Función zeta múltiple

En matemáticas , las funciones zeta múltiples son generalizaciones de la función zeta de Riemann , definida por

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!}$

y convergen cuando Re( s1) + ... + Re(si) > i para todo i . Al _igual que la función zeta _de Riemann, las funciones zeta múltiples pueden continuarse analíticamente como funciones meromorfas (véase, por ejemplo, Zhao (1999)). Cuando s1 _, ..., sk son todos enteros positivos (con s1 _{> 1) ,} estas sumas se denominan a menudo valores zeta múltiples (VZM) o sumas de Euler . Estos valores también pueden considerarse valores especiales de los polilogaritmos múltiples. ^{[ 1 ] [ 2 ]}         

La k en la definición anterior se denomina "profundidad" de un MZV, y n  = s ₁ + ... + s _k se conoce como "peso". ^{[ 3 ]}     

La forma abreviada estándar para escribir múltiples funciones zeta es colocar cadenas repetidas del argumento entre llaves y usar un superíndice para indicar el número de repeticiones. Por ejemplo,

${\displaystyle \zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1\}^{2},3).}$

Las funciones zeta múltiples surgen como casos especiales de los polilogaritmos múltiples.

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

que son generalizaciones de las funciones polilogarítmicas . Cuando todas las${\displaystyle \mu _{i}}$son ^raíces n de la unidad y la${\displaystyle s_{i}}$son todos enteros no negativos, los valores del polilogaritmo múltiple se denominan valores zeta múltiples coloreados de nivel${\displaystyle n}$. En particular, cuando${\displaystyle n=2}$, se denominan sumas de Euler o valores zeta múltiples alternados , y cuando${\displaystyle n=1}$Simplemente se les llama valores zeta múltiples. Los valores zeta múltiples se escriben a menudo

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {1}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

y las sumas de Euler están escritas

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

dónde${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$. A veces, los autores escriben una barra sobre un${\displaystyle s_{i}}$correspondiente a un${\displaystyle \varepsilon _{i}}$igual a${\displaystyle -1}$, por ejemplo

${\displaystyle \zeta ({\overline {a}},b)=\zeta (a,b;-1,1)}$.

Kontsevich observó que es posible expresar valores zeta múltiples coloreados (y por lo tanto sus casos especiales) como ciertas integrales multivariables . Este resultado se suele enunciar utilizando una convención para integrales iteradas, donde

${\displaystyle \int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{d}(t)dt=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})dt_{d}\right)\right)dt_{2}\right)dt_{1}}$

Utilizando esta convención, el resultado se puede expresar de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdots \left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {dt}{a_{d}-t}}}$dónde${\displaystyle a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}}$para${\displaystyle j=1,2,\ldots ,d}$.

Este resultado es extremadamente útil debido a un resultado bien conocido sobre productos de integrales iteradas, a saber, que

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)dt\right)\!\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)dt\cdots f_{m}(t)dt\right)=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {Sh}}_{n,m}}\int _{0}^{x}f_{\sigma (1)}(t)\cdots f_{\sigma (m)}(t)}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {Sh}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma (1)<\cdots <\sigma (n),\sigma (n+1)<\cdots <\sigma (m)\}}$y${\displaystyle S_{m}}$es el grupo simétrico en${\displaystyle m}$símbolos.

Para utilizar esto en el contexto de múltiples valores zeta, defina${\displaystyle X=\{a,b\}}$,${\displaystyle X^{*}}$ser el monoide libre generado por${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ser libre${\displaystyle \mathbb {Q} }$- espacio vectorial generado por${\displaystyle X^{*}}$.${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$puede equiparse con el producto de barajado , convirtiéndolo en un álgebra . Entonces, la función zeta múltiple puede verse como un mapa de evaluación, donde identificamos${\displaystyle a={\frac {dt}{t}}}$,${\displaystyle b={\frac {dt}{1-t}}}$y definir

${\displaystyle \zeta (\mathbf {w} )=\int _{0}^{1}\mathbf {w} }$para cualquier${\displaystyle \mathbf {w} \in X^{*}}$,

lo cual, por la identidad integral antes mencionada , hace que

${\displaystyle \zeta (a^{s_{1}-1}b\cdots a^{s_{d}-1}b)=\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d}).}$

Entonces, la identidad integral en productos da ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{ ⧢ }}v).}$

En el caso particular de solo dos parámetros tenemos (con s > 1 y n , m enteros): ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}}$

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}}$dónde${\displaystyle H_{n,t}}$son los números armónicos generalizados .

Se sabe que múltiples funciones zeta satisfacen lo que se conoce como dualidad MZV, cuyo caso más simple es la famosa identidad de Euler :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!}$

donde H _n son los números armónicos .

