Distribución tipo A de Neyman

La función generadora de probabilidad (fgp) G ₁ ( z ), que crea N variables aleatorias X _{j independientes, se utiliza en un proceso de ramificación. Cada X j} produce un número aleatorio de individuos, donde X ₁ , X ₂ ,... tienen la misma distribución que X , que es la de X con fgp G ₂ ( z ). El número total de individuos es entonces la variable aleatoria, ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Y=SN=X_{1}+X_{2}+...+X_{N}}$

La función generadora de probabilidad de la distribución de SN es  :

${\displaystyle E[z^{SN}]=E_{N}[E[z^{SN}|N]]=E_{N}[G_{2}(z)]=G_{1}(G_{2}(z))}$

Una de las notaciones, que es particularmente útil, nos permite usar una representación simbólica para referirnos a una distribución F1 que ha sido generalizada por una distribución F2 es,

${\displaystyle Y\sim F_{1}\bigwedge F_{N}}$

En este caso, se escribe como,

${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois(\lambda )} \bigwedge \operatorname {Pois(\phi )} }$

Finalmente, la función generadora de probabilidad es,

${\displaystyle G_{Y}(z)=\exp(\lambda (e^{\phi (z-1)}-1))}$

A partir de la función generadora de probabilidades podemos calcular la función de masa de probabilidad que se explica a continuación.

Sean X ₁ , X ₂ ,... X _j variables independientes de Poisson . La distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y = X ₁ + X ₂ +... X _j es la distribución de Neyman de tipo A con parámetros${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \phi }$.

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {e^{-\lambda }\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{x}}{j!}}~~}$${\displaystyle ~~x=1,2,...}$

Alternativamente,

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{x}S(x,j)\lambda ^{j}e^{-\phi ^{j}}}$

Para ver cómo se desarrolla la expresión anterior, debemos tener en cuenta que la función de masa de probabilidad se calcula a partir de la función generadora de probabilidad y utilizamos la propiedad de los números de Stirling. Veamos el desarrollo.

${\displaystyle G(z)=e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}e^{-j\phi }(e^{\phi z}-1)^{j}}{j|}}}$

${\displaystyle =e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\sum _{j=0}^{\infty }(\lambda e^{-\phi })^{j}\sum _{x=j}^{\infty }{\frac {S(x,j)\phi ^{x}z^{x}}{x!}}}$

${\displaystyle ={\frac {e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{x}S(x,j)\lambda ^{j}e^{-\phi ^{j}}}$

Otra forma de estimar las probabilidades es con sucesiones recurrentes, ^{[ 6 ]}

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {\lambda \phi e^{-\phi }}{x}}\sum _{r=0}^{x-1}{\frac {\phi ^{r}}{r!}}p_{x-r-1}~~}$,${\displaystyle ~~p_{0}=\exp(-\lambda +\lambda e^{-\phi })}$

Aunque su longitud varía directamente con n , esta relación de recurrencia solo se emplea para cálculos numéricos y es particularmente útil para aplicaciones informáticas.

dónde

• x = 0, 1, 2, ... , excepto para las probabilidades de sucesiones recurrentes, donde x = 1, 2, 3, ...
• ${\displaystyle j\leq x}$
• ${\displaystyle \lambda }$,${\displaystyle \phi >0}$.
• x ! y j ! son los factoriales de x y j , respectivamente.
• Una de las propiedades de los números de Stirling de segunda especie es la siguiente: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle (e^{\phi z}-1)^{j}=j!\sum _{x=j}^{\infty }{\frac {S(x,j){\phi z}^{x}}{x!}}}$

${\displaystyle Y\ \sim \operatorname {NA} (\lambda ,\phi )\,}$

La función generadora de momentos de una variable aleatoria X se define como el valor esperado de e ^t , en función del parámetro real t . Para una${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$, la función generadora de momentos existe y es igual a

${\displaystyle M(t)=G_{Y}(e^{t})=\exp(\lambda (e^{\phi (e^{t}-1)}-1))}$

La función generadora de cumulantes es el logaritmo de la función generadora de momentos y es igual a ^{[ 1 ].}

${\displaystyle K(t)=\log(M(t))=\lambda (e^{\phi (e^{t}-1)}-1)}$

En la siguiente tabla podemos ver los momentos del orden del 1 al 4.

