Teorema de Nash-Moser

En el campo matemático del análisis , el teorema de Nash-Moser , descubierto por el matemático John Forbes Nash y que lleva su nombre y el de Jürgen Moser , es una generalización del teorema de la función inversa en espacios de Banach a situaciones en las que la función de mapeo de solución requerida para el problema linealizado no está acotada.

A diferencia del caso del espacio de Banach, donde la invertibilidad de la derivada en un punto es suficiente para que una aplicación sea localmente invertible, el teorema de Nash-Moser requiere que la derivada sea invertible en un entorno . Este teorema se utiliza ampliamente para demostrar la existencia local de ecuaciones diferenciales parciales no lineales en espacios de funciones suaves . Resulta particularmente útil cuando la inversa de la derivada "pierde" derivadas, y por lo tanto no se puede utilizar el teorema de la función implícita en el espacio de Banach.

El teorema de Nash-Moser se remonta a Nash (1956), ^{[ 1 ]} quien demostró el teorema en el caso especial del problema de incrustación isométrica . Es evidente en su artículo que su método puede generalizarse. Moser (1966), ^{[ 2 ] [ 3 ]} por ejemplo, demostró que los métodos de Nash podían aplicarse con éxito para resolver problemas sobre órbitas periódicas en mecánica celeste en la teoría KAM . Sin embargo, ha resultado bastante difícil encontrar una formulación general adecuada; hasta la fecha, no existe una versión que lo abarque todo; en las referencias que siguen se presentan varias versiones de Gromov , Hamilton , Hörmander , Saint-Raymond, Schwartz y Sergeraert. La de Hamilton, citada más adelante, es particularmente citada.

Esto se introducirá en el contexto original del teorema de Nash-Moser, el del problema de incrustación isométrica. Sea${\displaystyle \Omega }$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Consideremos el mapa .$${\displaystyle P:C^{1}(\Omega$$ ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{0}{\big (}\Omega  ;{\text{Sym}}_{n\times n}(\mathbb {R} ){\big )}} dado por$${\displaystyle P(f)_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{j}}}.}$$En la solución de Nash del problema de incrustación isométrica (como cabría esperar en las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales no lineales), un paso importante es una declaración de la forma esquemática "Si f es tal que${\displaystyle P(f)}$es definida positiva, entonces para cualquier función con valores matriciales${\displaystyle g}$que está cerca de${\displaystyle P(f)}$, existe${\displaystyle f_{g}}$con${\displaystyle P(f_{g})=g}$"

Siguiendo la práctica estándar, cabría esperar aplicar el teorema de la función inversa del espacio de Banach. Así, por ejemplo, cabría esperar restringir P a${\displaystyle C^{5}(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N})} y, para una inmersión f en este dominio, para estudiar la linealización${\displaystyle C^{5}(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{4}(\Omega ;Sym_{n\times n}(\mathbb {R} ))} dado por $${\displaystyle {\widetilde {f}}\mapsto \sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\beta }}{\partial u^{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial u^{j}}}.}$$Si se pudiera demostrar que esto es invertible, con inversa acotada, entonces el teorema de la función inversa del espacio de Banach se aplicaría directamente.

Sin embargo, existe una razón profunda por la que dicha formulación no puede funcionar. El problema radica en que existe un operador diferencial de segundo orden.${\displaystyle P(f)}$lo cual coincide con un operador diferencial de segundo orden aplicado a f . Para ser precisos: si f es una inmersión, entonces $${\displaystyle R^{P(f)}=|H(f)|^{2}-|h(f)|_{P(f)}^{2},}$$ dónde${\displaystyle R^{P(f)}}$es la curvatura escalar de la métrica riemanniana P(f) , H(f) denota la curvatura media de la inmersión f , y h(f) denota su segunda forma fundamental; la ecuación anterior es la ecuación de Gauss de la teoría de superficies. Entonces, si P(f) es C ⁴ , entonces R ^P(f) es generalmente solo C ^2. Entonces, según la ecuación anterior, f generalmente puede ser solo C ⁴ ; si fuera C ⁵ entonces | H | ² − | h | ² tendría que ser al menos C ^3. La fuente del problema se puede expresar de manera bastante concisa de la siguiente manera: la ecuación de Gauss muestra que hay un operador diferencial Q tal que el orden de la composición de Q con P es menor que la suma de los órdenes de P y Q.

