Paquete de líneas Nef

En geometría algebraica , un fibrado de líneas sobre una variedad proyectiva es nef si tiene grado no negativo en cada curva de la variedad. Las clases de fibrados de líneas nef se describen mediante un cono convexo , y las posibles contracciones de la variedad corresponden a ciertas caras del cono nef. En vista de la correspondencia entre fibrados de líneas y divisores (construidos a partir de subvariedades de codimensión -1), existe una noción equivalente de divisor nef .

De manera más general, se dice que un fibrado de líneas L sobre un esquema propio X sobre un cuerpo k es nef si tiene grado no negativo en toda curva (cerrada irreducible ) en X. ^{[ 1 ]} (El grado de un fibrado de líneas L sobre una curva propia C sobre k es el grado del divisor ( s ) de cualquier sección racional no nula s de L .) Un fibrado de líneas también puede llamarse haz invertible .

El término "nef" fue introducido por Miles Reid como reemplazo de los términos más antiguos "aritméticamente efectivo" ( Zariski 1962 , definición 7.6) y "numéricamente efectivo", así como de la frase "numéricamente eventualmente libre". ^{[ 2 ]} Los términos más antiguos eran engañosos, en vista de los ejemplos que se muestran a continuación .

Todo fibrado de líneas L sobre una curva propia C sobre k que tiene una sección global que no es idénticamente cero tiene grado no negativo. Como resultado, un fibrado de líneas sin punto base sobre un esquema propio X sobre k tiene grado no negativo en cada curva de X ; es decir, es nef. ^{[ 3 ]} De forma más general, un fibrado de líneas L se denomina semiamplio si alguna potencia tensorial positiva${\displaystyle L^{\otimes a}}$es libre de puntos base. De ello se deduce que un fibrado de líneas semiamplio es nef. Los fibrados de líneas semiamplios pueden considerarse la principal fuente geométrica de los fibrados de líneas nef, aunque los dos conceptos no son equivalentes; véanse los ejemplos a continuación .

Se dice que un divisor de Cartier D en un esquema propio X sobre un cuerpo es nef si el fibrado de líneas asociado O ( D ) es nef en X. Equivalentemente, D es nef si el número de intersección${\displaystyle D\cdot C}$es no negativo para cada curva C en X.

Para volver de los haces de líneas a los divisores, la primera clase de Chern es el isomorfismo del grupo de Picard de haces de líneas en una variedad X al grupo de divisores de Cartier módulo equivalencia lineal . Explícitamente, la primera clase de Chern${\displaystyle c_{1}(L)}$es el divisor ( s ) de cualquier sección racional no nula s de L . ^{[ 4 ]}

Para trabajar con desigualdades, es conveniente considerar los R -divisores, es decir, combinaciones lineales finitas de divisores de Cartier con coeficientes reales . Los R -divisores módulo equivalencia numérica forman un espacio vectorial real.${\displaystyle N^{1}(X)}$de dimensión finita, el grupo de Néron-Severi tensorializado con los números reales. ^{[ 5 ]} (Explícitamente: se dice que dos divisores R son numéricamente equivalentes si tienen el mismo número de intersección con todas las curvas en X .) Un divisor R se llama nef si tiene grado no negativo en cada curva. Los divisores R nef forman un cono convexo cerrado en${\displaystyle N^{1}(X)}$, el cono nef Nef( X ).

El cono de curvas se define como el cono convexo de combinaciones lineales de curvas con coeficientes reales no negativos en el espacio vectorial real.${\displaystyle N_{1}(X)}$de 1-ciclos módulo equivalencia numérica. Los espacios vectoriales${\displaystyle N^{1}(X)}$y${\displaystyle N_{1}(X)}$son duales entre sí por el emparejamiento de intersección, y el cono nef es (por definición) el cono dual del cono de curvas. ^{[ 6 ]}

Un problema significativo en geometría algebraica es analizar qué fibrados de líneas son amplios , ya que esto equivale a describir las diferentes maneras en que una variedad puede incrustarse en el espacio proyectivo. Una respuesta es el criterio de Kleiman (1966): para un esquema proyectivo X sobre un cuerpo, un fibrado de líneas (o divisor R ) es amplio si y solo si su clase en${\displaystyle N^{1}(X)}$se encuentra en el interior del cono nef. ^{[ 7 ]} (Un R -divisor se llama amplio si puede escribirse como una combinación lineal positiva de divisores de Cartier amplios). Del criterio de Kleiman se deduce que, para X proyectivo, todo R -divisor nef en X es un límite de R -divisores amplios en${\displaystyle N^{1}(X)}$. En efecto, para D nef y A ample, D + cA es amplio para todos los números reales c > 0.

Sea X una variedad compleja compacta con una métrica hermitiana fija , vista como una forma (1,1) positiva.${\displaystyle \omega }$Siguiendo a Jean-Pierre Demailly , Thomas Peternell y Michael Schneider, se dice que un fibrado lineal holomorfo L en X es nef si para todo${\displaystyle \epsilon >0}$Existe una métrica hermitiana suave.${\displaystyle h_{\epsilon }}$en L cuya curvatura satisface ${\displaystyle \Theta _ {h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega }$Cuando X es proyectivo sobre C , esto es equivalente a la definición anterior (que L tiene grado no negativo en todas las curvas de X ). ^{[ 8 ]}

Incluso para X proyectivo sobre C , un fibrado de líneas nef L no necesita tener una métrica hermitiana h con curvatura${\displaystyle \Theta _ {h}(L)\geq 0}$, lo que explica la definición más compleja que se acaba de dar. ^{[ 9 ]}

