Transporte neoclásico

En física de plasma y fusión por confinamiento magnético , el transporte neoclásico o difusión neoclásica es una descripción teórica del transporte por colisión en plasmas toroidales, que se encuentran habitualmente en tokamaks o stellarators . Es una modificación de la difusión clásica que añade efectos de campos magnéticos no uniformes debido a la geometría toroidal, que dan lugar a nuevos efectos de difusión.

Los modelos de transporte clásicos representan un plasma en un campo magnético como una gran cantidad de partículas que viajan en trayectorias helicoidales alrededor de una línea de fuerza . En los diseños típicos de reactores, las líneas son aproximadamente paralelas, por lo que las partículas que orbitan líneas adyacentes pueden colisionar y dispersarse . Esto da como resultado un proceso de recorrido aleatorio que finalmente lleva a que las partículas se encuentren fuera del campo magnético.

El transporte neoclásico añade los efectos de la geometría de los campos. En particular, considera el campo dentro del tokamak y otros dispositivos toroidales similares, donde el campo es más fuerte en la curva interior que en la exterior simplemente porque los imanes están más cerca entre sí en esa zona. Para equilibrar estas fuerzas, el campo en su conjunto se tuerce en una hélice, de modo que las partículas se mueven alternativamente desde el interior al exterior del reactor.

En este caso, a medida que la partícula se desplaza desde el exterior hacia el interior, experimenta una fuerza magnética creciente. Si la energía de la partícula es baja, este campo creciente puede hacer que la partícula invierta su dirección, como en un espejo magnético . La partícula viaja ahora en dirección inversa a través del reactor, hasta el límite exterior, y luego de vuelta hacia el interior, donde se produce el mismo proceso de reflexión. Esto da lugar a una población de partículas que rebotan de un lado a otro entre dos puntos, trazando una trayectoria que parece un plátano desde arriba, las llamadas órbitas del plátano.

Dado que cualquier partícula en la cola larga de la distribución de Maxwell-Boltzmann está sujeta a este efecto, siempre hay una población natural de estas partículas de plátano. Como estas viajan en la dirección inversa durante la mitad de su órbita, su comportamiento de deriva es oscilatorio en el espacio. Por lo tanto, cuando las partículas chocan, su tamaño de paso promedio (ancho del plátano) es mucho mayor que su radio de giro, lo que conduce a una difusión neoclásica a través del campo magnético.

Una consecuencia de la geometría toroidal de las órbitas del centro guía es que algunas partículas pueden reflejarse en la trayectoria desde el lado exterior al interior debido a la presencia de gradientes de campo magnético, de manera similar a un espejo magnético . Las partículas reflejadas no pueden dar una vuelta completa en el plano poloidal y quedan atrapadas, siguiendo las órbitas en forma de banana .

Esto se puede demostrar considerando los equilibrios de tokamak para relaciones de aspecto bajas y grandes que tienen secciones transversales casi circulares, donde se pueden utilizar coordenadas polares centradas en el eje magnético para describir aproximadamente las superficies de flujo. La magnitud del campo magnético total se puede aproximar mediante la siguiente expresión:${\estilo de visualización \beta}$${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle r={\text{constante}}}$

${\displaystyle B\approx B_{0}(1-\epsilon \cos {\theta })}$

donde el subíndice indica el valor en el eje magnético , es el radio mayor, es la relación de aspecto inversa y es el campo magnético. El componente paralelo de las órbitas del centro guía ordenadas por deriva en este campo magnético, suponiendo que no hay campo eléctrico, viene dado por: ${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización (r=0)}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \epsilon =r/R_{0}}$${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle m{\dot {v}}_{\parallel }=-\mu \nabla _{\parallel }B=-\nabla _{\parallel }(U(\theta ))}$

donde es la masa de la partícula, es la velocidad y es el momento magnético (primer invariante adiabático). La dirección en el subíndice indica paralelo o perpendicular al campo magnético. es el potencial efectivo que refleja la conservación de la energía cinética . ${\estilo de visualización m}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle \mu = mv_{\perp}^{2}/2B}$${\displaystyle U(\theta )=\mu B_{0}(1-\epsilon \cos {\theta })}$${\displaystyle {\mathcal {E}}=mv_{\paralelo }^{2}/2+mv_{\perp }^{2}/2=mv_{\paralelo }^{2}/2+U={\text{constante}}}$

La trayectoria paralela experimenta una fuerza de espejo donde la partícula que se mueve en un campo magnético de magnitud creciente puede ser reflejada por esta fuerza. Si un campo magnético tiene un mínimo a lo largo de una línea de campo, las partículas en esta región de campo más débil pueden quedar atrapadas. Esto es de hecho cierto dada la forma que usamos. Las partículas se reflejan ( partículas atrapadas ) para partículas suficientemente grandes o completan su giro poloidal ( partículas que pasan ) de lo contrario. ${\estilo de visualización B}$${\displaystyle v_{\perp }>v_{\parallel }}$

