Álgebra de multiplicadores

En matemáticas , el álgebra multiplicadora , denotada por M ( A ), de un álgebra C* -A es un álgebra C*-unitaria que es el álgebra C*-unitaria más grande que contiene a A como un ideal de forma "no degenerada". Es la generalización no conmutativa de la compactificación de Stone-Čech . Las álgebras multiplicadoras fueron introducidas por Busby (1968) .

Por ejemplo, si A es el álgebra C* de operadores compactos en un espacio de Hilbert separable , M ( A ) es B ( H ), el álgebra C* de todos los operadores acotados en H .

Se dice que un ideal I en un C*-álgebra B es esencial si I ∩ J no es trivial para todo ideal J. Un ideal I es esencial si y solo si I ^⊥ , el " complemento ortogonal " de I en el C*-módulo de Hilbert B es {0}.

Sea A un álgebra C*. Su álgebra multiplicadora M ( A ) es cualquier álgebra C* que satisface la siguiente propiedad universal : para cualquier álgebra C* D que contiene a A como ideal, existe un único *-homomorfismo φ: D → M ( A ) tal que φ extiende el homomorfismo identidad en A y φ ( A ^⊥ ) = {0}.

La unicidad, salvo isomorfismo , se especifica mediante la propiedad universal. Cuando A es unitario, M ( A ) = A. De la definición también se deduce que, para cualquier D que contenga a A como ideal esencial, el álgebra multiplicadora M ( A ) contiene a D como subálgebra C*.

La existencia de M ( A ) puede demostrarse de varias maneras.

Un centralizador doble de un álgebra C* A es un par ( L , R ) de aplicaciones lineales acotadas en A tales que aL ( b ) = R ( a ) b para todo a y b en A. Esto implica que || L || = || R ||. El conjunto de centralizadores dobles de A puede tener una estructura de álgebra C*. Esta álgebra C* contiene a A como un ideal esencial y puede identificarse como el álgebra multiplicadora M ( A ). Por ejemplo, si A son los operadores compactos K ( H ) en un espacio de Hilbert separable, entonces cada x ∈ B ( H ) define un centralizador doble de A simplemente multiplicando por la izquierda y por la derecha.

Alternativamente, M ( A ) puede obtenerse mediante representaciones. Se necesitará el siguiente hecho:

Lema. Si I es un ideal en un álgebra C*-B , entonces cualquier representación fiel no degenerada π de I puede extenderse de forma única a B.

Ahora tomemos cualquier representación fiel no degenerada π de A en un espacio de Hilbert H. El lema anterior, junto con la propiedad universal del álgebra de multiplicadores, produce que M ( A ) es isomorfo al idealizador de π ( A ) en B ( H ). Es inmediato que M ( K ( H )) = B ( H ).

Por último, sea E un C*-módulo de Hilbert y B ( E ) (resp. K ( E )) los operadores adjuntos (resp. compactos) en E. M ( A ) puede identificarse mediante un *-homomorfismo de A en B ( E ). Algo similar al lema anterior es cierto:

Lema. Si I es un ideal en un C*-álgebra B , entonces cualquier *-homomorfismo fiel no degenerado π de I en B ( E ) puede extenderse de forma única a B .

En consecuencia, si π es un *-homomorfismo fiel no degenerado de A en B ( E ), entonces M ( A ) es isomorfo al idealizador de π ( A ). Por ejemplo, M ( K ( E )) = B ( E ) para cualquier módulo de Hilbert E .

El álgebra C* A es isomorfa a los operadores compactos en el módulo de Hilbert A. Por lo tanto, M ( A ) son los operadores adjuntables en A.

Consideremos la topología en M ( A ) especificada por las seminormas { l _a , r _a } _{a ∈ A} , donde

${\displaystyle l_{a}(x)=\|ax\|,\;r_{a}(x)=\|xa\|.}$

La topología resultante se llama topología estricta en M ( A ). A es estrictamente densa en M ( A ) .

Cuando A es unitario, M ( A ) = A , y la topología estricta coincide con la topología de norma . Para B ( H ) = M ( K ( H )), la topología estricta es la topología σ -fuerte* . De lo anterior se deduce que B ( H ) es completo en la topología σ-fuerte*.

Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto , A = C ₀ ( X ), el álgebra C* conmutativa de funciones continuas que se anulan en el infinito . Entonces M ( A ) es C _b ( X ), las funciones continuas acotadas en X . Por el teorema de Gelfand-Naimark , se tiene el isomorfismo de álgebras C*.

${\displaystyle C_{b}(X)\simeq C(Y)}$

donde Y es el espectro de C _b ( X ). Y es de hecho homeomorfo a la compactificación de Stone-Čech βX de X .

La corona o álgebra de corona de A es el cociente M ( A )/ A . Por ejemplo, el álgebra de corona del álgebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert es el álgebra de Calkin .

El álgebra de corona es un análogo no conmutativo del conjunto de corona de un espacio topológico.

• B. Blackadar, Teoría K para álgebras de operadores , Publicaciones MSRI, 1986.
• Busby, Robert C. (1968), "Doble centralizador y extensiones de C*-álgebras" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 132 (1): 79–99 , doi : 10.2307/1994883 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994883 , MR 0225175 , S2CID 54047557 , archivado del original (PDF) el 20 de febrero de 2020    
• Pedersen, Gert K. (2001) [1994], "Multiplicadores de C*-álgebras" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press