Valores especiales de funciones doble zeta, con s  >  0 y par , t  >  1 e impar , pero s + t = 2 N +1 (tomando si es necesario ζ (0)  =  0): ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)}$

Tenga en cuenta que si${\displaystyle s+t=2p+2}$tenemos${\displaystyle p/3}$irreducibles, es decir, estos MZV no se pueden escribir como función de${\displaystyle \zeta (a)}$solamente. ^{[ 5 ]}

En el caso particular de solo tres parámetros tenemos (con a > 1 y n , j , i enteros):

${\displaystyle \zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{j,c}}{(j+1)^{b}}}}$

Los MZV anteriores satisfacen la fórmula de reflexión de Euler :

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$para${\displaystyle a,b>1}$

Utilizando las relaciones de permutación, es fácil demostrar que: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)}$para${\displaystyle a,b,c>1}$

Esta función puede considerarse una generalización de las fórmulas de reflexión.

Dejar${\displaystyle S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$y para una partición${\displaystyle \Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}}$del conjunto${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$, dejar${\displaystyle c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!}$. Además, dado tal${\displaystyle \Pi }$y una k -tupla${\displaystyle i=\{i_{1},...,i_{k}\}}$de exponentes, definir${\displaystyle \prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})}$.

Las relaciones entre los${\displaystyle \zeta }$y${\displaystyle S}$son: ${\displaystyle S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})}$y${\displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3}).}$

Fuente: ^{[ 6 ]}

Primero enunciamos la conjetura de la suma, que se debe a C. Moen. ^{[ 8 ]}

Conjetura de la suma (Hoffman). Para enteros positivos k y n , ${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)}$donde la suma se extiende sobre k -tuplas${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}}$de enteros positivos con${\displaystyle i_{1}>1}$.

Conviene hacer tres observaciones sobre esta conjetura . Primero, implica${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)}$. Segundo, en el caso${\displaystyle k=2}$dice que${\displaystyle \zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)}$, o utilizando la relación entre el${\displaystyle \zeta 's}$y${\displaystyle S's}$y el Teorema 1,${\displaystyle 2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).}$

Esto fue demostrado por Euler ^{[ 9 ]} y ha sido redescubierto varias veces, en particular por Williams. ^{[ 10 ]} Finalmente, C. Moen ^{[ 8 ]} ha demostrado la misma conjetura para k = 3 mediante argumentos extensos pero elementales. Para la conjetura de dualidad, primero definimos una involución.${\displaystyle \tau }$en el set${\displaystyle \Im }$de secuencias finitas de enteros positivos cuyo primer elemento es mayor que 1. Sea${\displaystyle \mathrm {T} }$Sea el conjunto de secuencias finitas estrictamente crecientes de enteros positivos, y sea${\displaystyle \Sigma$ :\Im \rightarrow \mathrm {T} } sea la función que envía una secuencia en${\displaystyle \Im }$a su secuencia de sumas parciales. Si${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$es el conjunto de secuencias en${\displaystyle \mathrm {T} }$cuyo último elemento es como máximo${\displaystyle n}$, tenemos dos involuciones conmutativas${\displaystyle R_{n}}$y${\displaystyle C_{n}}$en${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$definido por ${\displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\dots ,n+1-a_{1})}$y ${\displaystyle C_{n}(a_{1},\dots ,a_{l})}$= complemento de${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{l}\}}$en${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ordenados en orden ascendente. Nuestra definición de${\displaystyle \tau }$es${\displaystyle \tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)}$para${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\in \Im }$con${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$.

Por ejemplo, ${\displaystyle \tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$ Diremos las secuencias${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$y${\displaystyle \tau (i_{1},\dots ,i_{k})}$son duales entre sí y se refieren a una secuencia fijada por${\displaystyle \tau }$como autodual. ^{[ 6 ]}

Conjetura de dualidad (Hoffman). Si${\displaystyle (h_{1},\dots ,h_{n-k})}$es dual a${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$, entonces${\displaystyle \zeta (h_{1},\dots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\dots ,i_{k})}$.