La asimetría es el tercer momento centrado alrededor de la media dividido por la potencia 3/2 de la desviación estándar , y para la${\displaystyle \operatorname {NA} }$La distribución es,

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}^{3/2}}}={\frac {\lambda \phi (1+3\phi +\phi ^{2})}{(\lambda \phi (1+\phi ))^{3/2}}}}$

La curtosis es el cuarto momento centrado en torno a la media , dividido por el cuadrado de la varianza , y para el${\displaystyle \operatorname {NA} }$La distribución es,

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {\lambda \phi (1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3})+3\lambda ^{2}\phi ^{2}(1+\phi )^{2}}{\lambda ^{2}\phi ^{2}(1+\phi )^{2}}}={\frac {1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3}}{\phi \lambda (1+\phi )^{2}}}+3}$

La curtosis en exceso es simplemente una corrección para hacer que la curtosis de la distribución normal sea igual a cero, y es la siguiente:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3}}{\phi \lambda (1+\phi )^{2}}}}$

• Siempre${\displaystyle \beta _{2}>3}$, o${\displaystyle \gamma _{2}>0}$La distribución presenta un pico agudo y pronunciado alrededor de la media y colas más gruesas.

En una distribución discreta, la función característica de cualquier variable aleatoria de valor real se define como el valor esperado de${\displaystyle e^{itX}}$donde i es la unidad imaginaria y t ∈ R  

${\displaystyle \phi (t)=E[e^{itX}]=\sum _{j=0}^{\infty }e^{ijt}P[X=j]}$

Esta función está relacionada con la función generadora de momentos a través de${\displaystyle \phi _{x}(t)=M_{X}(it)}$Por lo tanto, para esta distribución la función característica es:

${\displaystyle \phi _{x}(t)=\exp(\lambda (e^{\phi (e^{it}-1)}-1))}$

• Tenga en cuenta que el símbolo${\displaystyle \phi _{x}}$Se utiliza para representar la función característica.

La función de distribución acumulativa es,

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\lambda ,\phi )&=P(Y\leq x)\\&=e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{x}{\frac {\phi ^{i}}{i!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{i}}{j!}}\\&=e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{x}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\phi ^{i}(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{i}}{i!j!}}\end{aligned}}}$

• El índice de dispersión es una medida normalizada de la dispersión de una distribución de probabilidad . Se define como la razón de la varianza.${\displaystyle \sigma ^{2}}$al medio${\displaystyle \mu }$, ^{[ 8 ]}

${\displaystyle d={\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}=1+\phi }$

• A partir de una muestra de tamaño N , donde cada variable aleatoria Y _i proviene de una${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$donde Y ₁ , Y ₂ , .., Y _n son independientes. Esto da como resultado el estimador MLE, ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{N}}={\bar {x}}={\bar {\lambda }}{\bar {\phi }}~~~}$dónde${\displaystyle \mu }$es la media poblacional de${\displaystyle {\bar {x}}}$

• Entre las dos expresiones anteriores podemos parametrizar usando${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle d}$,

${\displaystyle {\begin{cases}\mu =\lambda \phi \\d=1+\phi \end{cases}}\longrightarrow \quad \!{\begin{aligned}\lambda ={\frac {\mu }{d-1}}\\\phi =d-1\end{aligned}}}$

La media y la varianza de NA(${\displaystyle \lambda ,\phi }$) son${\displaystyle \mu =\lambda \phi }$y${\displaystyle \lambda \phi (1+\phi )}$, respectivamente. Entonces tenemos estas dos ecuaciones, ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}{\bar {x}}=\lambda \phi \\s^{2}=\lambda \phi (1+\phi )\end{cases}}}$

• ${\displaystyle s^{2}}$y${\displaystyle {\bar {x}}}$son la varianza y la media, respectivamente.

Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos los estimadores de momentos.${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$y${\displaystyle {\hat {\phi }}}$de${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \phi }$.

${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {{\bar {x}}^{2}}{s^{2}-{\bar {x}}}}}$

${\displaystyle {\bar {\phi }}={\frac {s^{2}-{\bar {x}}}{\bar {x}}}}$

Calcular el estimador de máxima verosimilitud de${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \phi }$implica multiplicar todas las probabilidades en la función de masa de probabilidad para obtener la expresión${\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda ,\phi ;x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

Cuando aplicamos el ajuste de parametrización definido en "Otras propiedades", obtenemos ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mu ,d;X)}$Podemos definir la estimación de máxima verosimilitud basada en un solo parámetro si estimamos el${\displaystyle \mu }$como el${\displaystyle {\bar {x}}}$(media muestral) dada una muestra X de tamaño N. Podemos verlo a continuación.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(d;X)=\prod _{i=1}^{n}P(x_{i};d)}$

• Para estimar las probabilidades, utilizaremos la función de probabilidad de sucesiones recurrentes , de modo que el cálculo sea menos complejo.

