teoría de la multiplicidad

En álgebra abstracta, la teoría de la multiplicidad se refiere a la multiplicidad de un módulo M en un ideal I (a menudo un ideal maximal).

${\displaystyle \mathbf {e} _ {I}(M).}$

La noción de multiplicidad de un módulo es una generalización del grado de una variedad proyectiva . Mediante la fórmula de intersección de Serre, se vincula a una multiplicidad de intersección en la teoría de la intersección .

El objetivo principal de la teoría es detectar y medir un punto singular de una variedad algebraica (véase resolución de singularidades ). Debido a esto, la teoría de la valuación , las álgebras de Rees y el cierre integral están íntimamente ligados a la teoría de la multiplicidad.

Sea R un anillo graduado positivamente tal que R es finitamente generado como un R ₀ -álgebra y R ₀ es artiniano . Nótese que R tiene dimensión de Krull finita d . Sea M un R -módulo finitamente generado y F _M ( t ) su serie de Hilbert-Poincaré . Esta serie es una función racional de la forma

${\displaystyle {\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},}$

dónde${\displaystyle P(t)}$es un polinomio. Por definición, la multiplicidad de M es

${\displaystyle \mathbf {e} (M)=P(1).}$

La serie podría ser reescrita.

${\displaystyle F(t)=\sum _{1}^{d}{a_{di} \over (1-t)^{d}}+r(t).}$

donde r ( t ) es un polinomio. Nótese que${\displaystyle a_{di}}$son los coeficientes del polinomio de Hilbert de M expandido en coeficientes binomiales. Tenemos

${\displaystyle \mathbf {e} (M)=a_{0}.}$

Como las series de Hilbert-Poincaré son aditivas en secuencias exactas, la multiplicidad es aditiva en secuencias exactas de módulos de la misma dimensión.

El siguiente teorema, debido a Christer Lech, proporciona cotas a priori para la multiplicidad. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Teoría de la dimensión (álgebra)
• j-multiplicidad
• Multiplicidad de Hilbert-Samuel
• función de Hilbert-Kunz
• Anillo normalmente plano