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Mediana

Cálculo de la mediana en conjuntos de datos con observaciones impares (arriba) y pares (abajo) La mediana de un conjunto de números es el valor que separa la mitad superior de l...

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Cálculo de la mediana en conjuntos de datos con observaciones impares (arriba) y pares (abajo)

La mediana de un conjunto de números es el valor que separa la mitad superior de la mitad inferior de una muestra de datos , una población o una distribución de probabilidad . Para un conjunto de datos , puede considerarse como el valor "medio". La característica fundamental de la mediana al describir datos en comparación con la media (a menudo descrita simplemente como el "promedio") es que no está sesgada por una pequeña proporción de valores extremos y, por lo tanto, proporciona una mejor representación del centro. El ingreso mediano , por ejemplo, puede ser una mejor manera de describir el centro de la distribución de ingresos porque los aumentos en los ingresos más altos por sí solos no tienen efecto sobre la mediana. Por esta razón, la mediana es de vital importancia en la estadística robusta . La mediana es un cuantil 2 ; es el valor que divide un conjunto en dos partes iguales.

Conjunto finito de números

La mediana de una lista finita de números es el número central cuando los números están ordenados de menor a mayor.

Si el conjunto de datos tiene un número impar de observaciones, se selecciona la del medio (después de ordenarlas en orden ascendente). Por ejemplo, la siguiente lista de siete números,

1, 3, 3, 6 , 7, 8, 9

tiene una mediana de 6 , que es el cuarto valor.

Si el conjunto de datos tiene un número par de observaciones, no hay un valor central distinto y la mediana generalmente se define como la media aritmética de los dos valores centrales. [ 1 ] [ 2 ] Por ejemplo, este conjunto de datos de 8 números

1, 2, 3, 4, 5 , 6, 8, 9

tiene un valor mediano de 4,5 , es decir(4+5)/2{\displaystyle (4+5)/2}(En términos más técnicos, esto interpreta la mediana como el rango medio completamente recortado ).

En general, con esta convención, la mediana se puede definir de la siguiente manera: Para un conjunto de datosincógnita{\displaystyle x}denorte{\displaystyle n}elementos, ordenados de menor a mayor,

sinorte{\displaystyle n}es extraño,medicina⁡(incógnita)=incógnita(norte+1)/2{\displaystyle \operatorname {med} (x)=x_{(n+1)/2}}
sinorte{\displaystyle n}es par,medicina⁡(incógnita)=incógnita(norte/2)+incógnita((norte/2)+1)2{\displaystyle \operatorname {med} (x)={\frac {x_{(n/2)}+x_{((n/2)+1)}}{2}}}

Definición y notación

Formalmente, la mediana de una población es cualquier valor tal que al menos la mitad de la población es menor o igual a la mediana propuesta y al menos la otra mitad es mayor o igual a la mediana propuesta. Como se mencionó anteriormente, las medianas no siempre son únicas. Si cada conjunto contiene más de la mitad de la población, entonces parte de la población es exactamente igual a la mediana única.

La mediana está bien definida para cualquier conjunto de datos ordenados (unidimensionales) y es independiente de cualquier métrica de distancia . Por lo tanto, la mediana se puede aplicar a las calificaciones de los estudiantes que están clasificadas pero no son numéricas (por ejemplo, para calcular la mediana cuando las calificaciones de los exámenes se puntúan de F a A). El resultado podría estar a medio camino entre las calificaciones si hay un número par de estudiantes; para un número impar de estudiantes, se determina una calificación específica como la mediana.

Por otro lado, la mediana geométrica se define en cualquier número de dimensiones. Un concepto relacionado, en el que el resultado se fuerza a corresponder a un miembro de la muestra, es el medoide .

No existe una notación estándar ampliamente aceptada para la mediana, pero algunos autores representan la mediana de una variable x como med( x ), x͂ , [ 3 ] como μ 1/2 , [ 1 ] o como M . [ 3 ] [ 4 ] En cualquiera de estos casos, el uso de estos u otros símbolos para la mediana debe definirse explícitamente cuando se introducen.

La mediana es un caso especial de otras formas de resumir los valores típicos asociados a una distribución estadística : es el segundo cuartil , el quinto decil y el percentil 50 .

Usos

La mediana puede utilizarse como medida de posición cuando se resta importancia a los valores extremos, normalmente porque la distribución está sesgada , se desconocen los valores extremos o los valores atípicos no son fiables, es decir, pueden ser errores de medición o de transcripción.

Por ejemplo, consideremos el multiconjunto

1, 2, 2, 2, 3, 14.

En este caso, la mediana es 2, al igual que la moda , y podría considerarse un mejor indicador del centro que la media aritmética de 4, que es mayor que todos los valores excepto uno. Sin embargo, la relación empírica ampliamente citada de que la media se desplaza "más hacia la cola" de una distribución que la mediana no es generalmente cierta. Como mucho, se puede decir que las dos estadísticas no pueden estar "demasiado" separadas; véase la sección "  Desigualdad entre medias y medianas" más adelante. [ 5 ]

Como la mediana se basa en el valor central de un conjunto de datos, no es necesario conocer el valor de los resultados extremos para calcularla. Por ejemplo, en una prueba psicológica que investiga el tiempo necesario para resolver un problema, si un pequeño número de personas no logra resolverlo en el tiempo asignado, aún se puede calcular la mediana. [ 6 ]

Debido a que la mediana es fácil de entender y calcular, además de ser una aproximación robusta a la media , es una estadística descriptiva muy utilizada . En este contexto, existen varias opciones para medir la variabilidad : el rango , el rango intercuartil , la desviación absoluta media y la desviación absoluta mediana .