• Si X es una superficie proyectiva suave y C es una curva (irreducible) en X con número de autointersección${\displaystyle C^{2}\geq 0}$, entonces C es nef en X , porque cualesquiera dos curvas distintas en una superficie tienen un número de intersección no negativo. Si${\displaystyle C^{2}<0}$, entonces C es efectivo pero no nef en X. Por ejemplo, si X es la explosión de una superficie proyectiva suave Y en un punto, entonces la curva excepcional E de la explosión${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$tiene${\displaystyle E^{2}=-1}$.
• Todo divisor efectivo en una variedad de banderas o variedad abeliana es nef, utilizando que estas variedades tienen una acción transitiva de un grupo algebraico conexo . ^{[ 10 ]}
• Todo fibrado de líneas L de grado 0 sobre una curva proyectiva compleja suave X es nef, pero L es semiamplio si y solo si L es torsión en el grupo de Picard de X. Para X de género g al menos 1, la mayoría de los fibrados de líneas de grado 0 no son torsión, usando que el jacobiano de X es una variedad abeliana de dimensión g .
• Todo fibrado de líneas semiamplio es nef, pero no todo fibrado de líneas nef es numéricamente equivalente a un fibrado de líneas semiamplio. Por ejemplo, David Mumford construyó un fibrado de líneas L sobre una superficie reglada adecuada X tal que L tiene grado positivo en todas las curvas, pero el número de intersecciones${\displaystyle c_{1}(L)^{2}}$es cero. ^{[ 11 ]} De ello se deduce que L es nef, pero ningún múltiplo positivo de${\displaystyle c_{1}(L)}$es numéricamente equivalente a un divisor efectivo. En particular, el espacio de secciones globales${\displaystyle H^{0}(X,L^{\otimes a})}$es cero para todos los enteros positivos a .

Una contracción de una variedad proyectiva normal X sobre un cuerpo k es un morfismo sobreyectivo.${\displaystyle f\colon X\to Y}$con Y una variedad proyectiva normal sobre k tal que${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Y}}$(Esta última condición implica que f tiene fibras conexas , y es equivalente a que f tenga fibras conexas si k tiene característica cero. ^{[ 12 ]} ) Una contracción se denomina fibración si dim( Y ) < dim( X ). Una contracción con dim( Y ) = dim( X ) es automáticamente un morfismo birracional . ^{[ 13 ]} (Por ejemplo, X podría ser la explosión de una superficie proyectiva suave Y en un punto.)

Una cara F de un cono convexo N es un subcono convexo tal que cualesquiera dos puntos de N cuya suma esté en F deben estar también en F. Una contracción de X determina una cara F del cono nef de X , concretamente la intersección de Nef( X ) con el retroceso.${\displaystyle f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)}$. Por el contrario, dada la variedad X , la cara F del cono nef determina la contracción${\displaystyle f\colon X\to Y}$salvo isomorfismo. De hecho, existe un fibrado lineal semiamplio L sobre X cuya clase en${\displaystyle N^{1}(X)}$está en el interior de F (por ejemplo, tomemos L como el retroceso a X de cualquier fibrado lineal amplio en Y ). Cualquier fibrado lineal de este tipo determina Y mediante la construcción Proj : ^{[ 14 ]}

${\displaystyle Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).}$

Para describir Y en términos geométricos: una curva C en X se mapea a un punto en Y si y solo si L tiene grado cero en C.

Como resultado, existe una correspondencia biunívoca entre las contracciones de X y algunas de las caras del cono nef de X. ^{[ 15 ]} (Esta correspondencia también puede formularse de forma dual, en términos de caras del cono de curvas) . Saber qué fibrados de líneas nef son semiamplios permitiría determinar qué caras corresponden a las contracciones. El teorema del cono describe una clase significativa de caras que sí corresponden a contracciones, y la conjetura de abundancia aportaría más.

Ejemplo: Sea X la explosión del plano proyectivo complejo.${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$en un punto p . Sea H el retroceso a X de una línea en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$y sea E la curva excepcional de la explosión${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$. Entonces X tiene número de Picard 2, lo que significa que el espacio vectorial real${\displaystyle N^{1}(X)}$tiene dimensión 2. Por la geometría de los conos convexos de dimensión 2, el cono nef debe estar generado por dos rayos; explícitamente, estos son los rayos generados por ^{H y H − E. [ 16 ]} En este ejemplo , ambos ^{rayos corresponden} a contracciones de X : H da el morfismo birracional${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{2}}$y H − E da una fibración${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$con fibras isomorfas a${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$(correspondientes a las líneas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$a través del punto p ). Dado que el cono nef de X no tiene otras caras no triviales, estas son las únicas contracciones no triviales de X ; eso sería más difícil de ver sin la relación con los conos convexos.

• Demailly, Jean-Pierre ; Peternell, Thomas; Schneider, Michael (1994), "Variedades complejas compactas con haces tangentes numéricamente efectivos" (PDF) , Journal of Algebraic Geometry , 3 : 295–345 , MR 1257325 
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría birracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959 
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica , vol.  1, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471 
• Reid, Miles (1983), "Modelos mínimos de variedades canónicas tridimensionales", Variedades algebraicas y analíticas (Tokio, 1981) , Estudios avanzados en matemáticas puras, vol.  1, North-Holland, pp. 131–180 , doi : 10.2969/aspm/00110131 , ISBN  0-444-86612-4, MR 0715649 
• Zariski, Oscar (1962), "El teorema de Riemann-Roch para múltiplos altos de un divisor efectivo en una superficie algebraica", Annals of Mathematics , 2, 76 (3): 560– 615, doi : 10.2307/1970376 , JSTOR 1970376 , MR 0141668