Matriz de próxima generación

En epidemiología , la matriz de próxima generación se utiliza para derivar el número reproductivo básico , para un modelo compartimental de la propagación de enfermedades infecciosas . En dinámica de poblaciones, se utiliza para calcular el número reproductivo básico para modelos de población estructurados. ^{[ 1 ]} También se utiliza en modelos de ramificación de múltiples tipos para cálculos análogos. ^{[ 2 ]}

El método para calcular el índice de reproducción básico utilizando la matriz de la siguiente generación es presentado por Diekmann et al. (1990) ^{[ 3 ]} y van den Driessche y Watmough (2002). ^{[ 4 ]} Para calcular el número de reproducción básico utilizando una matriz de la siguiente generación, toda la población se divide en${\displaystyle n}$compartimentos en los que hay${\displaystyle m<n}$compartimentos infectados. Deje${\displaystyle x_{i},i=1,2,3,\ldots ,m}$sean los números de individuos infectados en el${\displaystyle i^{th}}$compartimento infectado en el tiempo t . Ahora, el modelo epidémico es 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=F_{i}(x)-V_{i}(x)}$, dónde ${\displaystyle V_{i}(x)=[V_{i}^{-}(x)-V_{i}^{+}(x)]}$

En las ecuaciones anteriores,${\displaystyle F_{i}(x)}$representa la tasa de aparición de nuevas infecciones en el compartimento${\displaystyle i}$. ${\displaystyle V_{i}^{+}}$representa la tasa de transferencia de individuos al compartimento${\displaystyle i}$por todos los demás medios, y${\displaystyle V_{i}^{-}(x)}$representa la tasa de transferencia de individuos fuera del compartimento${\displaystyle i}$El modelo anterior también se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=F(x)-V(x)}$

dónde

${\displaystyle F(x)={\begin{pmatrix}F_{1}(x),&F_{2}(x),&\ldots ,&F_{m}(x)\end{pmatrix}}^{T}}$

y

${\displaystyle V(x)={\begin{pmatrix}V_{1}(x),&V_{2}(x),&\ldots ,&V_{m}(x)\end{pmatrix}}^{T}.}$

Dejar${\displaystyle x_{0}}$sea ​​el equilibrio libre de enfermedad. Los valores de las partes de la matriz jacobiana${\displaystyle F(x)}$y${\displaystyle V(x)}$son:

${\displaystyle DF(x_{0})={\begin{pmatrix}F&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle DV(x_{0})={\begin{pmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{pmatrix}}}$

respectivamente.

Aquí,${\displaystyle F}$y${\displaystyle V}$son matrices m  × m , definidas como  ${\displaystyle F={\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$y${\displaystyle V={\frac {\partial V_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$.

Ahora, la matriz${\displaystyle FV^{-1}}$se conoce como la matriz de próxima generación. El número de reproducción básico del modelo viene dado por el valor propio de${\displaystyle FV^{-1}}$con el mayor valor absoluto (el radio espectral de ${\displaystyle FV^{-1}}$). Las matrices de próxima generación pueden evaluarse computacionalmente a partir de datos de observación, lo que suele ser el enfoque más productivo cuando hay un gran número de compartimentos. ^{[ 5 ]}

• Modelado matemático de enfermedades infecciosas

• Ma, Zhien; Li, Jia (2009). Modelado dinámico y análisis de epidemias . World Scientific. ISBN 978-981-279-749-0OCLC 225820441​​ 
• Diekmann, O.; Heesterbeek, JAP (2000). Epidemiología matemática de las enfermedades infecciosas . John Wiley & Son.
• Heffernan, JM; Smith, RJ; Wahl, LM (2005). " Perspectivas sobre la proporción reproductiva básica" . JR Soc. Interface . 2 (4): 281– 93. doi : 10.1098/rsif.2005.0042 . PMC 1578275. PMID 16849186 .