En este contexto, la conclusión es que la inversa de la linealización de P , incluso si existe como un mapa${\displaystyle C^{\infty }(\Omega ;Sym_{n\times n}(\mathbb {R} ))\to C^{\infty }(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N}} ), no puede estar acotado entre espacios de Banach apropiados y, por lo tanto, no se puede aplicar el teorema de la función implícita del espacio de Banach.

Siguiendo exactamente el mismo razonamiento, no se puede aplicar directamente el teorema de la función implícita en espacios de Banach, ni siquiera utilizando los espacios de Hölder, los espacios de Sobolev o cualquiera de los espacios C ^k . En cualquiera de estos casos, la inversa de la linealización de P no estará acotada.

Este es el problema de la pérdida de derivadas . Una expectativa muy ingenua es que, en general, si P es un operador diferencial de orden k , entonces si P(f) está en C ^m entonces f debe estar en C ^{m + k} . Sin embargo, esto es algo raro. En el caso de operadores diferenciales elípticos uniformes, las famosas estimaciones de Schauder muestran que esta expectativa ingenua se confirma, con la salvedad de que uno debe reemplazar el${\displaystyle C^{k}}$espacios con los espacios Hölder${\displaystyle C^{k,\alpha }}$Esto no supone ninguna dificultad adicional para la aplicación del teorema de la función implícita en espacios de Banach. Sin embargo, el análisis anterior demuestra que esta expectativa ingenua no se cumple para la aplicación que envía una inmersión a su métrica riemanniana inducida; dado que esta aplicación es de orden 1, no se obtiene la derivada "esperada" al invertir el operador. El mismo fallo es común en problemas geométricos, donde la acción del grupo de difeomorfismos es la causa principal, y en problemas de ecuaciones diferenciales hiperbólicas, donde incluso en los problemas más simples no se obtiene la suavidad ingenuamente esperada de una solución. Todas estas dificultades proporcionan contextos comunes para las aplicaciones del teorema de Nash-Moser.

Esta sección solo pretende describir una idea y, como tal, es intencionalmente imprecisa. Para mayor concreción, supongamos que${\displaystyle P}$es un operador diferencial de orden uno en algunos espacios de funciones, de modo que define una aplicación${\displaystyle P:C^{k+1}\to C^{k}}$para cada${\displaystyle k}$. Supongamos que, en algún momento,${\displaystyle C^{k+1}}$función f , la linealización${\displaystyle DP_{f}:C^{k+1}\to C^{k}}$tiene un inverso derecho${\displaystyle S:C^{k}\to C^{k}}$En el lenguaje anterior, esto refleja una "pérdida de una derivada". Se puede observar concretamente el fracaso de intentar utilizar el método de Newton para demostrar el teorema de la función implícita en el espacio de Banach en este contexto: si${\displaystyle g_{\infty }}$está cerca de${\displaystyle P(f)}$en${\displaystyle C^{k}}$y uno define la iteración $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},}$$ entonces${\displaystyle f_{1}\in C^{k+1}}$implica que${\displaystyle g_{\infty }-P(f_{n})}$está en${\displaystyle C^{k}}$, y luego${\displaystyle f_{2}}$está en${\displaystyle C^{k}}$. Por el mismo razonamiento,${\displaystyle f_{3}}$está en${\displaystyle C^{k-1}}$,${\displaystyle f_{4}}$está en${\displaystyle C^{k-2}}$y así sucesivamente. En un número finito de pasos la iteración debe terminar, ya que perderá toda regularidad y el siguiente paso ni siquiera estará definido.

