Red (poliedro)

En geometría , el desarrollo plano de un poliedro es una disposición de polígonos unidos por aristas que no se superponen y que pueden plegarse (a lo largo de las aristas) para formar las caras del poliedro. Los desarrollos planos de poliedros son una herramienta útil para el estudio de los poliedros y la geometría sólida en general, ya que permiten construir modelos físicos de poliedros con materiales como cartón fino. ^{[ 1 ]}

Un ejemplo temprano de redes poliédricas aparece en las obras de Albrecht Dürer , cuyo libro de 1525, Un curso de medición con compás y regla ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ), incluía redes para los sólidos platónicos y varios de los sólidos arquimedianos . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Estas construcciones fueron llamadas redes por primera vez en 1543 por Augustin Hirschvogel . ^{[ 4 ]}

Pueden existir muchas redes diferentes para un poliedro dado, dependiendo de las elecciones de qué aristas se unen y cuáles se separan. Las aristas que se cortan de un poliedro convexo para formar una red deben formar un árbol de expansión del poliedro, pero cortar algunos árboles de expansión puede hacer que el poliedro se autosuperponga cuando se despliega, en lugar de formar una red. ^{[ 5 ]} Por el contrario, una red dada puede plegarse en más de un poliedro convexo diferente, dependiendo de los ángulos en los que se pliegan sus aristas y la elección de qué aristas pegar. ^{[ 6 ]} Si se da una red junto con un patrón para pegar sus aristas, de modo que cada vértice de la figura resultante tenga un defecto angular positivo y de modo que la suma de estos defectos sea exactamente 4 π , entonces necesariamente existe exactamente un poliedro que se puede plegar a partir de ella; este es el teorema de unicidad de Alexandrov . Sin embargo, el poliedro formado de esta manera puede tener caras diferentes a las especificadas en la red: algunos polígonos de la red pueden presentar pliegues, y algunas aristas entre polígonos pueden permanecer sin plegar. Además, la misma red puede tener múltiples patrones de pegado válidos, lo que da lugar a diferentes poliedros plegados. ^{[ 7 ]}

En 1975, GC Shephard preguntó si todo poliedro convexo tiene al menos una red plana, o despliegue simple de aristas. ^{[ 8 ]} Esta pregunta, que también se conoce como la conjetura de Dürer, o el problema de despliegue de Dürer, sigue sin respuesta. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} Existen poliedros no convexos que no tienen redes, y es posible subdividir las caras de todo poliedro convexo (por ejemplo, a lo largo de un lugar de corte ) de modo que el conjunto de caras subdivididas tenga una red. ^{[ 5 ]} En 2014 Mohammad Ghomi demostró que todo poliedro convexo admite una red después de una transformación afín . ^{[ 12 ]} Además, en 2019 Barvinok y Ghomi demostraron que una generalización de la conjetura de Dürer falla para pseudo aristas , ^{[ 13 ]} es decir, una red de geodésicas que conectan vértices del poliedro y forman un grafo con caras convexas.

Una cuestión abierta relacionada plantea si cada red de un poliedro convexo tiene un florecimiento , un movimiento continuo sin autointersecciones desde su estado plano a su estado plegado que mantiene cada cara plana durante todo el movimiento. ^{[ 14 ]}

El camino más corto sobre la superficie entre dos puntos en la superficie de un poliedro corresponde a una línea recta en una red adecuada para el subconjunto de caras tocadas por la trayectoria. La red debe ser tal que la línea recta esté completamente dentro de ella, y puede ser necesario considerar varias redes para determinar cuál proporciona el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un cubo , si los puntos están en caras adyacentes, una posible trayectoria más corta es la que cruza la arista común; la trayectoria más corta de este tipo se encuentra utilizando una red donde las dos caras también son adyacentes. Otras posibles trayectorias más cortas son a través de la superficie de una tercera cara adyacente a ambas (de las cuales hay dos), y se pueden utilizar redes correspondientes para encontrar la trayectoria más corta en cada categoría. ^{[ 15 ]}

El problema de la araña y la mosca es un rompecabezas matemático recreativo que consiste en encontrar el camino más corto entre dos puntos de un cuboide.

Una red de un politopo de cuatro dimensiones está compuesta por celdas poliédricas conectadas por sus caras , que ocupan el mismo espacio tridimensional, al igual que las caras poligonales de la red de un poliedro están conectadas por sus aristas y ocupan el mismo plano. La red del teseracto, el hipercubo de cuatro dimensiones , se utiliza de forma destacada en una pintura de Salvador Dalí , Crucifixión (Corpus Hypercubus) (1954). ^{[ 16 ]} La misma red del teseracto es fundamental para la trama del cuento «—Y construyó una casa torcida—» de Robert A. Heinlein . ^{[ 17 ]}

El número de redes combinatoriamente distintas de${\displaystyle n}$Los hipercubos de dimensión se pueden encontrar representando estas redes como un árbol en${\displaystyle 2n}$nodos que describen el patrón mediante el cual pares de caras del hipercubo se unen para formar una red, junto con una correspondencia perfecta en el grafo complementario del árbol que describe los pares de caras que se encuentran opuestas entre sí en el hipercubo plegado. Utilizando esta representación, se ha contado el número de despliegues diferentes para hipercubos de dimensiones 2, 3, 4, ... como

1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ... (secuencia A091159 en el OEIS )

• Modelado con cartón
• Red común
• Modelo de papel
• Mapeo UV

• Weisstein, Eric W. , "Neto" , MathWorld
• Weisstein, Eric W. , "Desplegando" , MathWorld
• Desplegables de politopos 4D regulares
• Redes poliédricas editables e imprimibles con vista 3D interactiva.
• Modelos de papel de poliedros
• Descompresor de carpetas para Blender
• Paquete de despliegue para Mathematica