Para fines prácticos, a menudo se comparan diferentes medidas de localización y dispersión en función de la precisión con la que se pueden estimar los valores poblacionales correspondientes a partir de una muestra de datos. La mediana, estimada utilizando la mediana muestral, presenta buenas propiedades en este sentido. Si bien no suele ser óptima si se asume una distribución poblacional dada, sus propiedades son siempre razonablemente buenas. Por ejemplo, una comparación de la eficiencia de los estimadores candidatos muestra que la media muestral es estadísticamente más eficiente cuando —y solo cuando— los datos no están contaminados por datos de distribuciones de cola pesada o de mezclas de distribuciones. Incluso en ese caso, la mediana tiene una eficiencia del 64 % en comparación con la media de varianza mínima (para muestras normales grandes), lo que significa que la varianza de la mediana será aproximadamente un 50 % mayor que la varianza de la media. [ 7 ] [ 8 ]

Distribuciones de probabilidad

La mediana de una variable aleatoria de valor realincógnita{\displaystyle X}es un número realmetro{\displaystyle m}que satisface PAG⁡(incógnita<metro)≤12yPAG⁡(incógnita>metro)≤12{\displaystyle \operatorname {P} (X<m)\leq {\frac {1}{2}}\quad {\text{y}}\quad \operatorname {P} (X>m)\leq {\frac {1}{2}}} o, equivalentemente con los eventos complementarios , PAG⁡(incógnita≥metro)≥12yPAG⁡(incógnita≤metro)≥12.{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\quad {\text{and}}\quad \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}\,.} Tal esmetro{\displaystyle m}Siempre existe, pero no necesita estar determinado de forma única. Una formulación equivalente utiliza la función de distribución acumulativa.F:R→R{\displaystyle F\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} }deincógnita:{\displaystyle X\colon }límiteincógnita→metro−F(incógnita)≤12≤F(metro){\displaystyle \lim _{x\to m-}F(x)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m)} (véase el dibujo en la definición de valor esperado para variables aleatorias reales arbitrarias ).

Moda , mediana y media ( valor esperado ) de una función de densidad de probabilidad [ 9 ]

Nótese que esta definición no requiere que X tenga una distribución absolutamente continua (que tiene una función de densidad de probabilidad f ), ni tampoco requiere una discreta . En el primer caso, las desigualdades pueden convertirse en igualdades: una mediana satisface PAG⁡(incógnita≤metro)=∫−∞metroF(incógnita)dincógnita=12{\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\int _{-\infty }^{m}{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}} y PAG⁡(incógnita≥metro)=∫metro∞F(incógnita)dincógnita=12.{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)=\int _{m}^{\infty }{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}\,.}

Cualquier distribución de probabilidad en el conjunto de números realesR{\displaystyle \mathbb {R} }tiene al menos una mediana, pero en casos patológicos puede haber más de una mediana: si F es constante 1/2 en un intervalo (de modo que f = 0 allí), entonces cualquier valor de ese intervalo es una mediana.

Medianas de distribuciones particulares

Las medianas de ciertos tipos de distribuciones se pueden calcular fácilmente a partir de sus parámetros; además, existen incluso para algunas distribuciones que carecen de una media bien definida, como la distribución de Cauchy :

Propiedades

Propiedad de optimalidad

El error absoluto medio de una variable real m con respecto a la variable aleatoria X es  mi⁡[|incógnita−metro|]{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X-m\right|\right]} Siempre que la distribución de probabilidad de X sea tal que exista la expectativa anterior, entonces m es una mediana de X si y solo si m es un minimizador del error absoluto medio con respecto a X. [ 11 ] En particular, si m es una mediana muestral, entonces minimiza la media aritmética de las desviaciones absolutas. [ 12 ] Sin embargo, tenga en cuenta que en los casos en que la muestra contiene un número par de elementos, este minimizador no es único.

Esta definición de la mediana basada en la optimización es útil en el análisis estadístico de datos, por ejemplo, en la agrupación de k medianas .

Desigualdad relativa a las medias y las medianas

Comparación de la media , la mediana y la moda de dos distribuciones log-normales con diferente asimetría.

Si la distribución tiene varianza finita, entonces la distancia entre la medianaincógnita~{\displaystyle {\tilde {X}}}y la mediaincógnita¯{\displaystyle {\bar {X}}}está acotado por una desviación estándar .

