polinomio de Newton

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Newton , que recibe su nombre de su inventor Isaac Newton , ^{[ 1 ]} es un polinomio de interpolación para un conjunto dado de puntos de datos. El polinomio de Newton a veces se denomina polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton porque los coeficientes del polinomio se calculan utilizando el método de diferencias divididas de Newton .

Definición

Dado un conjunto de ⁠ $k+1$ puntos de datos

(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})

donde no hay dos x _j iguales, el polinomio de interpolación de Newton es una combinación lineal de polinomios base de Newton.

N(x):=\sum _ {j=0}^{k}a_ {j}n_ {j} (x)

con los polinomios base de Newton definidos como

n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})

para $j>0$ y $n_{0}(x)\equiv 1$ .

Los coeficientes se definen como

a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]

dónde $[y_{0},\ldots ,y_{j}]$ son las diferencias divididas definidas como ${\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{k}]&:=y_{k},&&k\in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{k},\ldots ,y_{k+j}]&:={\frac {[y_{k+1},\ldots ,y_{k+j}]-[y_{k},\ldots ,y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_{k}}},&&k\in \{0,\ldots ,nj\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}.\end{aligned}}$

Por lo tanto, el polinomio de Newton se puede escribir como

N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).

Fórmula de diferencia dividida hacia adelante de Newton

El polinomio de Newton se puede expresar en una forma simplificada cuando $x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}$ están dispuestas consecutivamente con igual espaciado.

Si $x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}$ están dispuestos consecutivamente y espaciados uniformemente con ${x}_{i}={x}_{0}+ih$ para $i=0,1,\dots ,k$ y alguna variable $x$ ⁠ se expresa como ⁠ ${x}={x}_{0}+sh$ ⁠ , entonces la diferencia $x-x_{i}$ se puede escribir como $(si)h$ ⁠ . Entonces el polinomio de Newton se convierte en

{\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}

Esto se conoce como la fórmula de diferencias divididas hacia adelante de Newton .

Fórmula de la diferencia dividida hacia atrás de Newton

Si los nodos se reordenan como ⁠ ${x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}$ ⁠ , el polinomio de Newton se convierte en

N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).

Si ${x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}$ están igualmente espaciados con ${x}_{i}={x}_{k}-(ki)h$ para $i=0,1,\dots ,k$ y ${x}={x}_{k}+sh$ ⁠ , entonces,

{\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{ki}].\end{aligned}}

Esto se conoce como la fórmula de diferencias divididas hacia atrás de Newton .

Significado

La fórmula de Newton es interesante porque es la versión de diferencias directa y natural del polinomio de Taylor. El polinomio de Taylor indica hacia dónde irá una función, basándose en su $y$ ⁠ valor, y sus derivados (su tasa de cambio, y la tasa de cambio de su tasa de cambio, etc.) en un ⁠ valor particular, y sus derivados (su tasa de cambio, y la tasa de cambio de su tasa de cambio, etc.) en un ⁠ valor particular . $x$ valor. La fórmula de Newton es el polinomio de Taylor basado en diferencias finitas en lugar de tasas de cambio instantáneas.

Interpolación polinómica

Para un polinomio $p_{n}$ de grado menor o igual a ⁠ $n$ ⁠ , que interpola $f$ en los nodos $x_{i}$ donde $i=0,1,2,3,\dots ,n$ ⁠ . Deja $p_{n+1}$ sea el polinomio de grado menor o igual a ⁠ $n+1$ que interpola $f$ en los nodos $x_{i}$ donde $i=0,1,2,3,\dots ,n,n+1$ Entonces $p_{n+1}$ está dado por: $p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)$ dónde ${\textstyle w_{n}(x):=\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}$ y $\textstyle a_{n+1}:={f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}$ .

Prueba:

Esto se puede demostrar para el caso en que $i=0,1,2,3,\cdots ,n$ : $p_{n+1}(x_{i})=p_{n}(x_{i})+a_{n+1}\prod _{j=0}^{n}(x_{i}-x_{j})=p_{n}(x_{i})$ y cuando $i=n+1$ : $p_{n+1}(x_{n+1})=p_{n}(x_{n+1})+{f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}w_{n}(x_{n+1})=f(x_{n+1})$

Por la unicidad de los polinomios interpolados de grado menor que ⁠ $n+1$ ⁠ , ${\textstyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$ es la interpolación polinómica requerida. La función se puede expresar, por lo tanto, como: ${\textstyle p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots +a_{n}(x-x_{0})\cdots (x-x_{n-1})}$ donde los factores $a_{i}$ son diferencias divididas . Por lo tanto, los polinomios de Newton se utilizan para proporcionar una fórmula de interpolación polinómica de n puntos. ^{[ 2 ]}

