Modelo de tiempo de primer golpe

En estadística , los modelos de tiempo de primer impacto son modelos simplificados que estiman el tiempo que transcurre antes de que un proceso aleatorio o estocástico cruce una barrera, un límite o alcance un estado específico, denominado tiempo de primer impacto o tiempo de primer paso . Los modelos precisos permiten comprender el sistema físico observado y han sido objeto de investigación en campos muy diversos, desde la economía hasta la ecología . ^{[ 1 ]}

La idea de que un tiempo de primer impacto de un proceso estocástico podría describir el tiempo hasta la ocurrencia de un evento tiene una larga historia, comenzando con un interés en el tiempo de primer paso de los procesos de difusión de Wiener en economía y luego en física a principios del siglo XX. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Modelar la probabilidad de ruina financiera como un tiempo de primer paso fue una aplicación temprana en el campo de los seguros. ^{[ 5 ]} Un interés en las propiedades matemáticas de los tiempos de primer impacto y los modelos y métodos estadísticos para el análisis de datos de supervivencia apareció de manera constante entre mediados y finales del siglo XX. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

Los modelos de tiempo de primer impacto son una subclase de modelos de supervivencia .

Un ejemplo común de un modelo de tiempo de primer impacto es un problema de ruina , como la ruina del jugador . En este ejemplo, una entidad (a menudo descrita como un jugador o una compañía de seguros) tiene una cantidad de dinero que varía aleatoriamente con el tiempo, posiblemente con cierta deriva . El modelo considera el evento de que la cantidad de dinero llegue a cero, lo que representa la bancarrota. El modelo puede responder preguntas como la probabilidad de que esto ocurra dentro de un tiempo finito, o el tiempo medio hasta que ocurra.

Los modelos de tiempo de primer impacto pueden aplicarse a la vida útil prevista de pacientes o dispositivos mecánicos. Cuando el proceso alcanza un estado umbral adverso por primera vez, el paciente fallece o el dispositivo se avería.

El tiempo que tarda una partícula en escapar a través de una abertura estrecha en un espacio confinado se denomina problema de escape estrecho y se estudia comúnmente en biofísica y biología celular .

Uno de los sistemas estocásticos más simples y omnipresentes es el de la partícula browniana en una dimensión. Este sistema describe el movimiento de una partícula que se mueve estocásticamente en un espacio unidimensional, con igual probabilidad de moverse hacia la izquierda o hacia la derecha. Dado que el movimiento browniano se utiliza a menudo como herramienta para comprender fenómenos más complejos, es importante comprender la probabilidad de que la partícula browniana alcance una posición distante de su punto de partida en su primer paso. Esto se logra mediante los siguientes métodos.

La función de densidad de probabilidad (FDP) para una partícula en una dimensión se obtiene resolviendo la ecuación de difusión unidimensional . (Esta ecuación establece que la densidad de probabilidad de posición se difunde hacia afuera con el tiempo. Es análogo a, por ejemplo, la crema en una taza de café si inicialmente toda la crema estuviera contenida en una pequeña área. Después de un tiempo prolongado, la crema se ha difundido uniformemente por toda la bebida). Es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},}$

dada la condición inicial${\displaystyle p(x,t={0}\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})}$; dónde${\displaystyle x(t)}$es la posición de la partícula en un momento dado,${\displaystyle x_{0}}$es la posición inicial de la partícula etiquetada, y${\displaystyle D}$es la constante de difusión con unidades del SI${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$(una medida indirecta de la velocidad de la partícula). La barra en el argumento de la probabilidad instantánea se refiere a la probabilidad condicional. La ecuación de difusión establece que la tasa de cambio en el tiempo en la probabilidad de encontrar la partícula en${\displaystyle x(t)}$La posición depende de la desaceleración a lo largo de la distancia de dicha probabilidad en esa posición.

