Retracción (topología)

En topología , una retracción es una aplicación continua de un espacio topológico a un subespacio que conserva la posición de todos los puntos en dicho subespacio. ^{[ 1 ]} El subespacio se denomina entonces retracción del espacio original. Una retracción por deformación es una aplicación que captura la idea de reducir continuamente un espacio a un subespacio.

Un retracto de vecindad absoluta ( ANR ) es un tipo de espacio topológico particularmente bien comportado . Por ejemplo, toda variedad topológica es un ANR. Todo ANR tiene el tipo de homotopía de un espacio topológico muy simple, un complejo CW .

• Una propiedad básica de una retracción A de X (con retracción )${\textstyle r:X\to A}$) es que cada mapa continuo${\textstyle f:A\rightarrow Y}$tiene al menos una extensión${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$a saber${\textstyle g=f\circ r}$.
• Si un subespacio es un retracto de un espacio, entonces la inclusión induce una inyección entre grupos fundamentales.
• La retracción por deformación es un caso particular de equivalencia homotópica. De hecho, dos espacios son homotópicamente equivalentes si y solo si ambos son homeomorfos a retracciones por deformación de un único espacio mayor.
• Todo espacio topológico que se retrae por deformación a un punto es contraíble y viceversa. Sin embargo, existen espacios contraíbles que no se retraen fuertemente por deformación a un punto. ^{[ 5 ]}

El límite de la bola n- dimensional , es decir, la ( n -1)-esfera, no es una retracción de la bola. (Véase el teorema del punto fijo de Brouwer, §  Una demostración mediante homología o cohomología ).

Un subconjunto cerrado${\textstyle X}$de un espacio topológico${\textstyle Y}$se llama retracción vecinal de${\textstyle Y}$si${\textstyle X}$es una retracción de algún subconjunto abierto de${\textstyle Y}$que contiene${\textstyle X}$.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$sea ​​una clase de espacios topológicos, cerrados bajo homeomorfismos y paso a subconjuntos cerrados. Siguiendo a Borsuk (a partir de 1931), un espacio${\textstyle X}$se denomina retracción absoluta para la clase${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, escrito${\textstyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$si${\textstyle X}$está en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y siempre${\textstyle X}$es un subconjunto cerrado de un espacio ${\textstyle Y}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\textstyle X}$es una retractación de${\textstyle Y}$. Un espacio${\textstyle X}$es una retractación absoluta del vecindario para la clase${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, escrito${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$si${\textstyle X}$está en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y siempre${\textstyle X}$es un subconjunto cerrado de un espacio${\textstyle Y}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\textstyle X}$es una retracción del vecindario de${\textstyle Y}$.

Varias clases${\displaystyle {\mathcal {C}}}$En esta definición se han considerado espacios tales como los espacios normales , pero la clase${\displaystyle {\mathcal {M}}}$Se ha encontrado que la teoría de espacios metrizables proporciona la teoría más satisfactoria. Por esa razón, las notaciones AR y ANR por sí solas se utilizan en este artículo para significar${\displaystyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)}$y${\displaystyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)}$. ^{[ 6 ]}

Un espacio metrizable es un AR si y solo si es contraíble y un ANR. ^{[ 7 ]} Por Dugundji , todo espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo${\textstyle V}$es un AR; más generalmente, todo subconjunto convexo no vacío de dicho espacio vectorial.${\textstyle V}$es un AR. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, cualquier espacio vectorial normado ( completo o no) es un AR. Más concretamente, el espacio euclidiano${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$el cubo unitario${\textstyle I^{n},}$y el cubo de Hilbert${\textstyle I^{\omega }}$son AR.

Los ANR forman una clase notable de espacios topológicos " bien comportados ". Entre sus propiedades se encuentran:

