lógica difusa T-norma

Las lógicas difusas de norma T son una familia de lógicas no clásicas , delimitadas informalmente por tener una semántica que toma el intervalo unitario real  [0, 1] para el sistema de valores de verdad y funciones llamadas t-normas para las interpretaciones permisibles de la conjunción . Se utilizan principalmente en la lógica difusa aplicada y la teoría de conjuntos difusos como base teórica para el razonamiento aproximado.

Las lógicas difusas de t-normas pertenecen a clases más amplias de lógicas difusas y lógicas multivaluadas . Para generar una implicación bien comportada , las t-normas suelen requerirse como continuas por la izquierda ; las lógicas de t-normas continuas por la izquierda pertenecen además a la clase de lógicas subestructurales , entre las que se caracterizan por la validez de la ley de prelinealidad , ( A → B ) ∨ ( B → A ). Se estudian tanto las lógicas difusas de t-normas proposicionales como las de primer orden (o de orden superior ), así como sus expansiones mediante operadores modales y otros. Las lógicas que restringen la semántica de t-normas a un subconjunto del intervalo unitario real (por ejemplo, las lógicas de Łukasiewicz de valor finito ) también suelen incluirse en esta clase.    

Ejemplos importantes de lógicas difusas de t-normas son la lógica de t-normas monoidal (MTL) de todas las t-normas continuas por la izquierda, la lógica básica (BL) de todas las t-normas continuas, la lógica difusa de producto de la t-norma de producto o la lógica mínima nilpotente de la t-norma mínima nilpotente. Algunas lógicas con motivación independiente también pertenecen a las lógicas difusas de t-normas, por ejemplo, la lógica de Łukasiewicz (que es la lógica de la t-norma de Łukasiewicz) o la lógica de Gödel-Dummett (que es la lógica de la t-norma mínima).

Como miembros de la familia de lógicas difusas , las lógicas difusas t-norma tienen como objetivo principal generalizar la lógica clásica bivaluada al admitir valores de verdad intermedios entre 1 (verdad) y 0 (falsedad) que representan grados de verdad de las proposiciones. Se supone que los grados son números reales del intervalo unitario [0,  1]. En las lógicas difusas t-norma proposicionales, se estipula que los conectores proposicionales son veritativo-funcionales ; es decir, el valor de verdad de una proposición compleja formada por un conector proposicional a partir de algunas proposiciones constituyentes es una función (llamada función de verdad del conector) de los valores de verdad de las proposiciones constituyentes. Las funciones de verdad operan sobre el conjunto de grados de verdad (en la semántica estándar, sobre el  intervalo [0, 1]); por lo tanto, la función de verdad de un conector proposicional n -ario c es una función F _c : [0,  1] ⁿ → [0,  1]. Las funciones de verdad generalizan las tablas de verdad de los conectores proposicionales conocidos de la lógica clásica para operar sobre el sistema más amplio de valores de verdad.

Las lógicas difusas de norma T imponen ciertas restricciones naturales a la función de verdad de la conjunción . La función de verdad${\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$Se supone que la conjunción satisface las siguientes condiciones:

• Conmutatividad , es decir,${\displaystyle x*y=y*x}$para todo x e y en [0,  1]. Esto expresa la suposición de que el orden de las proposiciones difusas es irrelevante en la conjunción, incluso si se admiten grados de verdad intermedios.
• Asociatividad , es decir,${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$para todo x , y y z en [0,  1]. Esto expresa la suposición de que el orden en que se realiza la conjunción es irrelevante, incluso si se admiten grados de verdad intermedios.
• Monotonía , es decir, si${\displaystyle x\leq y}$entonces${\displaystyle x*z\leq y*z}$para todo x , y y z en [0,  1]. Esto expresa la suposición de que aumentar el grado de verdad de un conjuntivo no debería disminuir el grado de verdad de la conjunción.
• Neutralidad de 1 , es decir,${\displaystyle 1*x=x}$para todo x en [0,  1]. Esta suposición corresponde a considerar el grado de verdad 1 como verdad absoluta, conjunción con la cual no disminuye el valor de verdad del otro conjuntivo. Junto con las condiciones anteriores, esta condición asegura que también${\displaystyle 0*x=0}$para todo x en [0,  1], lo que corresponde a considerar el grado de verdad 0 como falsedad total, conjunción con la cual es siempre completamente falso.
• Continuidad de la función${\displaystyle *}$(las condiciones anteriores reducen este requisito a la continuidad en cualquiera de los argumentos). De manera informal, esto expresa la suposición de que los cambios microscópicos de los grados de verdad de los conjuntivos no deben resultar en un cambio macroscópico del grado de verdad de su conjunción. Esta condición, entre otras cosas, garantiza un buen comportamiento de la implicación (residual) derivada de la conjunción; sin embargo, para garantizar el buen comportamiento, se requiere la continuidad izquierda (en cualquiera de los argumentos) de la función.${\displaystyle *}$es suficiente. ^{[ 1 ]} En general, lógicas difusas t-norma, por lo tanto, solo continuidad izquierda de${\displaystyle *}$es necesario, lo que expresa la suposición de que una disminución microscópica del grado de verdad de un conjuntivo no debería disminuir macroscópicamente el grado de verdad de la conjunción.

