Teorema de multiplicidad uno

En la teoría matemática de las representaciones automórficas , un teorema de multiplicidad uno es un resultado sobre la teoría de representaciones de un grupo algebraico reductivo adélico . La multiplicidad en cuestión es el número de veces que una representación de grupo abstracto dada se realiza en un espacio determinado de funciones de cuadrado integrable , dado de forma concreta.

Un teorema de multiplicidad uno también puede referirse a un resultado sobre la restricción de una representación de un grupo G a un subgrupo H. En ese contexto, el par ( G , H ) se denomina par de Gelfand fuerte .  

Sea G un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo numérico K y sea A el conjunto de adeles de K. Sea Z el centro de G y sea ω un carácter unitario continuo de Z ( K )\Z( A ) ^× a C ^× . Sea L₂₀ ( G ( K )/ G ( A ), ω ) el espacio de formas cúspides con carácter central ω en G ( A ). Este espacio se descompone en una suma directa de espacios de _Hilbert ^. 

${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\barra invertida G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi })}m_{\pi }V_{\pi }}$

donde la suma se realiza sobre subrepresentaciones irreducibles y m _π son enteros no negativos .

Se dice que el grupo de puntos adélicos de G , G ( A ), satisface la propiedad de multiplicidad uno si cualquier representación admisible irreducible suave de G ( A ) aparece con multiplicidad como máximo uno en el espacio de formas de cúspide de carácter central ω , es decir, _mπ es 0 o 1 para todo π de ese tipo .  

El hecho de que el grupo lineal general , GL ( n ), tenga la propiedad de multiplicidad uno fue demostrado por Jacquet y Langlands (1970) para n  =  2 e independientemente por Piatetski-Shapiro (1979) y Shalika ( 1974 ) para n > 2 utilizando la unicidad del modelo de Whittaker . La multiplicidad uno también se cumple para SL (2) , pero no para SL ( n ) para n > 2 ( Blasius 1994 ) .     

El teorema de multiplicidad fuerte uno de Piatetski-Shapiro (1979) y Jacquet y Shalika ( 1981a , 1981b ) establece que dos representaciones automorfas cuspidales del grupo lineal general son isomorfas si sus componentes locales son isomorfas para todos los lugares excepto un número finito. 

• Conjetura de Gan-Gross-Prasad

• Blasius, Don (1994), "Sobre multiplicidades para SL( n )", Israel Journal of Mathematics , 88 (1): 237– 251, doi : 10.1007/BF02937513 , ISSN 0021-2172 , MR 1303497  
• Cogdell, James W. (2004), "Lectures on L-functions, converse theorems, and functoriality for GL _n " , en Cogdell, James W.; Kim, Henry H.; Murty, Maruti Ram (eds.), Lectures on automorphic L-functions , Fields Inst. Monogr., vol.  20, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 1–96 , ISBN  978-0-8218-3516-6, MR 2071506 
• Jacquet, Hervé; Langlands, Robert (1970), Formas automórficas en GL(2) , Lecture Notes in Mathematics, vol.  114, Springer-Verlag
• Jacquet, H.; Shalika, JA (1981a), "Sobre los productos de Euler y la clasificación de las representaciones automórficas. I" (PDF) , American Journal of Mathematics , 103 (3): 499–558 , doi : 10.2307/2374103 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2374103 , MR 0618323 , consultado el 6 de agosto de 2021   
• Jacquet, H.; Shalika, JA (1981b), "Sobre los productos de Euler y la clasificación de las formas automórficas. II" (PDF) , American Journal of Mathematics , 103 (4): 777–815 , doi : 10.2307/2374050 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2374050 , MR 0618323 , consultado el 6 de agosto de 2021   
• Piatetski-Shapiro, II (1979), "Teoremas de multiplicidad uno", en Borel, Armand ; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Universidad Estatal de Oregón, Corvallis, Oregón, 1977), Parte 1 , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, XXXIII, Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , pp. 209–212 , ISBN  978-0-8218-1435-2, MR 0546599 
• Shalika, JA (1974), "El teorema de multiplicidad uno para GL _n ", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 100 (2): 171– 193, doi : 10.2307/1971071 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971071 , MR 0348047