Tomando $y_{i}=f(x_{i})$ para alguna función desconocida en las fórmulas de diferencias divididas de Newton, si la representación de $x$ En las secciones anteriores se tomó en cambio como $x=x_{j}+sh$ En términos de diferencias finitas hacia adelante , la fórmula de interpolación hacia adelante de Newton se expresa como: $f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}\Delta ^{(i)}f(x_{j})$ Mientras que para lo mismo en términos de diferencias hacia atrás , la fórmula de interpolación hacia atrás de Newton se expresa como: $f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}\nabla ^{(i)}f(x_{j}).$ Esto se deduce de que la relación entre las diferencias divididas y las diferencias hacia adelante se da como: ^{[ 3 ]} $[y_{j},y_{j+1},\ldots ,y_{j+n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\Delta ^{(n)}y_{j},$ mientras que para las diferencias hacia atrás, se da como: $[{y}_{j},y_{j-1},\ldots ,{y}_{j-n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\nabla ^{(n)}y_{j}.$

Adición de nuevos puntos

Al igual que con otras fórmulas de diferencias, el grado de un polinomio de interpolación de Newton puede incrementarse añadiendo términos y puntos sin descartar los existentes. La fórmula de Newton se caracteriza por la simplicidad de que los nuevos puntos siempre se añaden en un extremo: la fórmula de Newton hacia adelante permite añadir puntos nuevos a la derecha, y la fórmula de Newton hacia atrás permite añadir puntos nuevos a la izquierda.

La precisión de la interpolación polinómica depende de cuán cerca esté el punto interpolado del centro de la matriz. $x$ valores del conjunto de puntos utilizados. Obviamente, a medida que se agregan nuevos puntos en un extremo, ese punto medio se aleja cada vez más del primer punto de datos. Por lo tanto, si no se sabe cuántos puntos se necesitarán para la precisión deseada, el punto medio del $x$ Los valores podrían estar lejos del punto donde se realiza la interpolación.

Gauss, Stirling y Bessel desarrollaron fórmulas para remediar ese problema. ^{[ 4 ]}

La fórmula de Gauss agrega alternativamente nuevos puntos en los extremos izquierdo y derecho, manteniendo así el conjunto de puntos centrado cerca del mismo lugar (cerca del punto evaluado). Al hacerlo, utiliza términos de la fórmula de Newton, con puntos de datos y $x$ ⁠ valores renombrados de acuerdo con la elección de qué punto de datos se designa como el $x_{0}$ punto de datos .

La fórmula de Stirling sigue centrada en un punto de datos concreto, para usarse cuando el punto evaluado está más cerca de un punto de datos que del punto medio entre dos puntos de datos.

La fórmula de Bessel se mantiene centrada en un punto medio específico entre dos puntos de datos, para ser utilizada cuando el punto evaluado está más cerca de un punto medio que de un punto de datos.

Bessel y Stirling lo consiguen a veces utilizando el promedio de dos diferencias y a veces utilizando el promedio de dos productos de binomios en ⁠ $x$ ⁠ , donde los métodos de Newton o Gauss usarían solo una diferencia o producto. El método de Stirling usa una diferencia promedio en términos de grado impar (cuya diferencia usa un número par de puntos de datos); el método de Bessel usa una diferencia promedio en términos de grado par (cuya diferencia usa un número impar de puntos de datos).

Fortalezas y debilidades de diversas fórmulas

Para cualquier conjunto finito dado de puntos de datos, solo hay un polinomio del grado más pequeño posible que pasa por todos ellos. Por lo tanto, es apropiado hablar de la "forma de Newton", o forma de Lagrange , etc., del polinomio de interpolación. Sin embargo, los diferentes métodos para calcular este polinomio pueden tener diferente eficiencia computacional. Hay varios métodos similares, como los de Gauss, Bessel y Stirling. Se pueden derivar del de Newton renombrando el $x$ -valores de los puntos de datos, pero en la práctica son importantes.

Bessel contra Stirling

La elección entre Bessel y Stirling depende de si el punto interpolado está más cerca de un punto de datos o más cerca de un punto medio entre dos puntos de datos.

El error de una interpolación polinómica tiende a cero a medida que el punto de interpolación se aproxima a un punto de datos. Por lo tanto, la fórmula de Stirling mejora la precisión donde menos se necesita, mientras que la de Bessel lo hace donde más se necesita.

