Teorema de Myers

El teorema de Myers , también conocido como teorema de Bonnet-Myers , es un teorema fundamental y muy conocido en el campo matemático de la geometría riemanniana . Fue descubierto por Sumner Byron Myers en 1941. Afirma lo siguiente:

Dejar${\displaystyle (M,g)}$ser una variedad riemanniana completa y conectada de dimensión${\displaystyle n}$cuya curvatura de Ricci satisface para algún número real positivo fijo${\displaystyle r}$la desigualdad${\displaystyle \operatorname {Ric} _ {p}(v)\geq (n-1){\frac {1}{r^{2}}}}$por cada${\displaystyle p\in M}$y${\displaystyle v\in T_{p}M}$de longitud unitaria. Entonces cualesquiera dos puntos de${\displaystyle M}$pueden unirse mediante un segmento geodésico de longitud como máximo${\displaystyle \pi r}$.

En el caso particular de las superficies, este resultado fue demostrado por Ossian Bonnet en 1855. Para una superficie, las curvaturas de Gauss, seccional y de Ricci son todas iguales, pero la demostración de Bonnet se generaliza fácilmente a dimensiones superiores si se asume una cota inferior positiva para la curvatura seccional . Por lo tanto, la contribución clave de Myers fue demostrar que una cota inferior de Ricci es todo lo que se necesita para llegar a la misma conclusión.

La conclusión del teorema dice, en particular, que el diámetro de${\displaystyle (M,g)}$es finito. Por lo tanto${\displaystyle M}$debe ser compacto, ya que una bola cerrada (y por lo tanto compacta) de radio finito en cualquier espacio tangente se lleva a todos los${\displaystyle M}$mediante el mapa exponencial.

Como caso muy particular, esto demuestra que cualquier variedad de Einstein lisa, completa y no compacta debe tener una constante de Einstein no positiva.

Desde${\displaystyle M}$está conectado, existe un mapa de cobertura universal suave${\displaystyle \pi :N\to M.}$Se puede considerar la métrica de retroceso.${\displaystyle \pi ^{*}g}$en${\displaystyle N.}$Desde${\displaystyle \pi }$es una isometría local, el teorema de Myers se aplica a la variedad riemanniana.${\displaystyle (N,\pi ^{*}g)}$y por lo tanto${\displaystyle N}$es compacto y el mapa de recubrimiento es finito. Esto implica que el grupo fundamental de${\displaystyle M}$es finito.

La conclusión del teorema de Myers dice que para cualquier${\displaystyle p,q\in M,}$uno tiene${\displaystyle d_{g}(p,q)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$. En 1975, Shiu-Yuen Cheng demostró:

Dejar${\displaystyle (M,g)}$Sea una variedad riemanniana completa y lisa de dimensión n . Si k es un número positivo con Ric ^g ≥ ( n -1) k , y si existen p y q en M con${\displaystyle d_{g}(p,q)={\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$, entonces${\displaystyle (M,g)}$es simplemente conexo y tiene una curvatura seccional constante k .

• Teorema de compacidad de Gromov (geometría) : Sobre cuándo un conjunto de variedades riemannianas compactas de una dimensión dada es relativamente compacto. 

• Ambrose, W. Un teorema de Myers. Duke Math. J. 24 (1957), 345–348.
• Cheng, Shiu Yuen (1975), "Teoremas de comparación de valores propios y sus aplicaciones geométricas", Mathematische Zeitschrift , 143 (3): 289– 297, doi : 10.1007/BF01214381 , ISSN 0025-5874 , MR 0378001  
• do Carmo, MP (1992), Geometría riemanniana , Boston, Mass.: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
• Myers, SB (1941), "Variedades riemannianas con curvatura media positiva", Duke Mathematical Journal , 8 (2): 401– 404, doi : 10.1215/S0012-7094-41-00832-3