teoría de Nielsen

La teoría de Nielsen es una rama de la investigación matemática que tiene su origen en la teoría topológica de puntos fijos . Sus ideas centrales fueron desarrolladas por el matemático danés Jakob Nielsen y llevan su nombre.

La teoría desarrollada en el estudio del llamado número mínimo de una aplicación f de un espacio compacto a sí mismo, denotada MF [ f ]. Esto se define como:

${\displaystyle {\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {Fix} (g)\,|\,g\sim f\},}$

donde ~ indica la homotopía de las aplicaciones, y #Fix( g ) indica el número de puntos fijos de g . El número mínimo era muy difícil de calcular en la época de Nielsen, y lo sigue siendo hoy en día. El enfoque de Nielsen consiste en agrupar el conjunto de puntos fijos en clases, que se consideran "esenciales" o "no esenciales" según si pueden o no ser "eliminadas" por una homotopía.

La formulación original de Nielsen es equivalente a la siguiente: Definimos una relación de equivalencia en el conjunto de puntos fijos de una automapa f en un espacio X. Decimos que x es equivalente a y si y solo si existe un camino c de x a y tal que f ( c ) es homotópico a c . Las clases de equivalencia con respecto a esta relación se denominan clases de Nielsen de f , y el número de Nielsen N ( f ) se define como el número de clases de Nielsen cuya suma de índices de puntos fijos es distinta de cero .

Nielsen demostró que

${\displaystyle N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],}$

lo que convierte su invariante en una buena herramienta para estimar la función de masa [ f ], mucho más difícil. Esto conduce inmediatamente a lo que ahora se conoce como el teorema del punto fijo de Nielsen: Cualquier aplicación f tiene al menos N(f) puntos fijos.

Debido a su definición en términos del índice de punto fijo , el número de Nielsen está estrechamente relacionado con el número de Lefschetz . De hecho, poco después del trabajo inicial de Nielsen , Wecken y Reidemeister combinaron ambos invariantes en un único "número de Lefschetz generalizado" (más recientemente llamado traza de Reidemeister ) .

• Fenchel, Werner ; Nielsen, Jacob (2003). Asmus L. Schmidt (ed.). Grupos discontinuos de isometrías en el plano hiperbólico . De Gruyter Estudios de matemáticas. vol.  29. Berlín: Walter de Gruyter & Co.

• Artículo de revisión sobre la teoría de Nielsen. Archivado el 2 de octubre de 2006 en Wayback Machine por Robert F. Brown en Topology Atlas.