• Todo subconjunto abierto de un ANR es un ANR.
• Según Hanner , un espacio metrizable que tiene una cubierta abierta por ANR es un ANR. ^{[ 9 ]} (Es decir, ser un ANR es una propiedad local para espacios metrizables). De ello se deduce que toda variedad topológica es un ANR. Por ejemplo, la esfera${\textstyle S^{n}}$es un ANR pero no un AR (porque no es contraíble). En dimensiones infinitas, el teorema de Hanner implica que toda variedad cúbica de Hilbert, así como las variedades de Hilbert y Banach (bastante diferentes, por ejemplo no localmente compactas ), son ANR.
• Todo complejo CW localmente finito es un ANR. ^{[ 10 ]} Un complejo CW arbitrario no tiene por qué ser metrizable, pero todo complejo CW tiene el tipo de homotopía de un ANR (que es metrizable, por definición). ^{[ 11 ]}
• Cada ANR X es contratable localmente en el sentido de que para cada vecindario abierto${\textstyle U}$de un punto${\textstyle x}$en${\textstyle X}$Hay un vecindario abierto.${\textstyle V}$de${\textstyle x}$contenido en${\textstyle U}$de tal manera que la inclusión${\textstyle V\hookrightarrow U}$es homotópico a una aplicación constante . Un espacio metrizable de dimensión finita es un ANR si y solo si es localmente contraíble en este sentido. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, el conjunto de Cantor es un subconjunto compacto de la recta real que no es un ANR, ya que ni siquiera es localmente conexo .
• Contraejemplos: Borsuk encontró un subconjunto compacto de${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$Eso es un ANR pero no estrictamente localmente contraíble. ^{[ 13 ]} (Un espacio es estrictamente localmente contraíble si cada vecindario abierto${\textstyle U}$de cada punto${\textstyle x}$contiene un vecindario abierto contraíble de${\textstyle x}$.) Borsuk también encontró un subconjunto compacto del cubo de Hilbert que es localmente contraíble (como se definió anteriormente) pero no un ANR. ^{[ 14 ]}
• Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, según Whitehead y Milnor . ^{[ 15 ]} Además, un ANR localmente compacto tiene el tipo de homotopía de un complejo CW localmente finito; y, según West, un ANR compacto tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito. ^{[ 16 ]} En este sentido, los ANR evitan todas las patologías de la teoría de la homotopía de los espacios topológicos arbitrarios. Por ejemplo, el teorema de Whitehead se cumple para los ANR: una aplicación de ANR que induce un isomorfismo en grupos de homotopía (para cualquier elección de punto base) es una equivalencia de homotopía. Dado que los ANR incluyen variedades topológicas, variedades de cubos de Hilbert, variedades de Banach, etc., estos resultados se aplican a una gran clase de espacios.
• Muchos espacios de mapeo son ANR. En particular, sea Y un ANR con un subespacio cerrado A que también es un ANR, y sea X cualquier espacio compacto metrizable con un subespacio cerrado B. Entonces el espacio${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$de mapas de pares${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$(con la topología compacta-abierta en el espacio de mapeo ) es un ANR. ^{[ 17 ]} De ello se deduce, por ejemplo, que el espacio de lazos de cualquier complejo CW tiene el tipo de homotopía de un complejo CW.
• Por Cauty, un espacio medible${\textstyle X}$es un ANR si y solo si cada subconjunto abierto de${\textstyle X}$tiene el tipo de homotopía de un complejo CW. ^{[ 18 ]}
• Por Cauty, existe un espacio lineal métrico${\textstyle V}$(es decir, un espacio vectorial topológico con una métrica invariante a la traslación ) que no es un AR. Se puede tomar${\textstyle V}$ser separable y un espacio F (es decir, un espacio lineal métrico completo). ^{[ 19 ]} (Por el teorema de Dugundji anterior,${\textstyle V}$ cannot be locally convex.) Since ${\textstyle V}$ is contractible and not an AR, it is also not an ANR. By Cauty's theorem above, ${\textstyle V}$ has an open subset ${\textstyle U}$ that is not homotopy equivalent to a CW complex. Thus there is a metrizable space ${\textstyle U}$ that is strictly locally contractible but is not homotopy equivalent to a CW complex. It is not known whether a compact (or locally compact) metrizable space that is strictly locally contractible must be an ANR.

• Euclidean neighborhood retract

• Borsuk, Karol (1931), "Sur les rétractes", Fundamenta Mathematicae, 17: 152–170, doi:10.4064/fm-17-1-152-170, Zbl 0003.02701
• Borsuk, Karol (1967), Theory of Retracts, Warsaw: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0216473
• Cauty, Robert (1994), "Une caractérisation des rétractes absolus de voisinage", Fundamenta Mathematicae, 144: 11–22, doi:10.4064/fm-144-1-11-22, MR 1271475
• Cauty, Robert (1994), "Un espace métrique linéaire qui n'est pas un rétracte absolu", Fundamenta Mathematicae, 146: 85–99, doi:10.4064/fm-146-1-85-99, MR 1305261
• Fritsch, Rudolf; Piccinini, Renzo (1990), Cellular Structures in Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-32784-9, MR 1074175
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354 
• Hu, Sze-Tsen (1965), Teoría de las retractaciones , Wayne State University Press, MR 0181977 
• Mardešić, Sibe (1999), "Retracciones de vecindad absoluta y teoría de formas", en James, IM (ed.), Historia de la topología , Ámsterdam: North-Holland , pp. 241–269 , ISBN  0-444-82375-1, MR 1674915 
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso de topología algebraica (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278 
• Milnor, John (1959), "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 272– 280, doi : 10.2307/1993204 , JSTOR 1993204 , MR 0100267  
• Puppe, Dieter (1967), "Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien", Archiv der Mathematik , 18 : 81– 88, doi : 10.1007/BF01899475 , MR 0206954 , S2CID 120021003  
• West, James (2004), "Retractaciones absolutas", en Hart, KP (ed.), Enciclopedia de topología general , Ámsterdam: Elsevier , ISBN 0-444-50355-2, MR 2049453 

• Sibe Mardešić , retracciones de vecindad absoluta y teoría de formas

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