Por lo tanto, podría decirse que la fórmula de Bessel es la fórmula de diferencias más precisa y consistente, y, en general, la más precisa y consistente de las fórmulas de interpolación polinómica conocidas.

Métodos de diferencias divididas frente a Lagrange

A veces se dice que Lagrange requiere menos trabajo y, en ocasiones, se recomienda para problemas en los que se sabe, de antemano, por experiencia previa, cuántos términos se necesitan para obtener una precisión suficiente.

Los métodos de diferencias divididas tienen la ventaja de que permiten añadir más datos para mejorar la precisión. Los términos basados en los datos anteriores pueden seguir utilizándose. Con la fórmula de Lagrange convencional, resolver el problema con más datos requeriría rehacerlo por completo.

Existe una versión "baricéntrica" del teorema de Lagrange que evita tener que rehacer todo el cálculo al añadir un nuevo dato. Sin embargo, requiere que se registren los valores de cada término.

Sin embargo, la capacidad de Gauss, Bessel y Stirling para mantener los puntos de datos centrados cerca del punto interpolado les confiere una ventaja sobre Lagrange cuando no se sabe de antemano cuántos puntos de datos serán necesarios.

Además, supongamos que se desea determinar si, para un tipo particular de problema, la interpolación lineal es suficientemente precisa. Esto se puede determinar evaluando el término cuadrático de una fórmula de diferencias divididas. Si el término cuadrático es despreciable —lo que significa que el término lineal es suficientemente preciso sin sumar el término cuadrático—, entonces la interpolación lineal es suficientemente precisa. Si el problema es lo suficientemente importante, o si el término cuadrático es casi lo suficientemente grande como para ser relevante, entonces se podría querer determinar si la suma de los términos cuadrático y cúbico es lo suficientemente grande como para ser relevante en el problema.

Por supuesto, para tal determinación solo se puede utilizar el método de diferencias divididas.

Para ello, la fórmula de diferencias divididas y/o su $x_{0}$ El punto debe elegirse de manera que la fórmula utilice, para su término lineal, los dos puntos de datos entre los cuales se realizaría la interpolación lineal de interés.

Las fórmulas de diferencias divididas son más versátiles y útiles en más tipos de problemas.

La fórmula de Lagrange es mejor cuando toda la interpolación se realiza en un solo paso . $x$ valor, con solo los puntos de datos $y$ valores que varían de un problema a otro, y cuando se sabe, por experiencia pasada, cuántos términos se necesitan para una precisión suficiente.

Con la forma de Newton del polinomio interpolador existe un algoritmo compacto y eficaz para combinar los términos y hallar los coeficientes del polinomio. ^{[ 5 ]}

Exactitud

Cuando, con Stirling o Bessel, el último término utilizado incluye el promedio de dos diferencias, entonces se está utilizando un punto más que el que usarían Newton u otras interpolaciones polinómicas para el mismo grado polinómico. Por lo tanto, en ese caso, Stirling o Bessel no están poniendo un ⁠ $N-1$ polinomio de grado a través de $N$ En cambio, intercambia la equivalencia con el método de Newton por un mejor centrado y precisión, lo que a veces otorga a esos métodos una precisión potencialmente mayor, para un grado polinómico dado, que otras interpolaciones polinómicas.

Caso general

Para el caso especial de ⁠ $x_{i}=i$ ⁠ , existe un conjunto de polinomios estrechamente relacionados, también llamados polinomios de Newton, que son simplemente los coeficientes binomiales para argumentos generales. Es decir, también se tienen los polinomios de Newton. $p_{n}(z)$ dado por

p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}

De esta forma, los polinomios de Newton generan las series de Newton . Estas, a su vez, son un caso especial de los polinomios de diferencias generales , que permiten representar funciones analíticas mediante ecuaciones de diferencias generalizadas.

Idea principal

Resolver un problema de interpolación nos lleva a un problema de álgebra lineal donde debemos resolver un sistema de ecuaciones lineales . Al usar una base monomial estándar para nuestro polinomio de interpolación, obtenemos la matriz de Vandermonde, que es muy compleja . Al elegir otra base, la base de Newton, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con una matriz triangular inferior mucho más simple , que se puede resolver más rápidamente.

Para $k+1$ ⁠ puntos de datos construimos la base de Newton como

n_{0}(x):=1,\qquad n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots ,k.

Utilizando estos polinomios como base para $\Pi _{k}$ tenemos que resolver

{\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}

para resolver el problema de interpolación polinómica.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver iterativamente resolviendo

\sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.