Esta cota fue demostrada por Book y Sher en 1979 para muestras discretas, [ 13 ] y de forma más general por Page y Murty en 1982. [ 14 ] En un comentario sobre una demostración posterior de O'Cinneide, [ 15 ] Mallows en 1991 presentó una demostración compacta que utiliza la desigualdad de Jensen dos veces, [ 16 ] de la siguiente manera. Usando |·| para el valor absoluto , tenemos

|μ−metro|=|mi⁡(incógnita−metro)|≤mi⁡(|incógnita−metro|)≤mi⁡(|incógnita−μ|)≤mi⁡((incógnita−μ)2)=σ.{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mu -m\right|=\left|\operatorname {E} (X-m)\right|&\leq \operatorname {E} \left(\left|X-m\right|\right)\\[2ex]&\leq \operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|\right)\\[1ex]&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left({\left(X-\mu \right)}^{2}\right)}}=\sigma .\end{aligned}}}

La primera y la tercera desigualdad provienen de la desigualdad de Jensen aplicada a la función de valor absoluto y a la función cuadrática, que son convexas. La segunda desigualdad proviene del hecho de que una mediana minimiza la función de desviación absoluta.a↦mi⁡[|incógnita−a|]{\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} [|X-a|]}.

La demostración de Mallows se puede generalizar para obtener una versión multivariada de la desigualdad [ 17 ] simplemente reemplazando el valor absoluto por una norma : ‖μ−metro‖≤mi⁡(‖incógnita−μ‖2)=rastro⁡(var⁡(incógnita)){\displaystyle \left\|\mu -m\right\|\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left({\left\|X-\mu \right\|}^{2}\right)}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(\operatorname {var} (X)\right)}}}

donde m es una mediana espacial , es decir, un minimizador de la funcióna↦mi⁡(‖incógnita−a‖).{\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (\|X-a\|).\,}La mediana espacial es única cuando la dimensión del conjunto de datos es dos o más. [ 18 ] [ 19 ]

Una demostración alternativa utiliza la desigualdad de Chebyshev unilateral; aparece en una desigualdad sobre parámetros de localización y escala . Esta fórmula también se deduce directamente de la desigualdad de Cantelli . [ 20 ]

Distribuciones unimodales

Para el caso de distribuciones unimodales , se puede lograr un límite más preciso en la distancia entre la mediana y la media: [ 21 ]

|incógnita~−incógnita¯|≤(35)1/2σ≈0,7746σ.{\displaystyle \left|{\tilde {X}}-{\bar {X}}\right|\leq \left({\frac {3}{5}}\right)^{1/2}\sigma \approx 0.7746\sigma .}

Una relación similar existe entre la mediana y la moda:

|incógnita~−metroodmi|≤31/2σ≈1.732σ.{\displaystyle \left|{\tilde {X}}-\mathrm {mode} \right|\leq 3^{1/2}\sigma \approx 1.732\sigma .}

La media es mayor que la mediana en las distribuciones monótonas.

Media, mediana y asimetría

Una heurística típica es que las distribuciones con asimetría positiva tienen una media mayor que la mediana. Esto es cierto para todos los miembros de la familia de distribuciones de Pearson . Sin embargo, esto no siempre es cierto. Por ejemplo, la familia de distribuciones de Weibull tiene miembros con media positiva, pero con media menor que la mediana. Las violaciones de esta regla son particularmente comunes en las distribuciones discretas. Por ejemplo, cualquier distribución de Poisson tiene asimetría positiva, pero su media es menor que la mediana siempre queμmod1>ln⁡2{\displaystyle \mu {\bmod {1}}>\ln 2}. [ 22 ] Véase [ 23 ] para un esbozo de demostración.

Cuando la distribución tiene una densidad de probabilidad que disminuye monótonamente, la mediana es menor que la media, como se muestra en la figura.

Desigualdad de Jensen para medianas

La desigualdad de Jensen establece que para cualquier variable aleatoria X con una esperanza finita E [ X ] y para cualquier función convexa f

F(mi⁡(incógnita))≤mi⁡(F(incógnita)){\displaystyle f(\operatorname {E} (x))\leq \operatorname {E} (f(x))}

Esta desigualdad se generaliza también a la mediana. Decimos que una función f : R → R es una función C si, para cualquier t ,

F−1((−∞,t])={incógnita∈R∣F(incógnita)≤t}{\displaystyle f^{-1}\left(\,(-\infty ,t]\,\right)=\{x\in \mathbb {R} \mid f(x)\leq t\}} es un intervalo cerrado (que permite los casos degenerados de un solo punto o un conjunto vacío ). Toda función convexa es una función C, pero lo contrario no es cierto. Si f es una función C, entonces

F(medicina⁡[incógnita])≤medicina⁡[F(incógnita)]{\displaystyle f(\operatorname {med} [X])\leq \operatorname {med} [f(X)]}

Si las medianas no son únicas, la afirmación se cumple para el supremo correspondiente. [ 24 ]

Medianas para las muestras

Cálculo eficiente de la mediana de la muestra

Aunque la ordenación por comparación de n elementos requiere Ω ( n log n ) operaciones, los algoritmos de selección pueden calcular el k -ésimo elemento más pequeño de n elementos con solo Θ ( n ) operaciones. Esto incluye la mediana, que es el estadístico de orden n / 2 (o , para un número par de muestras, la media aritmética de los dos estadísticos de orden intermedios). [ 25 ]

