Mecánicos de Nambu

En matemáticas , la mecánica de Nambu es una generalización de la mecánica hamiltoniana que involucra múltiples hamiltonianos. Recordemos que la mecánica hamiltoniana se basa en los flujos generados por un hamiltoniano suave sobre una variedad simpléctica . Estos flujos son simplectomorfismos y, por lo tanto, obedecen el teorema de Liouville . Esto pronto se generalizó a flujos generados por un hamiltoniano sobre una variedad de Poisson . En 1973, Yoichiro Nambu propuso una generalización que involucra variedades de Nambu-Poisson con más de un hamiltoniano. ^{[ 1 ]} En 1994, Leon Takhtajan revisó la dinámica de Nambu. ^{[ 2 ]}

Específicamente, consideremos una variedad diferencial M , para algún entero N ≥ 2 ; existe una aplicación N -lineal suave de N copias de C ^∞ ( M ) a sí misma, tal que es completamente antisimétrica: el corchete de Nambu ,

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\infty }(M)\times \cdots C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M),}$

que actúa como una derivación

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},}$

de donde provienen las identidades de Filippov (FI) ^{[ 3 ]} (que evocan las identidades de Jacobi , pero a diferencia de ellas, no están antisimetrizadas en todos los argumentos, para N ≥ 2 ):

${\displaystyle \{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots }$${\displaystyle +\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N}\}\},}$

de modo que { f ₁ ,  ..., f _{N − 1} , •}   actúa como una derivación generalizada sobre el producto N -ésimo {.  ,...,  .} .

Hay N − 1 hamiltonianos, H ₁ ,  ..., H _{N − 1}  , que generan un flujo incompresible ,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N-1}\},}$

La velocidad generalizada en el espacio de fases no diverge, lo que permite el teorema de Liouville . El caso N = 2 se reduce a una variedad de Poisson y a la mecánica hamiltoniana convencional.

Para valores pares de N mayores , los N − 1 hamiltonianos se identifican con el número máximo de invariantes de movimiento independientes (véase la cantidad conservada ) que caracterizan un sistema superintegrable que evoluciona en un espacio de fases N -dimensional . Estos sistemas también pueden describirse mediante la dinámica hamiltoniana convencional ; pero su descripción en el marco de la mecánica de Nambu es sustancialmente más elegante e intuitiva, ya que todos los invariantes gozan del mismo estatus geométrico que el hamiltoniano: la trayectoria en el espacio de fases es la intersección de las N − 1 hipersuperficies especificadas por estos invariantes. Por lo tanto, el flujo es perpendicular a todos los N − 1 gradientes de estos hamiltonianos, y por consiguiente paralelo al producto vectorial generalizado especificado por el respectivo corchete de Nambu.

La mecánica de Nambu puede extenderse a la dinámica de fluidos, donde los corchetes de Nambu resultantes no son canónicos y los hamiltonianos se identifican con el Casimir del sistema, como la enstrofía o la helicidad. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Desde el punto de vista de la cuantización de Zariski , Takhtajan et al. proponen la cuantización de la dinámica de Nambu. ^{[ 6 ]}

La cuantización de la dinámica de Nambu conduce a estructuras intrigantes ^{[ 7 ]} que coinciden con las de la cuantización convencional cuando se trata de sistemas superintegrables , como debe ser.

En relación con los modelos matriciales y las M2-branas , S. Katagiri ha discutido recientemente sobre la cuantización de la dinámica de Nambu. ^{[ 8 ]}

• mecánica hamiltoniana
• variedad simpléctica
• variedad de Poisson
• álgebra de Poisson
• Sistema integrable
• Cantidad conservada
• Mecánica de fluidos hamiltoniana

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• Takhtajan, Leon (1994). "Sobre los fundamentos de la mecánica generalizada de Nambu" . Communications in Mathematical Physics . 160 (2): 295– 315. arXiv : hep-th/9301111 . Bibcode : 1994CMaPh.160..295T . doi : 10.1007/BF02103278 . S2CID 119137896 . 
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