Estas suposiciones convierten la función de verdad de la conjunción en una t-norma continua por la izquierda , lo que explica el nombre de la familia de lógicas difusas ( basadas en t-normas ). Algunas lógicas de esta familia pueden hacer suposiciones adicionales sobre el comportamiento de la conjunción (por ejemplo, la lógica de Gödel-Dummett requiere su idempotencia ) u otros conectores (por ejemplo, la lógica IMTL (lógica de t-norma monoidal involutiva) requiere la involutividad de la negación).

Todas las t-normas continuas por la izquierda${\displaystyle *}$tienen un residuo único , es decir, una función binaria${\displaystyle \Rightarrow }$de tal manera que para todo x , y y z en [0,  1],

${\displaystyle x*y\leq z}$si y solo si${\displaystyle x\leq y\Rightarrow z.}$

El residuo de una t-norma continua por la izquierda se puede definir explícitamente como

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.}$

Esto garantiza que el residuo sea la función puntualmente más grande tal que para todo x e y ,

${\displaystyle x*(x\Rightarrow y)\leq y.}$

Esto último puede interpretarse como una versión difusa de la regla de inferencia modus ponens . El residuo de una t-norma con continuidad izquierda puede caracterizarse, por lo tanto, como la función más débil que valida el modus ponens difuso, lo que la convierte en una función de verdad adecuada para la implicación en lógica difusa. La continuidad izquierda de la t-norma es la condición necesaria y suficiente para que se cumpla esta relación entre una conjunción de t-norma y su implicación residual.

Las funciones de verdad de los conectores proposicionales adicionales pueden definirse mediante la t-norma y su residuo, por ejemplo la negación residual.${\displaystyle \neg x=(x\Rightarrow 0)}$o equivalencia birresidual${\displaystyle x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).}$Las funciones de verdad de los conectores proposicionales también pueden introducirse mediante definiciones adicionales: las más habituales son el mínimo (que desempeña el papel de otro conector conjuntivo), el máximo (que desempeña el papel de un conector disyuntivo) o el operador Delta de Baaz , definido en [0,  1] como${\displaystyle \Delta x=1}$si${\displaystyle x=1}$y${\displaystyle \Delta x=0}$De lo contrario, una t-norma continua por la izquierda, su residuo y las funciones de verdad de los conectores proposicionales adicionales determinan los valores de verdad de las fórmulas proposicionales complejas en [0,  1].

Las fórmulas que siempre dan como resultado 1 se denominan tautologías con respecto a la t-norma continua por la izquierda dada.${\displaystyle *,}$o${\displaystyle *{\mbox{-}}}$tautologías. El conjunto de todas${\displaystyle *{\mbox{-}}}$La tautología se denomina lógica de la t-norma.${\displaystyle *,}$ya que estas fórmulas representan las leyes de la lógica difusa (determinadas por la t-norma) que se cumplen (hasta grado 1) independientemente de los grados de verdad de las fórmulas atómicas . Algunas fórmulas son tautologías con respecto a una clase más amplia de t-normas continuas por la izquierda; el conjunto de dichas fórmulas se denomina lógica de la clase. Las lógicas de t-normas importantes son las lógicas de t-normas particulares o clases de t-normas, por ejemplo:

• La lógica de Łukasiewicz es la lógica de la norma t de Łukasiewicz${\displaystyle x*y=\max(x+y-1,0)}$
• La lógica de Gödel-Dummett es la lógica de la t-norma mínima.${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$
• La lógica difusa de productos es la lógica de la t-norma de productos.${\displaystyle x*y=x\cdot y}$
• La lógica de t-normas monoidales (MTL) es la lógica de (la clase de) todas las t-normas continuas por la izquierda.
• La lógica difusa básica (BL) es la lógica de (la clase de) todas las t-normas continuas .