Derivación

Si bien la fórmula de interpolación se puede obtener resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, se pierde la intuición sobre lo que muestra la fórmula y no resulta evidente por qué funciona la fórmula de interpolación de Newton. Para empezar, primero debemos establecer dos hechos:

Hecho 1. Invertir los términos de una diferencia dividida la deja sin cambios : $[y_{0},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{0}]$ .

La prueba de esto es una inducción sencilla: para $n=1$ calculamos $[y_{0},y_{1}]={\frac {[y_{1}]-[y_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {[y_{0}]-[y_{1}]}{x_{0}-x_{1}}}=[y_{1},y_{0}].$

Paso de inducción: Supongamos que el resultado se cumple para cualquier diferencia dividida que involucre como máximo $n+1$ términos. Luego, usando la hipótesis de inducción en la siguiente segunda igualdad, vemos que para una diferencia dividida que involucra $n+2$ términos que tenemos $[y_{0},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{0}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}{x_{0}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{0}].$

A continuación formulamos el Hecho 2, que para fines de introducción y claridad también denominamos Declaración. $n$ ( ⁠ ${\text{Stm}}_{n}$ ⁠ ):

Hecho 2. ( ${\text{Stm}}_{n}$ ) : Si $(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ ¿Hay alguno? $n$ puntos con distintos $x$ -coordenadas y $P=P(x)$ es el único polinomio de grado (como máximo) $n-1$ cuya gráfica pasa por estos $n$ puntos entonces se mantiene la relación $[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})$

Prueba. (Para una lectura fluida de la prueba, será útil tener presente la afirmación precisa y su sutileza: $P$ se define pasando por $(x_{0},y_{0}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ pero la fórmula también habla a ambos lados de un punto arbitrario adicional $(x_{n},y_{n})$ con $x$ -coordinar distinto del otro $x_{i}$ . )

De nuevo demostramos estas afirmaciones por inducción. Para demostrarlo ${\text{Stm}}_{1}$ ⁠ , deja $(x_{0},y_{0})$ ser cualquier punto y dejar $P(x)$ sea el único polinomio de grado 0 que pasa por ⁠ $(x_{0},y_{0})$ ⁠ . Entonces evidentemente $P(x)=y_{0}$ y podemos escribir $[y_{0},y_{1}](x_{1}-x_{0})={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x_{1}-x_{0})=y_{1}-y_{0}=y_{1}-P(x_{1})$ como se deseaba.

Prueba de ${\text{Stm}}_{n+1}$ ⁠ , suponiendo ${\text{Stm}}_{n}$ ya establecido: Deje $P(x)$ sea el polinomio de grado (como máximo) $n$ pasando por $(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$ .

Con $Q(x)$ siendo el único polinomio de grado (como máximo) $n-1$ pasando por los puntos $(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$ ⁠ , podemos escribir la siguiente cadena de igualdades, donde usamos en la penúltima igualdad que ⁠ ${\text{Stm}}_{n+1}$ Se aplica a $Q$ : ${\begin{aligned}&[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}(x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\left([y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})).\end{aligned}}$

La hipótesis de inducción para $Q$ También se aplica a la segunda igualdad en el siguiente cálculo, donde $(x_{0},y_{0})$ se añade a los puntos que definen ⁠ $Q$ : ${\begin{aligned}&Q(x_{0})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{0}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{n})\\&=Q(x_{0})+[y_{n},\ldots ,y_{0}](x_{0}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{1})\\&=Q(x_{0})+y_{0}-Q(x_{0})\\&=y_{0}\\&=P(x_{0}).\\\end{aligned}}$

Ahora mira $Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})$ ⁠ . Por definición de $Q$ este polinomio pasa por $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ y, como acabamos de demostrar, también pasa por $(x_{0},y_{0})$ ⁠ . Por lo tanto, es el único polinomio de grado $\leq n$ que pasa por estos puntos. Por lo tanto, este polinomio es $P(x)$ ; es decir : $P(x)=Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})$ .

Así podemos escribir la última línea de la primera cadena de igualdades como ' ⁠ $y_{n+1}-P(x_{n+1})$ ' y así han establecido que $[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1}).$ Así que establecimos ${\text{Stm}}_{n+1}$ ⁠ , y por lo tanto se completó la prueba del Hecho 2.