Los algoritmos de selección aún tienen la desventaja de requerir Ω( n ) memoria, es decir, necesitan tener la muestra completa (o una porción de tamaño lineal de ella) en memoria. Debido a que esto, así como el requisito de tiempo lineal, puede ser prohibitivo, se han desarrollado varios procedimientos de estimación para la mediana. Uno simple es la regla de la mediana de tres, que estima la mediana como la mediana de una submuestra de tres elementos; esto se usa comúnmente como una subrutina en el algoritmo de ordenación quicksort , que usa una estimación de la mediana de su entrada. Un estimador más robusto es el noveno de Tukey , que es la regla de la mediana de tres aplicada con recursión limitada: [ 26 ] si A es la muestra dispuesta como una matriz , y

med3( A ) = med( A [1], A [ ⁠ n / 2 ⁠ ], A [ n ]) ,

entonces

noveno( A ) = med(med3( A [1 ... ⁠ 1 / 3 ⁠ n ]), med3( A [ ⁠ 1 / 3 ⁠ n ... ⁠ 2 / 3 ⁠ n ]), med3( A [ ⁠ 2 / 3 ⁠ n ... n ]))

El remedian es un estimador de la mediana que requiere tiempo lineal pero memoria sublineal, operando en una sola pasada sobre la muestra. [ 27 ]

Distribución del muestreo

Las distribuciones tanto de la media muestral como de la mediana muestral fueron determinadas por Laplace . [ 28 ] La distribución de la mediana muestral de una población con una función de densidadF(incógnita){\displaystyle f(x)}es asintóticamente normal con mediametro{\displaystyle m}y varianza [ 29 ]

14norteF(metro)2{\displaystyle {\frac {1}{4nf(m)^{2}}}}

dóndemetro{\displaystyle m}es la mediana deF(incógnita){\displaystyle f(x)}ynorte{\displaystyle n}es el tamaño de la muestra:

Mediana de la muestra∼norte(μ=metro,σ2=14norteF(metro)2){\displaystyle {\text{Sample median}}\sim {\mathcal {N}}{\left(\mu {=}m,\,\sigma ^{2}{=}{\frac {1}{4nf(m)^{2}}}\right)}}

A continuación se presenta una demostración moderna. El resultado de Laplace se entiende ahora como un caso especial de la distribución asintótica de cuantiles arbitrarios .

Para muestras normales, la densidad esF(metro)=1/2πσ2{\displaystyle f(m)=1/{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}, por lo tanto, para muestras grandes la varianza de la mediana es igual a(π/2)⋅(σ2/norte).{\displaystyle ({\pi }/{2})\cdot (\sigma ^{2}/n).}[ 7 ] (Véase también la sección#Eficienciamás abajo.)

Derivación de la distribución asintótica

Consideramos que el tamaño de la muestra es un número impar.norte=2norte+1{\displaystyle N=2n+1}y supongamos que nuestra variable es continua; la fórmula para el caso de variables discretas se da más adelante en §  Densidad local empírica . La muestra se puede resumir como "por debajo de la mediana", "en la mediana" y "por encima de la mediana", lo que corresponde a una distribución trinomial con probabilidades F(v){\displaystyle F(v)},F(v){\displaystyle f(v)}y 1−F(v){\displaystyle 1-F(v)}Para una variable continua, la probabilidad de que múltiples valores de muestra sean exactamente iguales a la mediana es 0, por lo que se puede calcular la densidad en el puntov{\displaystyle v}directamente de la distribución trinomial:

Pr[medicina=v]dv=(2norte+1)¡norte¡norte¡F(v)norte(1−F(v))norteF(v)dv.{\displaystyle \Pr[\operatorname {med} =v]\,dv={\frac {(2n+1)!}{n!n!}}F(v)^{n}(1-F(v))^{n}f(v)\,dv.}

Ahora introducimos la función beta. Para argumentos enterosα{\displaystyle \alpha }yβ{\displaystyle \beta }, esto se puede expresar comoB(α,β)=(α−1)¡(β−1)¡(α+β−1)¡{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {(\alpha -1)!(\beta -1)!}{(\alpha +\beta -1)!}}}Además, recuerda queF(v)dv=dF(v){\displaystyle f(v)\,dv=dF(v)}. Utilizando estas relaciones y estableciendo ambasα{\displaystyle \alpha }yβ{\displaystyle \beta }igual a norte+1{\displaystyle n+1}permite que la última expresión se escriba como

F(v)norte(1−F(v))norteB(norte+1,norte+1)dF(v){\displaystyle {\frac {F(v)^{n}(1-F(v))^{n}}{\mathrm {B} (n+1,n+1)}}\,dF(v)}

Por lo tanto, la función de densidad de la mediana es una distribución beta simétrica desplazada hacia adelante porF{\displaystyle F}Su media, como cabría esperar, es 0,5 y su varianza es 1/(4(norte+2)){\displaystyle 1/(4(N+2))}Según la regla de la cadena , la varianza correspondiente de la mediana de la muestra es

14(norte+2)F(metro)2.{\displaystyle {\frac {1}{4(N+2)f(m)^{2}}}.}

El 2 adicional es insignificante en el límite .

Densidad local empírica

En la práctica, las funcionesF{\displaystyle f}yF{\displaystyle F}Los valores anteriores a menudo se desconocen o se asumen. Sin embargo, pueden estimarse a partir de una distribución de frecuencia observada. En esta sección, presentamos un ejemplo. Considere la siguiente tabla, que representa una muestra de 3800 observaciones (de valores discretos):

Debido a que las observaciones son de valor discreto, construir la distribución exacta de la mediana no es una traducción inmediata de la expresión anterior paraPr(medicina=v){\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)}Es posible (y normalmente ocurre) tener múltiples instancias de la mediana en una muestra. Por lo tanto, debemos sumar sobre todas estas posibilidades:

Pr(medicina=v)=∑i=0norte∑k=0nortenorte¡i¡(norte−i−k)¡k¡F(v−1)i(1−F(v))kF(v)norte−i−k{\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {N!}{i!(N-i-k)!k!}}F(v-1)^{i}(1-F(v))^{k}f(v)^{N-i-k}}

Aquí, i es el número de puntos estrictamente menores que la mediana y k el número estrictamente mayor.