Resulta que muchas lógicas de t-normas particulares y clases de t-normas son axiomatizables. El teorema de completitud del sistema axiomático con respecto a la semántica de t-normas correspondiente en [0,  1] se denomina entonces completitud estándar de la lógica. Además de la semántica estándar de valores reales en [0, 1], las lógicas son sólidas y completas con respecto a la semántica algebraica general, formada por clases adecuadas de retículos residuados  integrales acotados conmutativos prelineales .

Algunas lógicas difusas t-norm particulares se introdujeron e investigaron mucho antes de que se reconociera esta familia (incluso antes de que surgieran las nociones de lógica difusa o t-norm ):

• La lógica de Łukasiewicz (la lógica de la t-norma de Łukasiewicz) fue definida originalmente por Jan Łukasiewicz (1920) como una lógica trivalente ; ^{[ 2 ]} posteriormente se generalizó a variantes n- valentes (para todo n finito ) e infinitamente valentes, tanto proposicionales como de primer orden. ^{[ 3 ]}
• La lógica de Gödel-Dummett (la lógica de la t-norma mínima) estaba implícita en la demostración de Gödel de 1932 sobre la valuación infinita de la lógica intuicionista . ^{[ 4 ]} Posteriormente (1959), Dummett la estudió explícitamente y demostró un teorema de completitud para dicha lógica. ^{[ 5 ]}

El estudio sistemático de las lógicas difusas de t-normas particulares y sus clases comenzó con la monografía de Hájek (1998), Metamatemáticas de la lógica difusa , que presentó la noción de la lógica de una t-norma continua, las lógicas de las tres t-normas continuas básicas (Łukasiewicz, Gödel y producto), y la lógica difusa básica BL de todas las t-normas continuas (todas ellas proposicionales y de primer orden). El libro también inició la investigación de las lógicas difusas como lógicas no clásicas con cálculos de estilo Hilbert, semántica algebraica y propiedades metamatemáticas conocidas de otras lógicas (teoremas de completitud, teoremas de deducción , complejidad , etc.).

Desde entonces, se ha introducido una plétora de lógicas difusas de t-norma y se han investigado sus propiedades metamatemáticas. Algunas de las lógicas difusas de t-norma más importantes fueron introducidas en 2001 por Esteva y Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), ^{[ 1 ]} Esteva, Godo y Montagna (ŁΠ proposicional), ^{[ 6 ]} y Cintula (ŁΠ de primer orden). ^{[ 7 ]}

El vocabulario lógico de las lógicas difusas t-norma proposicionales comprende estándarmente los siguientes conectores:

• Implicación${\displaystyle \rightarrow }$( binario ). En el contexto de lógicas difusas distintas a las basadas en t-normas, la implicación basada en t-normas a veces se denomina implicación residual o R-implicación , ya que su semántica estándar es el residuo de la t-norma que realiza la conjunción fuerte.
• Fuerte conjunción${\displaystyle \And }$(binario). En el contexto de las lógicas subestructurales, el signo${\displaystyle \otimes }$y los nombres grupo , intensional , multiplicativo o conjunción paralela se utilizan a menudo para conjunciones fuertes.
• conjunción débil${\displaystyle \wedge }$(binaria), también llamada conjunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de encuentro en la semántica algebraica). En el contexto de las lógicas subestructurales, a veces se utilizan los nombres de conjunción aditiva , extensional o comparativa para la conjunción reticular. En la lógica BL y sus extensiones (aunque no en las lógicas t-norma en general), la conjunción débil se define en términos de implicación y conjunción fuerte, por$${\displaystyle A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\rightarrow B).}$$La presencia de dos conectores de conjunción es una característica común de las lógicas subestructurales sin contracción .
• Abajo${\displaystyle \bot }$( nullario );${\displaystyle 0}$o${\displaystyle {\overline {0}}}$son signos alternativos comunes y cero un nombre alternativo común para la constante proposicional (ya que las constantes bottom y zero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas t-norm). La proposición${\displaystyle \bot }$representa la falsedad o el absurdo y corresponde al valor de verdad clásico falso .
• Negación${\displaystyle \neg }$( unario ), a veces llamado negación residual si se consideran otros conectores de negación, ya que se define a partir de la implicación residual por la reducción al absurdo: $${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$$
• Equivalencia${\displaystyle \leftrightarrow }$(binario), definido como$${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$$En las lógicas t-norma, la definición es equivalente a${\displaystyle (A\rightarrow B){\mathbin {\And }}(B\rightarrow A).}$
• disyunción (débil)${\displaystyle \vee }$(binario), también llamado disyunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de unión en la semántica algebraica). En lógicas t-normas se puede definir en términos de otros conectivos como$${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$$
• Arriba${\displaystyle \top }$(nular), también llamado uno y denotado por${\displaystyle 1}$o${\displaystyle {\overline {1}}}$(ya que las constantes top y zero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas t-norm). La proposición${\displaystyle \top }$corresponde al valor de verdad clásico verdadero y en lógicas t-norma se puede definir como$${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot .}$$

