Estados cuánticos de redes neuronales

Los estados cuánticos de red neuronal ( NQS o NNQS ) son una clase general de estados cuánticos variacionales parametrizados en términos de una red neuronal artificial . Fueron introducidos por primera vez en 2017 por los físicos Giuseppe Carleo y Matthias Troyer ^{[ 1 ]} para aproximar las funciones de onda de sistemas cuánticos de muchos cuerpos .

Dado un estado cuántico de muchos cuerpos${\displaystyle |\Psi \rangle }$que comprende${\displaystyle N}$grados de libertad y una selección de números cuánticos asociados${\displaystyle s_{1}\ldots s_{N}}$, luego un NQS parametriza las amplitudes de la función de onda

$${\displaystyle \langle s_{1}\ldots s_{N}|\Psi ;W\rangle =F(s_{1}\ldots s_{N};W),}$$

dónde${\displaystyle F(s_{1}\ldots s_{N};W)}$es una red neuronal artificial de parámetros (pesos)${\displaystyle W}$,${\displaystyle N}$variables de entrada (${\displaystyle s_{1}\ldots s_{N}}$) y una salida de valor complejo correspondiente a la amplitud de la función de onda.

Esta forma variacional se utiliza junto con enfoques específicos de aprendizaje estocástico para aproximar estados cuánticos de interés.

Una aplicación común de NQS es encontrar una representación aproximada de la función de onda del estado fundamental de un hamiltoniano dado .${\displaystyle {\hat {H}}}$El procedimiento de aprendizaje en este caso consiste en encontrar los mejores pesos de la red neuronal que minimicen la energía variacional.

$${\displaystyle E(W)=\langle \Psi ;W|{\hat {H}}|\Psi ;W\rangle .}$$

Dado que, para una red neuronal artificial general, calcular el valor esperado es una operación exponencialmente costosa en${\displaystyle N}$Se utilizan técnicas estocásticas basadas, por ejemplo, en el método de Monte Carlo para estimar${\displaystyle E(W)}$, de forma análoga a lo que se hace en el método de Monte Carlo variacional , véase por ejemplo ^{[ 2 ]} para una revisión. Más específicamente, un conjunto de${\displaystyle M}$muestras${\displaystyle S^{(1)},S^{(2)}\ldots S^{(M)}}$, con${\displaystyle S^{(i)}=s_{1}^{(i)}\ldots s_{N}^{(i)}}$, se genera de tal manera que se distribuyen uniformemente según la densidad de probabilidad de Born.${\displaystyle P(S)\propto |F(s_{1}\ldots s_{N};W)|^{2}}$. Entonces se puede demostrar que la media muestral de la llamada "energía local"${\displaystyle E_{\mathrm {loc} }(S)=\langle S|{\hat {H}}|\Psi \rangle /\langle S|\Psi \rangle }$es una estimación estadística del valor esperado cuántico${\displaystyle E(W)}$, es decir

$${\displaystyle E(W)\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)}).}$$

De manera similar, se puede demostrar que el gradiente de la energía con respecto a los pesos de la red${\displaystyle W}$también se aproxima mediante una media muestral.

$${\displaystyle {\frac {\partial E(W)}{\partial W_{k}}}\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}(E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)})-E(W))O_{k}^{\star }(S^{(i)}),}$$

dónde${\displaystyle O(S^{(i)})={\frac {\partial \log F(S^{(i)};W)}{\partial W_{k}}}}$y se puede calcular de manera eficiente, en redes profundas mediante retropropagación .

La aproximación estocástica de los gradientes se utiliza entonces para minimizar la energía.${\displaystyle E(W)}$normalmente utilizando un enfoque de descenso de gradiente estocástico . Cuando los parámetros de la red neuronal se actualizan en cada paso del procedimiento de aprendizaje, se obtiene un nuevo conjunto de muestras.${\displaystyle S^{(i)}}$se genera, en un procedimiento iterativo similar al que se realiza en el aprendizaje no supervisado .

Las representaciones de funciones de onda cuánticas mediante redes neuronales comparten algunas similitudes con los estados cuánticos variacionales basados ​​en redes tensoriales . Por ejemplo, se han establecido conexiones con estados de producto matricial . ^{[ 3 ]} Estos estudios han demostrado que los NQS admiten el escalado de la ley de volumen para la entropía del entrelazamiento . En general, dado un NQS con pesos totalmente conectados, corresponde, en el peor de los casos, a un estado de producto matricial de dimensión de enlace exponencialmente grande en${\displaystyle N}$.

• Programación diferenciable