La solución de Nash es bastante sorprendente por su simplicidad. Supongamos que para cada${\displaystyle n>\theta }$uno tiene un operador de suavizado${\displaystyle \theta _{n}}$que toma un${\displaystyle C^{k}}$función, devuelve una función suave y se aproxima a la identidad cuando${\displaystyle n}$es grande. Luego la iteración de Newton "suavizada" $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}}$$ La versión transparente no presenta la misma dificultad que la versión anterior "sin suavizar", ya que se trata de una iteración en el espacio de funciones suaves que nunca pierde regularidad. Por lo tanto, se tiene una secuencia de funciones bien definida; la principal sorpresa del enfoque de Nash es que esta secuencia converge realmente a una función.${\displaystyle f_{\infty }}$con${\displaystyle P(f_{\infty })=g_{\infty }}$Para muchos matemáticos, esto resulta bastante sorprendente, ya que la "solución" de añadir un operador de suavizado parece demasiado superficial para superar el problema profundo del método Newton estándar. Por ejemplo, sobre este punto Mikhael Gromov dice:

Hay que ser un novato en análisis o un genio como Nash para creer que algo así pueda ser cierto. [...] Esto puede parecer tan realista como una ejecución exitosa del movimiento perpetuo con una implementación mecánica del demonio de Maxwell... a menos que empieces a seguir el cálculo de Nash y te des cuenta, para tu inmensa sorpresa, de que el suavizado sí funciona.

Nota. La verdadera "iteración de Newton suavizada" es un poco más complicada que la forma anterior, aunque existen algunas formas no equivalentes, dependiendo de dónde se elija insertar los operadores de suavizado. La principal diferencia es que se requiere la invertibilidad de${\displaystyle DP_{f}}$para todo un vecindario abierto de elecciones de f , y luego se utiliza la iteración de Newton "verdadera", que corresponde a (usando notación de una sola variable) $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$$ en contraposición a $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}},}$$ Esta última refleja las formas indicadas anteriormente. Esto es bastante importante, ya que la convergencia cuadrática mejorada de la iteración de Newton "verdadera" se utiliza significativamente para combatir el error de "suavizado" y así obtener la convergencia. Ciertos enfoques, en particular los de Nash y Hamilton, siguen la solución de una ecuación diferencial ordinaria en el espacio de funciones en lugar de una iteración en dicho espacio; la relación entre ambos es esencialmente la misma que la de la solución del método de Euler con la de una ecuación diferencial.

La siguiente afirmación aparece en Hamilton (1982): ^{[ 4 ]}

Sean F y G espacios de Fréchet dóciles, sea${\displaystyle U\subseteq F}$Sea un subconjunto abierto, y sea${\displaystyle P:U\to G}$Sea un mapa suave y manso. Supongamos que para cada${\displaystyle f\in U}$la linealización${\displaystyle dP_{f}:F\to G}$es invertible, y la familia de inversas, como un mapa${\displaystyle U\times G\to F,}$es suave y manso. Entonces P es localmente invertible, y cada inversa local${\displaystyle P^{-1}}$es un mapa suave y manejable.

De forma similar, si cada linealización es solo inyectiva y una familia de inversas izquierdas es suave y dócil, entonces P es localmente inyectiva. Y si cada linealización es solo sobreyectiva y una familia de inversas derechas es suave y dócil, entonces P es localmente sobreyectiva con una inversa derecha suave y dócil.

Mapas suaves y domesticados

Dejar${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$ser espacios Fréchet graduados.${\displaystyle U}$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle F}$, lo que significa que para cada${\displaystyle f\in U}$hay${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que${\displaystyle \|f-f_{1}\|_{n}<\varepsilon }$implica que${\displaystyle f_{1}}$También está contenido en${\displaystyle U}$.

Un mapa suave${\displaystyle P:U\to G}$se llama unmapa suave y domesticado si es para todos${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$el derivado${\displaystyle D^{k}P:U\times F\times \cdots \times F\to G}$Satisface lo siguiente:

existen${\displaystyle r}$y${\displaystyle b}$de tal manera que${\displaystyle n>b}$implica

$${\displaystyle {\big \|}D^{k}P\left(f,h_{1},\ldots ,h_{k}\right){\big \|}_{n}\leq C_{n}{\Big (}\|f\|_{n+r}+\|h_{1}\|_{n+r}+\cdots +\|h_{k}\|_{n+r}+1{\Big )}}$$

a pesar de${\displaystyle \left(f,h_{1},\dots ,h_{k}\right)\in U\times F\times \cdots \times F}$.

El ejemplo fundamental dice que, en una variedad compacta y lisa, un operador diferencial parcial no lineal (posiblemente entre secciones de haces vectoriales sobre la variedad) es una aplicación suave y mansa; en este caso,${\displaystyle r}$puede considerarse como la orden del operador.