cdots ,k\}}$${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )=(-1)^{k-l}c(\Pi )}$

Para cualquier real , . ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}\zeta (i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}{\tilde {c}}(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

Demostración. Seguimos la misma línea de argumentación que en la demostración anterior. El lado izquierdo es ahora , y un término aparece en el lado izquierdo ya que una vez si todos los son distintos, y ninguna en caso contrario. Por lo tanto, basta con demostrar (1) ${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }{\tilde {c}}(\Pi )={\begin{cases}1,{\text{ if }}\left|\Lambda \right|=k\\0,{\text{ otherwise }}.\end{cases}}}$

Para demostrar esto, note primero que el signo de es positivo si las permutaciones del tipo de ciclo son pares , y negativo si son impares : por lo tanto, el lado izquierdo de (1) es la suma con signo del número de permutaciones pares e impares en el grupo de isotropía . Pero tal grupo de isotropía tiene números iguales de permutaciones pares e impares a menos que sea trivial, es decir, a menos que la partición asociada sea . ^[6]${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\cdots ,\{k\}\}}$

En primer lugar, enunciamos la conjetura de la suma, que se debe a C. Moen. ^[8]

Conjetura de la suma (Hoffman). Para los números enteros positivos k y n , , donde la suma se extiende sobre k -tuplas de números enteros positivos con . ${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)}$${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}}$${\displaystyle i_{1}>1}$

Conviene hacer tres observaciones sobre esta conjetura . En primer lugar, implica . En segundo lugar, en el caso de que diga que , o utilizando la relación entre y y el Teorema 1,${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)}$${\displaystyle \zeta 's}$${\displaystyle S's}$${\displaystyle 2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).}$

Esto fue probado por Euler ^[9] y ha sido redescubierto varias veces, en particular por Williams. ^[10] Finalmente, C. Moen ^[8] ha probado la misma conjetura para k = 3 mediante argumentos largos pero elementales. Para la conjetura de dualidad, primero definimos una involución en el conjunto de secuencias finitas de números enteros positivos cuyo primer elemento es mayor que 1. Sea el conjunto de secuencias finitas estrictamente crecientes de números enteros positivos, y sea la función que envía una secuencia en a su secuencia de sumas parciales. Si es el conjunto de secuencias en cuyo último elemento es como máximo , tenemos dos involuciones conmutativas y en definidas por y = complemento de en dispuestas en orden creciente. Nuestra definición de es para con . ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Im }$${\displaystyle \mathrm {T} }$${\displaystyle \Sigma :\Im \rightarrow \mathrm {T} }$${\displaystyle \Im }$${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {T} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$${\displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\dots ,n+1-a_{1})}$${\displaystyle C_{n}(a_{1},\dots ,a_{l})}$${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{l}\}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)}$${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\in \Im }$${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

Por ejemplo, diremos que las secuencias y son duales entre sí, y nos referiremos a una secuencia fijada por como auto-dual. ^[6]${\displaystyle \tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle \tau (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle \tau }$

Conjetura de dualidad (Hoffman). Si es dual a , entonces . ${\displaystyle (h_{1},\dots ,h_{n-k})}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle \zeta (h_{1},\dots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\dots ,i_{k})}$

Esta conjetura de suma también se conoce como Teorema de la suma , y ​​puede expresarse de la siguiente manera: el valor zeta de Riemann de un entero n  ≥ 2 es igual a la suma de todos los MZV válidos (es decir, con s ₁  > 1) de las particiones de longitud k y peso n , con 1 ≤  k  ≤  n  − 1. En la fórmula: ^[3]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n).}$

Por ejemplo, con longitud k = 2 y peso n = 7:

${\displaystyle \zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7).}$

La suma de Euler con alternancias de signo aparece en estudios de la suma de Euler no alternada. ^[5]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},b)}$ con son los números armónicos generalizados .${\displaystyle H_{n}^{(b)}=+1+{\frac {1}{2^{b}}}+{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta (a,{\bar {b}})}$ con${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(b)}=-1+{\frac {1}{2^{b}}}-{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})}$con${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(c)}=-1+{\frac {1}{2^{c}}}-{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},b,c)}$con${\displaystyle H_{n}^{(c)}=+1+{\frac {1}{2^{c}}}+{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,{\bar {b}},c)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,b,{\bar {c}})}$

Como variante de la función eta de Dirichlet definimos

${\displaystyle \phi (s)={\frac {1-2^{(s-1)}}{2^{(s-1)}}}\zeta (s)}$con${\displaystyle s>1}$

${\displaystyle \phi (1)=-\ln 2}$

La fórmula de reflexión se puede generalizar de la siguiente manera: ${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$

${\displaystyle \zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},a)=\zeta (a)\phi (b)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},b)+\zeta (b,{\bar {a}})=\zeta (b)\phi (a)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},{\bar {a}})=\phi (a)\phi (b)-\zeta (a+b)}$

Si tenemos${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {a}})={\tfrac {1}{2}}{\Big [}\phi ^{2}(a)-\zeta (2a){\Big ]}}$

Utilizando la definición de serie es fácil demostrar:

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {a}},b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})={\frac {\zeta (a,b)}{2^{(a+b-2)}}}}$con${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,b,{\bar {c}})+\zeta (a,{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},b,c)+\zeta (a,{\bar {b}},{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},b,{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\frac {\zeta (a,b,c)}{2^{(a+b+c-3)}}}}$con${\displaystyle a>1}$

Otra relación útil es: ^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})=\sum _{s>0}(a+b-s-1)!{\Big [}{\frac {Z_{a}(a+b-s,s)}{(a-s)!(b-1)!}}+{\frac {Z_{b}(a+b-s,s)}{(b-s)!(a-1)!}}{\Big ]}}$

donde y${\displaystyle Z_{a}(s,t)=\zeta (s,t)+\zeta ({\bar {s}},t)-{\frac {{\Big [}\zeta (s,t)+\zeta (s+t){\Big ]}}{2^{(s-1)}}}}$${\displaystyle Z_{b}(s,t)={\frac {\zeta (s,t)}{2^{(s-1)}}}}$

Tenga en cuenta que debe usarse para todos los valores para los cuales el argumento de los factoriales es${\displaystyle s}$${\displaystyle >1}$${\displaystyle \geqslant 0}$

Para todos los números enteros positivos : ${\displaystyle a,b,\dots ,k}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,k)=\zeta (k+1)}$o de manera más general:

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {k}})=-\phi (k+1)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},b)=\zeta ({\overline {a+1}},b)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,{\bar {b}})=\zeta (a+1,{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},{\bar {b}})=\zeta ({\overline {a+1}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1}$

${\displaystyle 1-\zeta (2)+\zeta (3)-\zeta (4)+\cdots =|{\frac {1}{2}}|}$

${\displaystyle \zeta (a,a)={\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\zeta (a))^{2}-\zeta (2a){\Big ]}}$

${\displaystyle \zeta (a,a,a)={\tfrac {1}{6}}(\zeta (a))^{3}+{\tfrac {1}{3}}\zeta (3a)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (a)\zeta (2a)}$

La función zeta de Mordell-Tornheim, introducida por Matsumoto (2003), quien se inspiró en los artículos de Mordell (1958) y Tornheim (1950), se define como

${\displaystyle \zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}}$

Es un caso especial de la función zeta de Shintani .

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