Utilizando estos datos preliminares, es posible investigar el efecto del tamaño de la muestra en los errores estándar de la media y la mediana. La media observada es 3,16, la mediana observada sin procesar es 3 y la mediana observada interpolada es 3,174. La siguiente tabla presenta algunas estadísticas comparativas.

El valor esperado de la mediana disminuye ligeramente a medida que aumenta el tamaño de la muestra, mientras que, como era de esperar, los errores estándar tanto de la mediana como de la media son proporcionales a la raíz cuadrada inversa del tamaño de la muestra. La aproximación asintótica peca de excesiva cautela al sobreestimar el error estándar.

Estimación de la varianza a partir de datos de muestra

El valor de(2F(incógnita))−2{\displaystyle (2f(x))^{-2}}—el valor asintótico denorte−1/2(ν−metro){\displaystyle n^{-1/2}(\nu -m)}dóndeν{\displaystyle \nu }es la mediana de la población—ha sido estudiada por varios autores. El método jackknife estándar de "eliminar uno" produce resultados inconsistentes . [ 30 ] Una alternativa—el método de "eliminar k"—dondek{\displaystyle k}Se ha demostrado que crece con el tamaño de la muestra y es asintóticamente consistente. [ 31 ] Este método puede ser computacionalmente costoso para conjuntos de datos grandes. Se sabe que una estimación bootstrap es consistente, [ 32 ] pero converge muy lentamente ( orden denorte−14{\displaystyle n^{-{\frac {1}{4}}}}). [ 33 ] Se han propuesto otros métodos, pero su comportamiento puede diferir entre muestras grandes y pequeñas. [ 34 ]

Eficiencia

La eficiencia de la mediana muestral, medida como la razón entre la varianza de la media y la varianza de la mediana, depende del tamaño de la muestra y de la distribución poblacional subyacente. Para una muestra de tamañonorte=2norte+1{\displaystyle N=2n+1}Según la distribución normal , la eficiencia para N grande es

2πnorte+2norte{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}{\frac {N+2}{N}}}

La eficiencia tiende a2π{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}comonorte{\displaystyle N}tiende al infinito.

En otras palabras, la varianza relativa de la mediana seráπ/2≈1,57{\displaystyle \pi /2\approx 1.57}, o un 57% mayor que la varianza de la media, el error estándar relativo de la mediana será(π/2)12≈1,25{\displaystyle (\pi /2)^{\frac {1}{2}}\approx 1.25}o un 25% mayor que el error estándar de la media ,σ/norte{\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}}(Véase también la sección #Distribución muestral más arriba). [ 35 ]

Otros estimadores

Para distribuciones univariadas que son simétricas respecto a una mediana, el estimador de Hodges-Lehmann es un estimador robusto y altamente eficiente de la mediana poblacional. [ 36 ]

Si los datos se representan mediante un modelo estadístico que especifica una familia particular de distribuciones de probabilidad , entonces se pueden obtener estimaciones de la mediana ajustando dicha familia de distribuciones de probabilidad a los datos y calculando la mediana teórica de la distribución ajustada. La interpolación de Pareto es una aplicación de esto cuando se supone que la población tiene una distribución de Pareto .

mediana multivariada

Anteriormente, este artículo analizó la mediana univariada cuando la muestra o población tenía una dimensión. Cuando la dimensión es dos o más, existen varios conceptos que extienden la definición de la mediana univariada; cada una de estas medianas multivariadas coincide con la mediana univariada cuando la dimensión es exactamente uno. [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]

mediana marginal

La mediana marginal se define para vectores definidos con respecto a un conjunto fijo de coordenadas. Una mediana marginal se define como el vector cuyos componentes son medianas univariadas. La mediana marginal es fácil de calcular, y sus propiedades fueron estudiadas por Puri y Sen. [ 36 ] [ 40 ]

mediana geométrica

La mediana geométrica de un conjunto discreto de puntos de muestra.incógnita1,…incógnitanorte{\displaystyle x_{1},\ldots x_{N}}en un espacio euclidiano es el punto [ a ] que minimiza la suma de las distancias a los puntos de muestra.

μ^=argramometroinorteμ∈Rmetro∑norte=1norte‖μ−incógnitanorte‖2{\displaystyle {\hat {\mu }}={\underset {\mu \in \mathbb {R} ^{m}}{\operatorname {arg\,min} }}\sum _{n=1}^{N}\left\|\mu -x_{n}\right\|_{2}}

A diferencia de la mediana marginal, la mediana geométrica es equivariante con respecto a las transformaciones de similitud euclidiana , como las traslaciones y las rotaciones .