Esta conjetura de la suma también se conoce como Teorema de la Suma , y ​​puede expresarse de la siguiente manera: el valor zeta de Riemann de un entero n  ≥  2 es igual a la suma de todos los MZV válidos (es decir, con s ₁  >  1) de las particiones de longitud k y peso n , con 1  ≤ k ≤ n − 1. En la fórmula: ^{[ 3 ]}     

${\displaystyle \sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n).}$

Por ejemplo, con una longitud k = 2 y un peso n = 7:

${\displaystyle \zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7).}$

La suma de Euler con alternancia de signo aparece en estudios de la suma de Euler no alternante. ^{[ 5 ]}

Para todos los enteros positivos${\displaystyle a,b,\dots ,k}$:

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,k)=\zeta (k+1)}$o, de forma más general:

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {k}})=-\phi (k+1)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},b)=\zeta ({\overline {a+1}},b)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,{\bar {b}})=\zeta (a+1,{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},{\bar {b}})=\zeta ({\overline {a+1}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1}$

${\displaystyle 1-\zeta (2)+\zeta (3)-\zeta (4)+\cdots =|{\frac {1}{2}}|}$

${\displaystyle \zeta (a,a)={\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\zeta (a))^{2}-\zeta (2a){\Big ]}}$

${\displaystyle \zeta (a,a,a)={\tfrac {1}{6}}(\zeta (a))^{3}+{\tfrac {1}{3}}\zeta (3a)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (a)\zeta (2a)}$

La función zeta de Mordell-Tornheim, introducida por Matsumoto (2003) quien se inspiró en los trabajos de Mordell (1958) y Tornheim (1950) , se define por

${\displaystyle \zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}}$

Es un caso especial de la función zeta de Shintani .

• Tornheim, Leonard (1950). "Series dobles armónicas". American Journal of Mathematics . 72 (2): 303– 314. doi : 10.2307/2372034 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372034. MR 0034860 .   
• Mordell, Louis J. (1958). "Sobre la evaluación de algunas series múltiples". Journal of the London Mathematical Society . Segunda serie. 33 (3): 368– 371. doi : 10.1112/jlms/s1-33.3.368 . ISSN 0024-6107 . MR 0100181 .  
• Apostol, Tom M. ; Vu, Thiennu H. (1984), "Series de Dirichlet relacionadas con la función zeta de Riemann", Journal of Number Theory , 19 (1): 85– 102, doi : 10.1016/0022-314X(84)90094-5 , ISSN 0022-314X , MR 0751166  
• Crandall, Richard E.; Buhler, Joe P. (1994). "Sobre la evaluación de sumas de Euler" . Matemáticas experimentales . 3 (4): 275. doi : 10.1080/10586458.1994.10504297 . MR 1341720 . 
• Borwein, Jonathan M.; Girgensohn, Roland (1996). "Evaluación de sumas de Euler triples" . Electron. J. Comb . 3 (1): #R23. doi : 10.37236/1247 . hdl : 1959.13/940394 . MR 1401442 . 
• Flajolet, Philippe; Salvy, Bruno (1998). "Sumas de Euler y representaciones de integrales de contorno" . Exp. Math . 7 : 15–35 . CiteSeerX 10.1.1.37.652 . doi : 10.1080/10586458.1998.10504356 . 
• Zhao, Jianqiang (1999). "Continuación analítica de múltiples funciones zeta" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 128 (5): 1275– 1283. doi : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR 1670846 . 
• Matsumoto, Kohji (2003), "Sobre Mordell–Tornheim y otras funciones zeta múltiples", Actas de la Sesión sobre Teoría Analítica de Números y Ecuaciones Diofánticas , Bonner Math. Schriften, vol.  360, Bonn: Univ. Bonn, MR 2075634 
• Espinosa, Olivier; Moll, Victor Hugo (2008). "La evaluación de sumas dobles de Tornheim". arXiv : math/0505647 .
• Espinosa, Olivier; Moll, Victor Hugo (2010). "La evaluación de las sumas dobles de Tornheim II". Ramanujan J. 22 : 55–99 . arXiv : 0811.0557 . doi : 10.1007 /s11139-009-9181-1 . MR 2610609. S2CID 17055581 .  
• Borwein, JM ; Chan, OY. (2010). "Dualidad en las colas de múltiples valores zeta". Int. J. Number Theory . 6 (3): 501– 514. CiteSeerX 10.1.1.157.9158 . doi : 10.1142/S1793042110003058 . MR 2652893 .  
• Basu, Ankur (2011). "Sobre la evaluación de sumas de Tornheim y sumas dobles afines". Ramanujan J. 26 ( 2): 193– 207. doi : 10.1007/s11139-011-9302-5 . MR 2853480. S2CID 120229489 .  

• Borwein, Jonathan; Zudilin, Wadim. "Apuntes de clase sobre la función zeta múltiple" .
• Hoffman, Michael (2012). "Múltiples valores zeta" .
• Zhao, Jianqiang (2016). Funciones zeta múltiples, polilogaritmos múltiples y sus valores especiales . Serie sobre teoría de números y sus aplicaciones. Vol.  12. World Scientific Publishing. doi : 10.1142/9634 . ISBN 978-981-4689-39-7.
• Burgos Gil, José Ignacio; Fresán, Javier. "Valores zeta múltiples: de los números a los motivos" (PDF) .