Inverso aditivo

En matemáticas, el inverso aditivo de un elemento x , denotado −x , ^{[ 1 ]} es el elemento que, al sumarse a x , produce la identidad aditiva . ^{[ 2 ]} Esta identidad aditiva suele ser el número 0 (cero) , pero también puede referirse a un elemento cero más generalizado .

En matemáticas elementales , el inverso aditivo se suele denominar número opuesto , ^{[ 3 ] [ 4 ]} o el negativo de un número. ^{[ 5 ]} La operación unaria de negación aritmética ^{[ 6 ]} está estrechamente relacionada con la resta ^{[ 7 ]} y es importante para resolver ecuaciones algebraicas . ^{[ 8 ]} No todos los conjuntos donde se define la suma tienen un inverso aditivo, como los números naturales . ^{[ 9 ]}

Cuando se trabaja con números enteros , racionales , reales y complejos , el inverso aditivo de cualquier número se puede encontrar multiplicándolo por −1 . ^{[ 8 ]}

El concepto también se puede extender a expresiones algebraicas, que se utilizan con frecuencia al equilibrar ecuaciones .

El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta , que puede verse como una suma utilizando el inverso:

a − b = a + (− b ) .

Por el contrario, el inverso aditivo puede considerarse como una resta de cero:

− a = 0 − a .

Esta conexión propició que el signo menos se utilizara tanto para magnitudes opuestas como para la resta ya en el siglo XVII. Si bien esta notación es estándar hoy en día, en su momento generó oposición, ya que algunos matemáticos consideraban que podía resultar confusa y dar lugar a errores. ^{[ 10 ]}

Dada una estructura algebraica definida bajo la suma${\displaystyle (S,+)}$con una identidad aditiva${\displaystyle e\in S}$, un elemento${\displaystyle x\in S}$tiene un inverso aditivo${\displaystyle y}$si y solo si${\displaystyle y\in S}$,${\displaystyle x+y=e}$, y${\displaystyle y+x=e}$. ^{[ 9 ]}

La suma se usa normalmente solo para referirse a una operación conmutativa , pero para algunos sistemas de números, como el de punto flotante , puede que no sea asociativa . ^{[ 11 ]} Cuando es asociativa, entonces${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$En los casos no asociativos, los inversos izquierdo y derecho, si existen, coincidirán, y el inverso aditivo será único. En estos casos, los inversos izquierdo y derecho pueden no coincidir, y en tales casos, no se considera que exista el inverso.

La definición requiere cierre , que el elemento aditivo${\displaystyle y}$se puede encontrar en${\displaystyle S}$. Sin embargo, a pesar de poder sumar los números naturales, el conjunto de números naturales no incluye los valores inversos aditivos. Esto se debe a que el inverso aditivo de un número natural (por ejemplo,${\displaystyle -3}$para${\displaystyle 3}$) no es un número natural; es un número entero . Por lo tanto, los números naturales en el conjunto${\displaystyle S}$tienen inversos aditivos y sus inversos asociados son números negativos .

• En un espacio vectorial , el inverso aditivo − v (a menudo llamado vector opuesto de v ) tiene la misma magnitud que v pero la dirección opuesta. ^{[ 12 ]}
• En aritmética modular , el inverso aditivo modular de x es el número a tal que a + x ≡ 0 (mod n ) y siempre existe. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 8, ya que 3 + 8 ≡ 0 (mod 11) . ^{[ 13 ]}
• En un anillo booleano , que tiene elementos${\displaystyle \{0,1\}}$La suma se define a menudo como la diferencia simétrica . Por lo tanto,${\displaystyle 0+0=0}$,${\displaystyle 0+1=1}$,${\displaystyle 1+0=1}$, y${\displaystyle 1+1=0}$. Nuestra identidad aditiva es 0, y ambos elementos son su propio inverso aditivo como${\displaystyle 0+0=0}$y${\displaystyle 1+1=0}$. ^{[ 14 ]}

• Valor absoluto (relacionado mediante la identidad |− x | = | x | ).
• Elemento inverso
• Función inversa
• Involución (matemáticas)
• Monoide
• Inverso multiplicativo
• Reflexión (matemáticas)
• Simetría de reflexión
• Semigrupo