Mediana en todas las direcciones

Si las medianas marginales de todos los sistemas de coordenadas coinciden, entonces su ubicación común puede denominarse "mediana en todas las direcciones". [ 42 ] Este concepto es relevante para la teoría de la votación debido al teorema del votante mediano . Cuando existe, la mediana en todas las direcciones coincide con la mediana geométrica (al menos para distribuciones discretas).

Punto central

En estadística y geometría computacional , el concepto de punto central es una generalización de la mediana a datos en el espacio euclidiano de dimensiones superiores . Dado un conjunto de puntos en un espacio d -dimensional, un punto central es aquel tal que cualquier hiperplano que pase por él divide el conjunto de puntos en dos subconjuntos aproximadamente iguales: la parte menor debe contener al menos una fracción de 1/( d  +  1) de los puntos. Al igual que la mediana, un punto central no tiene por qué ser uno de los puntos de datos. Todo conjunto de puntos no vacío (sin duplicados) tiene al menos un punto central.

Mediana condicional

La mediana condicional se presenta en el contexto en el que buscamos estimar una variable aleatoria.incógnita{\displaystyle X}de una variable aleatoriaY{\displaystyle Y}, que es una versión ruidosa deincógnita{\displaystyle X}La mediana condicional en este contexto viene dada por

metro(incógnita|Y=y)=Fincógnita|Y=y−1(12){\displaystyle m(X|Y=y)=F_{X|Y=y}^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)} dóndet↦Fincógnita|Y=y−1(t){\displaystyle t\mapsto F_{X|Y=y}^{-1}(t)}es la inversa de la función de distribución acumulada condicional (es decir, la función cuantil condicional) deincógnita↦Fincógnita|Y(incógnita|y){\displaystyle x\mapsto F_{X|Y}(x|y)}Por ejemplo, un modelo popular esY=incógnita+Z{\displaystyle Y=X+Z}dóndeZ{\displaystyle Z}es normal estándar independiente deincógnita{\displaystyle X}La mediana condicional es la bayesiana óptima.L1{\displaystyle L_{1}}estimador:

metro(incógnita|Y=y)=arg⁡minFmi⁡[|incógnita−F(Y)|]{\displaystyle m(X|Y=y)=\arg \min _{f}\operatorname {E} \left[|X-f(Y)|\right]}

Se sabe que para el modeloY=incógnita+Z{\displaystyle Y=X+Z}dóndeZ{\displaystyle Z}es normal estándar independiente deincógnita{\displaystyle X}, el estimador es lineal si y solo siincógnita{\displaystyle X}es gaussiana. [ 43 ]

Mediana interpolada

Cuando se trabaja con una variable discreta, a veces resulta útil considerar los valores observados como puntos medios de intervalos continuos subyacentes. Un ejemplo de esto es una escala Likert , en la que las opiniones o preferencias se expresan en una escala con un número fijo de posibles respuestas. Si la escala consta de enteros positivos, una observación de 3 podría considerarse que representa el intervalo de 2,50 a 3,50. Es posible estimar la mediana de la variable subyacente. Si, por ejemplo, el 22% de las observaciones tienen un valor de 2 o inferior y el 55,0% tienen un valor de 3 o inferior (es decir, el 33% tienen el valor 3), entonces la medianametro{\displaystyle m}es 3 ya que la mediana es el valor más pequeño deincógnita{\displaystyle x}para quéF(incógnita){\displaystyle F(x)}es mayor que la mitad. Pero la mediana interpolada está entre 2,50 y 3,50. Primero añadimos la mitad del ancho del intervalo.w{\displaystyle w}a la mediana para obtener el límite superior del intervalo de la mediana. Luego restamos esa proporción del ancho del intervalo que es igual a la proporción del 33% que se encuentra por encima de la marca del 50%. En otras palabras, dividimos el ancho del intervalo proporcionalmente al número de observaciones. En este caso, el 33% se divide en un 28% por debajo de la mediana y un 5% por encima de ella, por lo que restamos 5/33 del ancho del intervalo del límite superior de 3.50 para obtener una mediana interpolada de 3.35. Más formalmente, si los valoresF(incógnita){\displaystyle f(x)}Se conocen, la mediana interpolada se puede calcular a partir de

metroentero=metro+w[12−F(metro)−12F(metro)].{\displaystyle m_{\text{int}}=m+w\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {F(m)-{\frac {1}{2}}}{f(m)}}\right].}

Alternativamente, si en una muestra observada hayk{\displaystyle k}puntuaciones por encima de la categoría mediana,j{\displaystyle j}puntuaciones en él yi{\displaystyle i}Si las puntuaciones son inferiores a ella, entonces la mediana interpolada viene dada por

metroentero=metro+w2[k−ij].{\displaystyle m_{\text{int}}=m+{\frac {w}{2}}\left[{\frac {k-i}{j}}\right].}

Pseudomediana

Para distribuciones univariadas simétricas respecto a una mediana, el estimador de Hodges-Lehmann es un estimador robusto y altamente eficiente de la mediana poblacional; para distribuciones no simétricas, el estimador de Hodges-Lehmann es un estimador robusto y altamente eficiente de la pseudomediana poblacional , que es la mediana de una distribución simetrizada y que está cerca de la mediana poblacional. [ 44 ] El estimador de Hodges-Lehmann se ha generalizado a distribuciones multivariadas. [ 45 ]

Variantes de regresión

El estimador de Theil-Sen es un método para la regresión lineal robusta basado en encontrar las medianas de las pendientes . [ 46 ]

Filtro de mediana

El filtro de mediana es una herramienta importante del procesamiento de imágenes , que puede eliminar eficazmente cualquier ruido de tipo sal y pimienta de las imágenes en escala de grises .