Para ver esto en detalle, el máximo y mínimo del potencial efectivo se pueden identificar como y . Las partículas que pasan tienen y las partículas atrapadas tienen . Reconociendo esto y definiendo una constante de movimiento , tenemos ${\displaystyle U_{\min }=\mu B_{0}(1-\epsilon )}$${\displaystyle U_{\max }=\mu B_{0}(1+\epsilon )}$${\displaystyle {\mathcal {E}}>U_{\max }}$${\displaystyle U_{\min}<{\mathcal {E}}\leq U_{\max}}$${\displaystyle \lambda =\mu B_{0}/{\mathcal {E}}\geq 0}$

• Paso:${\displaystyle 0\leq \lambda <1-\epsilon }$
• Atrapado:${\displaystyle 1-\epsilon <\lambda \leq 1+\epsilon}$

El ancho de la órbita se puede estimar considerando la variación de durante un período orbital . Utilizando la conservación de y ,${\displaystyle \Delta r}$${\displaystyle v_{\parallel }}$${\displaystyle \Delta r\sim \Delta v_{\parallel }/\Omega _{\text{p}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v_{\parallel }=\pm v{\sqrt {1-\lambda B/B_{0}}}\approx \pm v{\sqrt {1-\lambda (1-\epsilon \cos {\theta })}}}$

Luego se pueden estimar los anchos de las órbitas, lo que da

• Ancho de paso:${\displaystyle \Delta r_{\text{p}}\sim q\rho }$
• Ancho del plátano:${\displaystyle \Delta r_{\text{b}}\sim q\rho /{\sqrt {\epsilon }}}$

El ángulo de rebote en el que se convierte en cero para las partículas atrapadas es${\displaystyle \theta _{\text{b}}}$${\displaystyle v_{\parallel }}$

${\displaystyle v_{\parallel }(\theta _{\text{b}})=0\quad \Rightarrow \quad \cos {\theta _{\text{b}}}={\frac {\lambda -1}{\epsilon \lambda }}}$

El tiempo de rebote es el tiempo que tarda una partícula en completar su órbita poloidal. Se calcula mediante${\displaystyle \tau _{\text{b}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{b}}=\int {\text{d}}t=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\dot {\theta }}}=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{v_{\parallel }{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla \theta }}\simeq {\frac {B}{B_{\theta }}}\oint {\frac {r{\text{d}}\theta }{\sigma v{\sqrt {1-\lambda (1-\epsilon \cos {\theta }}})}}}$

donde . La integral se puede reescribir como${\displaystyle \sigma =\pm 1}$

${\displaystyle \tau _{\text{b}}\simeq {\frac {qR}{v{\sqrt {2\epsilon \lambda }}}}\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\sigma {\sqrt {k^{2}-\sin ^{2}(\theta /2)}}}}}$

donde y , que también es equivalente a para partículas atrapadas. Esto se puede evaluar utilizando los resultados de la integral elíptica completa de primera clase${\displaystyle q=rB_{\phi }/RB_{\theta }}$${\displaystyle k^{2}\equiv [1-\lambda (1-\epsilon )]/2\epsilon \lambda }$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta _{\text{b}}/2)}$

${\displaystyle K(k)\equiv \int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}x}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}}},\quad 0<k\leq 1}$

con propiedades

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2}}(1+{\mathcal {O}}(k^{2}))\quad &{\text{for}}\quad k\rightarrow 0\\K(k)&\rightarrow \ln {\frac {4}{\sqrt {1-k^{2}}}}\quad &{\text{for}}\quad k\rightarrow 1\end{aligned}}}$

El tiempo de rebote de las partículas que pasan se obtiene integrando entre${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \tau _{b}={\frac {4qR}{\sigma {\sqrt {2\epsilon \lambda }}}}{\frac {K(k^{-1})}{k}}}$

donde el tiempo de rebote de la partícula atrapada se evalúa integrando entre y tomando${\displaystyle [0,\theta _{\text{b}}]}$${\displaystyle \lambda \approx 1}$

${\displaystyle \tau _{b}={\frac {8qR}{\sigma {\sqrt {2\epsilon }}}}K(k)}$

Los casos límite son

• Super pase:${\displaystyle k\rightarrow \infty \quad \Rightarrow \quad K(k^{-1})\rightarrow \pi /2\quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow 2\pi qR/v_{\parallel }}$
• Súper atrapado:${\displaystyle k\rightarrow 0\quad \Rightarrow \quad K(k)\rightarrow \pi /2\quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow (2\pi qR/v_{\parallel }){\sqrt {2/\epsilon }}}$
• Apenas atrapado:${\displaystyle k\rightarrow 1\quad \Rightarrow \quad K(k)\rightarrow \infty \quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow \infty }$

• Wendelstein 7-X

• Wagner, F.; Wobig, H. (2005). "Confinamiento magnético". En Dinklage, Andreas; Klinger, Thomas; Marx, Gerrit; Schweikhard, Lutz (eds.). Física del plasma: confinamiento, transporte y efectos colectivos . Springer.