Se puede demostrar que la PDF unidimensional es

${\displaystyle p(x,t;x_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

Esto indica que la probabilidad de encontrar la partícula en${\displaystyle x(t)}$es gaussiana, y el ancho de la gaussiana depende del tiempo. Más específicamente, el ancho completo a media altura (FWHM) – técnicamente, esto es en realidad la duración completa a media altura ya que la variable independiente es el tiempo – escala como

${\displaystyle {\rm {FWHM}}\sim {\sqrt {t}}.}$

Utilizando la función de densidad de probabilidad (PDF) se puede obtener el promedio de una función dada,${\displaystyle L}$, en ese momento${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)p(x,t)\,dx,}$

donde el promedio se toma sobre todo el espacio (o cualquier variable aplicable).

La densidad de tiempo de primer paso (FPTD) es la probabilidad de que una partícula haya alcanzado por primera vez un punto${\displaystyle x_{c}}$exactamente a la hora${\displaystyle t}$(no en algún momento durante el intervalo hasta${\displaystyle t}$Esta densidad de probabilidad se puede calcular a partir de la probabilidad de supervivencia (una medida de probabilidad más común en estadística). Consideremos la condición de contorno absorbente.${\displaystyle p(x_{c},t)=0}$(El subíndice c para el punto de absorción${\displaystyle x_{c}}$es una abreviatura de acantilado utilizada en muchos textos como analogía de un punto de absorción). La función de densidad de probabilidad que satisface esta condición de contorno viene dada por

${\displaystyle p(x,t;x_{0},x_{c})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x-(2x_{c}-x_{0}))^{2}}{4Dt}}\right)\right),}$

para${\displaystyle x<x_{c}}$. La probabilidad de supervivencia, la probabilidad de que la partícula haya permanecido en una posición${\displaystyle x<x_{c}}$para todos los tiempos hasta${\displaystyle t}$, se da por

${\displaystyle S(t)\equiv \int _{-\infty }^{x_{c}}p(x,t;x_{0},x_{c})\,dx=\operatorname {erf} \left({\frac {x_{c}-x_{0}}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$

dónde${\displaystyle \operatorname {erf} }$es la función de error . La relación entre la probabilidad de supervivencia y el FPTD es la siguiente: la probabilidad de que una partícula haya alcanzado el punto de absorción entre tiempos${\displaystyle t}$y${\displaystyle t+dt}$es${\displaystyle f(t)\,dt=S(t)-S(t+dt)}$Si se utiliza la aproximación de Taylor de primer orden, la definición del FPTD es la siguiente:

${\displaystyle f(t)=-{\frac {\partial S(t)}{\partial t}}.}$

Al utilizar la ecuación de difusión e integrar, se obtiene el FPTD explícito.

${\displaystyle f(t)\equiv {\frac {|x_{c}-x_{0}|}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

Por lo tanto, el tiempo de primer paso de una partícula browniana sigue una distribución de Lévy .

Para${\displaystyle t\gg {\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4D}}}$De lo anterior se deduce que

${\displaystyle f(t)={\frac {\Delta x}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\sim t^{-3/2},}$

dónde${\displaystyle \Delta x\equiv |x_{c}-x_{0}|}$Esta ecuación establece que la probabilidad de que una partícula browniana logre un primer paso en un tiempo prolongado (definido en el párrafo anterior) se vuelve cada vez más pequeña, pero siempre es finita .

El primer momento de la FPTD diverge (ya que es una distribución denominada de cola pesada ), por lo tanto, no se puede calcular el FPT promedio, así que en su lugar, se puede calcular el tiempo típico , el tiempo en el que la FPTD está en un máximo (${\displaystyle \partial f/\partial t=0}$), es decir,