Análisis de clúster

En el análisis de clústeres , el algoritmo de agrupamiento k-medianas proporciona una forma de definir clústeres, en la que el criterio de maximizar la distancia entre las medias de los clústeres que se utiliza en el agrupamiento k-medias se reemplaza por maximizar la distancia entre las medianas de los clústeres.

Línea mediana-mediana

Este es un método de regresión robusta. La idea se remonta a Wald en 1940, quien sugirió dividir un conjunto de datos bivariados en dos mitades dependiendo del valor del parámetro independiente.incógnita{\displaystyle x}: una mitad izquierda con valores menores que la mediana y una mitad derecha con valores mayores que la mediana. [ 47 ] Sugirió tomar las medias de la variable dependientey{\displaystyle y}y independienteincógnita{\displaystyle x}Se calcularon las variables de las mitades izquierda y derecha y se estimó la pendiente de la recta que une estos dos puntos. Posteriormente, la recta se ajustó para que se ajustara a la mayoría de los puntos del conjunto de datos.

Nair y Shrivastava en 1942 sugirieron una idea similar, pero en su lugar abogaron por dividir la muestra en tres partes iguales antes de calcular las medias de las submuestras. [ 48 ] Brown y Mood en 1951 propusieron la idea de usar las medianas de dos submuestras en lugar de las medias. [ 49 ] Tukey combinó estas ideas y recomendó dividir la muestra en tres submuestras de igual tamaño y estimar la línea basándose en las medianas de las submuestras. [ 50 ]

Estimadores insesgados respecto a la mediana

Cualquier estimador insesgado de la media minimiza el riesgo ( pérdida esperada ) con respecto a la función de pérdida de error cuadrático , como observó Gauss . Un estimador insesgado de la mediana minimiza el riesgo con respecto a la función de pérdida de desviación absoluta , como observó Laplace . En teoría estadística se utilizan otras funciones de pérdida , especialmente en estadística robusta .

La teoría de los estimadores insesgados de la mediana fue revivida por George W. Brown en 1947: [ 51 ]

Se dice que una estimación de un parámetro unidimensional θ es insesgada respecto a la mediana si, para un θ fijo, la mediana de la distribución de la estimación se encuentra en el valor θ; es decir, la estimación subestima con la misma frecuencia con la que sobreestima. Este requisito parece, en la mayoría de los casos, lograr el mismo resultado que el requisito de insesgadez respecto a la media y, además, posee la propiedad de ser invariante ante transformaciones biyectivas.

— página 584

Se han reportado propiedades adicionales de los estimadores insesgados de la mediana. [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]

Existen métodos para construir estimadores insesgados de la mediana que son óptimos (en un sentido análogo a la propiedad de varianza mínima para estimadores insesgados de la media). Dichas construcciones existen para distribuciones de probabilidad con funciones de verosimilitud monótonas . [ 56 ] [ 57 ] Un ejemplo de este procedimiento es análogo al procedimiento de Rao-Blackwell para estimadores insesgados de la media: El procedimiento es válido para una clase más pequeña de distribuciones de probabilidad que el procedimiento de Rao-Blackwell, pero para una clase más grande de funciones de pérdida . [ 58 ]

Historia

Los investigadores científicos del antiguo Cercano Oriente no parecen haber utilizado estadísticas descriptivas en absoluto, sino que optaron por valores que ofrecían la máxima coherencia con una teoría más amplia que integraba una gran variedad de fenómenos. [ 59 ] Dentro de la comunidad académica mediterránea (y, posteriormente, europea), las estadísticas como la media son fundamentalmente un desarrollo medieval y de principios de la Edad Moderna. (La historia de la mediana fuera de Europa y sus predecesoras permanece relativamente poco estudiada).

La idea de la mediana apareció en el siglo VI en el Talmud , con el fin de analizar de manera justa las evaluaciones divergentes . [ 60 ] [ 61 ] Sin embargo, el concepto no se extendió a la comunidad científica en general.

En cambio, el antecesor más cercano de la mediana moderna es el rango medio , inventado por Al-Biruni [ 62 ] : 31 [ 63 ]. La transmisión de su trabajo a estudiosos posteriores no está clara. Aplicó su técnica al análisis de metales monetarios, pero, después de publicar su trabajo, la mayoría de los analistas seguían adoptando el valor más desfavorable de sus resultados, para no parecer que hacían trampa . [ 62 ] : 35–8 [ 64 ]. Sin embargo, el aumento de la navegación marítima durante la Era de los Descubrimientos significó que los navegantes de los barcos tuvieran que intentar cada vez más determinar la latitud en condiciones climáticas adversas frente a costas hostiles, lo que llevó a un renovado interés en las estadísticas descriptivas. Ya sea redescubierto o inventado de forma independiente, el rango medio se recomienda a los navegantes náuticos en las "Instrucciones para el viaje de Raleigh a Guayana, 1595" de Harriot. [ 62 ] : 45–8