El estadístico de prueba de razón de verosimilitud para${\displaystyle \operatorname {NA} }$es,

${\displaystyle W=2({\mathcal {L}}(X;\mu ,d)-{\mathcal {L}}(X;\mu ,1))}$

Donde probabilidad${\displaystyle {\mathcal {L}}()}$es la función de verosimilitud logarítmica. W no tiene una función asintótica .${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$distribución como se esperaba bajo la hipótesis nula ya que d = 1 está en el borde del dominio de parámetros. En la distribución asintótica de W, se puede demostrar que la constante 0 y${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$tienen una mezcla 50:50. Para esta mezcla, el${\displaystyle \alpha }$Los puntos porcentuales de la cola superior son los mismos que los${\displaystyle 2\alpha }$puntos porcentuales de la cola superior para un${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

Cuando la reproducción de las especies del tipo A de Neyman da lugar a agrupaciones , se ha utilizado una distribución para caracterizar la dispersión de las plantas. Esto suele ocurrir cuando una especie se desarrolla a partir de la descendencia de las plantas progenitoras o de semillas que caen cerca de ellas. Sin embargo, Archibald (1948) ^{[ 11 ]} observó que hay datos insuficientes para inferir el tipo de reproducción a partir del tipo de distribución ajustada. Mientras que el tipo A de Neyman produjo resultados positivos para las distribuciones de plantas, Evans (1953) ^{[ 3 ]} mostró que la distribución binomial negativa produjo resultados positivos para las distribuciones de insectos. Las distribuciones de tipo A de Neyman también se han estudiado en el contexto de la ecología , y los resultados indican que, a menos que los grupos de plantas sean tan compactos que no se extiendan a través del borde del cuadrado utilizado para elegir las ubicaciones de muestreo, es poco probable que la distribución sea aplicable a las poblaciones de plantas. La compacidad de los grupos es una suposición oculta en la derivación original de la distribución de Neyman, según Skellam (1958). ^{[ 12 ]} Se demostró que los resultados se vieron significativamente afectados por la selección del tamaño del cuadrado.

En el contexto de los accidentes de conductores de autobús, Cresswell y Froggatt (1963) ^{[ 4 ]} derivaron el tipo A de Neyman basándose en las siguientes hipótesis:

1. Cada conductor es susceptible a "períodos", cuyo número sigue una distribución de Poisson para cualquier cantidad de tiempo dada, con el mismo parámetro.${\displaystyle \lambda }$Para todos los conductores.
2. El rendimiento de un conductor durante un período es deficiente, y es probable que experimente un número de colisiones de Poisson, con el mismo parámetro.${\displaystyle \phi }$Para todos los conductores.
3. Cada conductor se comporta de forma independiente.
4. Fuera de un hechizo no pueden ocurrir accidentes.

Estas suposiciones conducen a una distribución de tipo A de Neyman a través de la${\displaystyle \operatorname {Pois(\lambda )} }$y${\displaystyle \operatorname {Pois(\phi )} }$modelo. En contraste con su "distribución corta", Cresswell y Froggatt la denominaron "distribución larga" debido a su cola extensa. Según Irwin (1964), también se puede obtener una distribución de tipo A asumiendo que varios conductores tienen diferentes niveles de propensión, o K , con probabilidad:

${\displaystyle \operatorname {P(K=k\phi )} ={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$

• tomando valores${\displaystyle ~0,~\phi ,~2\phi ,~3\phi ,~...}$

y que un conductor con propensión k${\displaystyle \phi }$tiene X accidentes donde:

${\displaystyle ~\operatorname {P(X=x|k\phi )} ={\frac {e^{-k\phi }(k\phi )^{x}}{x!}}}$

Este es el${\displaystyle ~\operatorname {Pois(k\phi )} \wedge \operatorname {Pois(\lambda )} }$modelo con mezcla sobre los valores tomados por K.

También se sugirió la distribución en la aplicación para la agrupación de tiendas de campaña de minorías para la obtención de alimentos entre 1965 y 1969. En este sentido, se predijo que solo sería necesario aproximar las tasas de agrupación o el número promedio de entidades por grupo, en lugar de ajustar las distribuciones en bases de datos muy grandes.

• La referencia del historial de uso . ^{[ 1 ]}

• El siguiente código simula 5000 instancias de${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$,

rNeymanA <- función(n,lambda, phi){ r <- numérico() para (j en 1:n) { k = rpois(1,lambda) r[j] <- suma(rpois(k,phi)) } devolver(r) }

• La función de masa de probabilidades recurrentes se implementa en R para estimar probabilidades teóricas; podemos verla a continuación,

dNeyman.rec <- function(x, lambda, phi){ p <- numérico() p[1]<- exp(-lambda + lambda*exp(-phi)) c <- lambda*phi*exp(-phi) si(x == 0){ devolver(p[1]) } demás{ para (i en 1:x) { suma = 0 para (r en 0:(i-1)) { suma = suma + (phi^r)/(factorial(r))*p[ir] } p[i+1] = (c/(i))*suma # +1 por l'R } res <- p[i+1] retorno(res) } }

Comparamos los resultados entre las frecuencias relativas obtenidas por la simulación y las probabilidades calculadas por la pmf. Dados dos valores para los parámetros${\displaystyle \lambda =2}$y${\displaystyle \phi =1}$Se muestra en la siguiente tabla,