Problema de escape estrecho

El problema del escape estrecho ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un problema omnipresente en biología , biofísica y biología celular .

La formulación matemática es la siguiente: una partícula browniana ( ión , molécula o proteína ) está confinada a un dominio delimitado (un compartimento o una célula) por un límite reflectante, excepto por una pequeña ventana a través de la cual puede escapar. El problema del escape estrecho consiste en calcular el tiempo medio de escape. Este tiempo diverge a medida que la ventana se reduce, lo que convierte el cálculo en un problema de perturbación singular . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Cuando la huida es aún más difícil debido a severas restricciones geométricas en el lugar de la huida, el problema de la huida estrecha se convierte en el problema de la situación desesperada . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

El problema del escape estrecho fue propuesto en el contexto de la biología y la biofísica por D. Holcman y Z. Schuss, ^{[ 12 ]} y más tarde con A. Singer y condujo a la teoría del escape estrecho en matemáticas aplicadas y biología computacional . ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

El movimiento de una partícula se describe mediante el límite de Smoluchowski de la ecuación de Langevin : ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)\,dt,}$$ dónde${\displaystyle D}$es el coeficiente de difusión de la partícula,${\displaystyle \gamma }$es el coeficiente de fricción por unidad de masa,${\displaystyle F(x)}$la fuerza por unidad de masa, y${\displaystyle B_{t}}$es un movimiento browniano .

Una pregunta común es estimar el tiempo medio de permanencia de una partícula que se difunde en un dominio delimitado.${\displaystyle \Omega }$antes de que escape a través de una pequeña ventana absorbente.${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$en su límite${\displaystyle \partial \Omega }$El tiempo se estima asintóticamente en el límite${\textstyle \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$

La función de densidad de probabilidad (pdf)${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)}$es la probabilidad de encontrar la partícula en la posición${\displaystyle x}$en ese momento${\displaystyle t}$.

La función de densidad de probabilidad satisface la ecuación de Fokker-Planck : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x,t)F(x))}$$ con condición inicial $${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,}$$y condiciones de contorno mixtas de Dirichlet-Neumann (${\displaystyle t>0}$) $${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega _{a}}$$$${\displaystyle D{\frac {\partial }{\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F(x)\cdot n(x)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}}$$

La función $${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx}$$ representa el tiempo medio de permanencia de la partícula, condicionado a la posición inicial.${\displaystyle y}$Es la solución del problema de valores en la frontera.

$${\displaystyle D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }}F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1}$$$${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{a}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{r}}$$

La solución depende de la dimensión del dominio. Para una partícula que se difunde en un disco bidimensional $${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1),}$$ dónde${\displaystyle A}$es la superficie del dominio. La función${\displaystyle u_{\epsilon }(y)}$no depende de la posición inicial${\displaystyle y}$, excepto por una pequeña capa límite cerca del límite absorbente debido a la forma asintótica.

El término de primer orden importa en la dimensión 2: para un disco circular de radio${\displaystyle R}$, el tiempo medio de escape de una partícula que parte del centro es $${\displaystyle E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).}$$

El tiempo de escape promediado con respecto a una distribución inicial uniforme de la partícula viene dado por $${\displaystyle E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).}$$

La geometría de la pequeña abertura puede afectar el tiempo de escape: si la ventana absorbente está ubicada en una esquina de ángulo${\displaystyle \alpha }$, entonces:

$${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right].}$$

Más sorprendente aún, cerca de una cúspide en un dominio bidimensional, el tiempo de escape${\displaystyle E\tau }$crece algebraicamente, en lugar de logarítmicamente: en el dominio delimitado entre dos círculos tangentes, el tiempo de escape es: $${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{(d-1)D}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right),}$$ donde d > 1 es la relación de los radios. Finalmente, cuando el dominio es un anillo, el tiempo de escape a una pequeña abertura ubicada en el círculo interior involucra un segundo parámetro que es${\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,}$La relación entre los radios interior y exterior, el tiempo de escape, promediado con respecto a una distribución inicial uniforme, es: $${\displaystyle E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}}}\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2}^{2}.}$$

Esta ecuación contiene dos términos de la expansión asintótica de${\displaystyle E\tau }$y${\displaystyle 2\epsilon }$es el ángulo del límite absorbente. El caso${\displaystyle \beta }$El problema cercano a 1 sigue abierto, y para dominios generales, la expansión asintótica del tiempo de escape sigue siendo un problema abierto . Lo mismo ocurre con el problema de calcular el tiempo de escape cerca de un punto de cúspide en dominios tridimensionales. Para el movimiento browniano en un campo de fuerza$${\displaystyle F(x)\neq 0}$$La brecha en el espectro no es necesariamente pequeña entre el primer y el segundo autovalor, dependiendo del tamaño relativo del pequeño agujero y las barreras de fuerza que la partícula debe superar para escapar. El flujo de escape no es necesariamente poissoniano .

El siguiente teorema relaciona el problema de escape del movimiento browniano con un problema de ecuaciones diferenciales parciales (deterministas).

Aquí${\displaystyle \partial _{n}:=n\cdot \nabla }$es la derivada en la dirección${\displaystyle n}$, el exterior normal a${\displaystyle \partial \Omega .}$Además, el promedio de la varianza se puede calcular a partir de la fórmula. $${\displaystyle {\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x)dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}}$$

La primera parte del teorema es un resultado clásico, mientras que la varianza promedio fue demostrada en 2011 por Carey Caginalp y Xinfu Chen. ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

El tiempo de escape ha sido objeto de varios estudios que utilizan la compuerta pequeña como parámetro asintóticamente pequeño. El siguiente resultado en forma cerrada ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} proporciona una solución exacta que confirma estas fórmulas asintóticas y las extiende a compuertas que no son necesariamente pequeñas.

Otro conjunto de resultados se refiere a la densidad de probabilidad de la ubicación de salida. ^{[ 19 ]}

Es decir, para cualquier ( conjunto de Borel )${\displaystyle \gamma \subset \partial \Omega }$, la probabilidad de que una partícula, que comienza en el origen o se distribuye uniformemente en${\displaystyle \Omega }$, exhibiendo movimiento browniano en${\displaystyle \Omega }$, reflexionando cuando llega${\displaystyle \partial \Omega \setminus \Gamma }$y escapar una vez que llega${\displaystyle \Gamma }$, termina escapando de${\displaystyle \gamma }$es $${\displaystyle P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}}$$ dónde${\displaystyle dS_{y}}$es el elemento de superficie de${\displaystyle \partial \Omega }$en${\displaystyle y\in \partial \Omega }$.

En la simulación existe un error aleatorio debido al proceso de muestreo estadístico. Este error puede limitarse recurriendo al teorema del límite central y utilizando un gran número de muestras. También existe un error de discretización debido a la aproximación de tamaño finito del tamaño del paso al aproximar el movimiento browniano. Se pueden obtener resultados empíricos a medida que varían el tamaño del paso y el tamaño de la puerta. Utilizando el resultado exacto citado anteriormente para el caso particular del círculo, es posible hacer una comparación cuidadosa de la solución exacta con la solución numérica. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Esto ilumina la distinción entre pasos finitos y difusión continua. También se obtuvo una distribución de ubicaciones de salida a través de simulaciones para este problema.

• Modelo de tiempo de primer golpe