La idea de la mediana pudo haber aparecido por primera vez en el libro de Edward Wright de 1599, Certaine Errors in Navigation, en una sección sobre navegación con brújula . [ 65 ] Wright era reacio a descartar valores medidos y pudo haber sentido que la mediana —que incorporaba una mayor proporción del conjunto de datos que el rango medio— tenía más probabilidades de ser correcta. Sin embargo, Wright no dio ejemplos del uso de su técnica, lo que dificulta verificar que describiera la noción moderna de mediana. [ 59 ] [ 63 ] [ b ] La mediana (en el contexto de la probabilidad) ciertamente apareció en la correspondencia de Christiaan Huygens , pero como un ejemplo de una estadística que era inapropiada para la práctica actuarial . [ 59 ]

La primera recomendación de la mediana data de 1757, cuando Roger Joseph Boscovich desarrolló un método de regresión basado en la norma L 1 y, por lo tanto, implícitamente en la mediana. [ 59 ] [ 66 ] En 1774, Laplace hizo explícito este deseo: sugirió que la mediana se utilizara como estimador estándar del valor de una PDF posterior . El criterio específico era minimizar la magnitud esperada del error;|α−α∗|{\displaystyle |\alpha -\alpha ^{*}|}dóndeα∗{\displaystyle \alpha ^{*}}es la estimación yα{\displaystyle \alpha }es el valor verdadero. Con este fin, Laplace determinó las distribuciones de la media muestral y la mediana muestral a principios del siglo XIX. [ 28 ] [ 67 ] Sin embargo, una década más tarde, Gauss y Legendre desarrollaron el método de mínimos cuadrados , que minimiza(α−α∗)2{\displaystyle (\alpha -\alpha ^{*})^{2}}para obtener la media; la sólida justificación de este estimador mediante la referencia a la estimación de máxima verosimilitud basada en una distribución normal significa que ha reemplazado en gran medida la sugerencia original de Laplace. [ 68 ]

Antoine Augustin Cournot fue el primero en 1843 [ 69 ] en usar el término mediana ( valor médiane ) para el valor que divide una distribución de probabilidad en dos mitades iguales. Gustav Theodor Fechner usó la mediana ( centralwerth ) en fenómenos sociológicos y psicológicos. [ 70 ] Anteriormente solo se había usado en astronomía y campos relacionados. Gustav Fechner popularizó la mediana en el análisis formal de datos, aunque Laplace la había usado previamente, [ 70 ] y la mediana apareció en un libro de texto de F. Y. Edgeworth . [ 71 ] Francis Galton usó el término mediana en 1881, [ 72 ] [ 73 ] habiendo usado anteriormente los términos valor medio en 1869 y mediana en 1880. [ 74 ] [ 75 ]

Véase también

  • Desviación absoluta : diferencia entre el valor observado de una variable y un valor de referencia. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
  • Sesgo de un estimador – Propiedad estadística 
  • Tendencia central : valor estadístico que representa el centro o la media de una distribución. 
  • Concentración de la medida – Parámetro estadístico para funciones de Lipschitz – Forma fuerte de continuidad uniforme Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento  
  • Gráfico mediano : gráfico con una mediana para cada tres vértices. 
  • Mediana de medianas – Algoritmo rápido para calcular la mediana aproximada – Algoritmo para calcular la mediana aproximada en tiempo lineal 
  • Búsqueda de mediana : método para encontrar el k-ésimo valor más pequeño. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
  • Pendiente mediana : método estadístico para ajustar una línea. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
  • Teoría del votante mediano : teorema en ciencia política. Páginas que muestran breves descripciones de objetivos de redireccionamiento. 
  • Medoid : objetos máximamente similares a otros objetos en un conjunto de datos. s: generalización de la mediana en dimensiones superiores. 
  • Media móvil#Mediana móvil : tipo de medida estadística sobre subconjuntos de un conjunto de datos. 
  • Desviación absoluta mediana : medida estadística de variabilidad. 

Notas

  1. ↑ La mediana geométrica es única a menos que la muestra sea colineal. [ 41 ]
  2. ↑ Los estudiosos posteriores parecen coincidir con Eisenhart en que las cifras de Boroughs de 1580, si bien sugieren la mediana, en realidad describen una media aritmética; [ 62 ] : 62–3 Boroughs no se menciona en ninguna otra obra.

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  73. ↑ David, HA (1995). "Primera (?) aparición de términos comunes en estadística matemática". The American Statistician . 49 (2): 121– 133. doi : 10.2307/2684625 . ISSN 0003-1305 . JSTOR 2684625 .  
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  75. ↑ personal.psu.edu
  • "Mediana (en estadística)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Mediana como media aritmética ponderada de todas las observaciones de la muestra.
  • Calculadora en línea
  • Calcular la mediana
  • Un problema que involucra la media, la mediana y la moda.
  • Weisstein, Eric W. "Mediana estadística" . MathWorld .
  • Script de Python para el cálculo de la mediana y las métricas de desigualdad de ingresos.
  • Cálculo rápido de la mediana mediante agrupamiento sucesivo
  • 'Media, mediana, moda y asimetría' , un tutorial diseñado para estudiantes de primer año de psicología en la Universidad de Oxford, basado en un ejemplo práctico.
  • El complejo problema matemático del SAT que incluso el College Board resolvió mal : Andrew Daniels en Popular Mechanics

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