Ahora veamos el Hecho 2: Se puede formular de esta manera: Si $P$ es el polinomio único de grado como máximo $n-1$ cuya gráfica pasa por los puntos $(x_{0},y_{0}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ , entonces $P(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n-1})$ es el polinomio único de grado como máximo $n$ pasando por puntos $(x_{0},y_{0}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1}),(x_{n},y_{n})$ Así pues, vemos que la interpolación de Newton permite, en efecto, añadir nuevos puntos de interpolación sin destruir lo que ya se ha calculado.

polinomio de Taylor

El límite del polinomio de Newton si todos los nodos coinciden es un polinomio de Taylor , porque las diferencias divididas se convierten en derivadas. ${\begin{aligned}&\lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})\\&=f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots +{\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}\end{aligned}}$

Solicitud

Como se puede observar en la definición de diferencias divididas, se pueden añadir nuevos puntos de datos al conjunto de datos para crear un nuevo polinomio de interpolación sin recalcular los coeficientes anteriores. Además, cuando cambia un punto de datos, normalmente no es necesario recalcular todos los coeficientes. Asimismo, si los x _i están distribuidos equidistantemente, el cálculo de las diferencias divididas resulta mucho más sencillo. Por lo tanto, en la práctica , las fórmulas de diferencias divididas suelen preferirse a la fórmula de Lagrange .

Ejemplos

Las diferencias divididas se pueden escribir en forma de tabla. Por ejemplo, para una función ⁠ $f$ Se debe interpolar en puntos . $x_{0},\ldots ,x_{n}$ . Escribe

{\begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matrix}}

Luego, el polinomio de interpolación se forma como se indicó anteriormente, utilizando como coeficientes las entradas superiores de cada columna.

Por ejemplo, supongamos que vamos a construir el polinomio interpolador para ⁠ $f(x)=\tan(x)$ ⁠ utilizando diferencias divididas, en los puntos

Utilizando una precisión de seis dígitos, construimos la tabla.

{\begin{matrix}-{\tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\\&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\&&1.24213&&4.83484&\\{\tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matrix}}

Por lo tanto, el polinomio de interpolación es

{\begin{aligned}&-14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})\\={}&-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}\end{aligned}}

Si la tabla tiene más dígitos de precisión, se encontrará que el primer y el tercer coeficiente son cero.

Otro ejemplo:

La secuencia $f_{0}$ de tal manera que $f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2$ y $f_{0}(4)=5$ ⁠ , es decir, son $6,9,2,5$ de $x_{0}=1$ a $x_{3}=4$ .

Se obtiene la pendiente de orden $1$ De la siguiente manera:

$f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3$
$f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7$
$f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3$

Como tenemos pendientes de orden $1$ , es posible obtener el siguiente pedido:

$f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5$
$f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5$

Finalmente, definimos la pendiente de orden ⁠ $3$ :

$f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}$

Una vez que tenemos la pendiente, podemos definir los polinomios consecuentes:

$p_{0}(x)=6$
$p_{1}(x)=6+3(x-1)$
$p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)$
$p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)$

Véase también

De numeris triangularibus et inde de progressibus arithmeticis: Magisteria magna , una obra de Thomas Harriot que describe métodos similares para la interpolación, escrita 50 años antes que la obra de Newton pero no publicada hasta 2009.
Serie Newton
Esquema de Neville
Interpolación polinómica
Forma lagrangiana del polinomio de interpolación
Forma de Bernstein del polinomio de interpolación
interpolación de Hermite
Teorema de Carlson
Tabla de series newtonianas

Referencias

↑ Dunham, William (1990). "7" . Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics . Kanak Agrawal, Inc. pp. 155–183 . ISBN 9780140147391Consultado el 24 de octubre de 2019 .
↑ Epperson, James F. (2013). Introducción a los métodos y análisis numéricos (2.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-1-118-36759-9.
↑ Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2011). Análisis numérico (9.ª ed.). Cengage Learning. pág . 129. ISBN 9780538733519.
↑ Hamming, Richard W. (1986). Métodos numéricos para científicos e ingenieros (Reimpresión íntegra de la 2.ª ed. (1973) ). Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-65241-2.
↑ Stetekluh, Jeff. "Algoritmo para la forma newtoniana del polinomio interpolador" .

Enlaces externos

Módulo para el polinomio de Newton por John H. Mathews

[Dunham-1] Dunham, William (1990). "7" . Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics . Kanak Agrawal, Inc. pp. 155–183 . ISBN 9780140147391Consultado el 24 de octubre de 2019 .

[2] Epperson, James F. (2013). Introducción a los métodos y análisis numéricos (2.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-1-118-36759-9.

[3] Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2011). Análisis numérico (9.ª ed.). Cengage Learning. pág . 129. ISBN 9780538733519.

[4] Hamming, Richard W. (1986). Métodos numéricos para científicos e ingenieros (Reimpresión íntegra de la 2.ª ed. (1973) ). Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-65241-2.

[5] Stetekluh, Jeff. "Algoritmo para la forma newtoniana del polinomio interpolador" .

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