${\displaystyle \tau _{\rm {ty}}={\frac {\Delta x^{2}}{6D}}.}$

Los tiempos de primer impacto son características centrales de muchas familias de procesos estocásticos, incluidos los procesos de Poisson , los procesos de Wiener , los procesos gamma y las cadenas de Markov , entre otros. El estado del proceso estocástico puede representar, por ejemplo, la robustez de un sistema físico, la salud de un individuo o la situación financiera de una empresa. El sistema, el individuo o la empresa fallan o experimentan algún otro punto crítico cuando el proceso alcanza un estado umbral por primera vez. El evento crítico puede ser adverso (como una falla en un equipo, insuficiencia cardíaca congestiva o cáncer de pulmón) o positivo (como la recuperación de una enfermedad, el alta hospitalaria, el parto o la reincorporación al trabajo tras una lesión traumática). El tiempo transcurrido hasta que ocurre dicho evento crítico se interpreta generalmente como un "tiempo de supervivencia". En algunas aplicaciones, el umbral es un conjunto de múltiples estados, por lo que se consideran tiempos de primer impacto competitivos para alcanzar el primer umbral del conjunto, como ocurre al considerar las causas competitivas de falla en un equipo o muerte de un paciente.

Las aplicaciones prácticas de los modelos teóricos para los tiempos de primera llegada a menudo implican estructuras de regresión . Cuando los modelos de tiempo de primera llegada se equipan con estructuras de regresión que incorporan datos de covariables, denominamos a dicha estructura de regresión regresión de umbral . ^{[ 11 ]} El estado umbral, los parámetros del proceso e incluso la escala de tiempo pueden depender de las covariables correspondientes. La regresión de umbral aplicada a datos de tiempo hasta el evento ha surgido desde principios de este siglo y ha crecido rápidamente, como se describe en un artículo de revisión de 2006 ^{[ 11 ] y sus referencias. En [ 13 ]} se investigaron las conexiones entre los modelos de regresión de umbral derivados de los tiempos de primera llegada y el omnipresente modelo de regresión de riesgos proporcionales de Cox . ^{[ 12 ]} Las aplicaciones de la regresión de umbral abarcan muchos campos, incluyendo las ciencias físicas y naturales, la ingeniería, las ciencias sociales, la economía y los negocios, la agricultura, la salud y la medicina. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

En muchas aplicaciones del mundo real, un modelo de tiempo de primer impacto (FHT) tiene tres componentes subyacentes: (1) un proceso estocástico padre${\displaystyle \{X(t)\}\,\,}$, que podría ser latente, (2) un umbral (o barrera) y (3) una escala de tiempo . El tiempo de primer impacto se define como el tiempo en que el proceso estocástico alcanza por primera vez el umbral. Es muy importante distinguir si la trayectoria de muestra del proceso padre es latente (es decir, no observable) u observable, y dicha distinción es una característica del modelo FHT. Por mucho, los procesos latentes son los más comunes. Para dar un ejemplo, podemos usar un proceso de Wiener.${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\,\}\,}$como el proceso estocástico padre. Dicho proceso de Wiener puede definirse con el parámetro medio ${\displaystyle {\mu }\,\,}$, el parámetro de varianza ${\displaystyle {\sigma ^{2}}\,\,}$y el valor inicial${\displaystyle X(0)=x_{0}>0\,}$.

La escala temporal del proceso estocástico puede ser el tiempo del calendario o del reloj, o alguna medida operativa de progresión temporal, como el kilometraje de un automóvil, el desgaste acumulado en un componente de una máquina o la exposición acumulada a humos tóxicos. En muchas aplicaciones, el proceso estocástico que describe el estado del sistema es latente o inobservable, y sus propiedades deben inferirse indirectamente a partir de datos censurados de tiempo hasta el evento o lecturas tomadas a lo largo del tiempo en procesos correlacionados, como procesos marcadores. El término «regresión» en regresión de umbral se refiere a modelos de tiempo de primer impacto en los que se insertan una o más estructuras de regresión para conectar los parámetros del modelo con variables explicativas o covariables. Los parámetros dados a las estructuras de regresión pueden ser parámetros del proceso estocástico, del estado umbral o de la propia escala temporal.

• Problema de escape estrecho
• Análisis de supervivencia
• Modelos de riesgos proporcionales

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