Algunas lógicas t-norma proposicionales añaden conectores proposicionales adicionales al lenguaje anterior, con mayor frecuencia los siguientes:

• El conector del Delta${\displaystyle \triangle }$es un conector unario que afirma la verdad clásica de una proposición, como las fórmulas de la forma${\displaystyle \triangle A}$Se comporta como en la lógica clásica. También llamada delta de Baaz , ya que fue utilizada por primera vez por Matthias Baaz para la lógica de Gödel-Dummett . ^{[ 8 ]} La expansión de una lógica t-norma${\displaystyle L}$El conector Delta se suele denotar por${\displaystyle L_{\triangle }.}$
• Las constantes de verdad son conectores nulos que representan valores de verdad particulares entre 0 y 1 en la semántica estándar de valores reales. Para el número real${\displaystyle r}$, la constante de verdad correspondiente se suele denotar por${\displaystyle {\overline {r}}.}$Por lo general, se suman las constantes de verdad para todos los números racionales. Se supone que el sistema de todas las constantes de verdad en el lenguaje satisface los axiomas de contabilidad : ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\overline {r{\mathbin {\And }}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\And }}{\overline {s}}),}$$$${\displaystyle {\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow }}{\overline {s}}),}$$etc. para todos los conectores proposicionales y todas las constantes de verdad definibles en el lenguaje.
• Negación involutiva${\displaystyle \sim }$(unario) se puede agregar como una negación adicional a las lógicas de t-norma cuya negación residual no es en sí misma involutiva , es decir, si no obedece la ley de la doble negación.${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$Una lógica t-norma${\displaystyle L}$La expansión con negación involutiva se suele denotar por${\displaystyle L_{\sim }}$y llamado${\displaystyle L}$con involución .
• Disyunción fuerte${\displaystyle \oplus }$(binario). En el contexto de las lógicas subestructurales también se le llama disyunción de grupo , intensional , multiplicativa o paralela . Aunque es estándar en las lógicas subestructurales sin contracción, en las lógicas difusas t-norma se suele usar solo en presencia de negación involutiva, lo que la hace definible (y por lo tanto axiomatizable) por la ley de De Morgan de la conjunción fuerte:$${\displaystyle A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A{\mathbin {\And }}\mathrm {\sim } B).}$$
• Conjunciones t-normas adicionales e implicaciones residuales . Algunas lógicas t-normas expresivas fuertes, como la lógica ŁΠ , poseen más de una conjunción fuerte o implicación residual en su lenguaje. En la semántica estándar de valores reales, todas estas conjunciones fuertes se realizan mediante diferentes t-normas y las implicaciones residuales mediante sus residuos.

Las fórmulas bien formadas de las lógicas t-normas proposicionales se definen a partir de variables proposicionales (generalmente numerables ) mediante los conectores lógicos anteriores, como es habitual en las lógicas proposicionales . Para ahorrar paréntesis, es común utilizar el siguiente orden de precedencia:

• Conectores unarios (los que se unen más estrechamente)
• Conectores binarios distintos de la implicación y la equivalencia
• Implicación y equivalencia (vinculación más laxa)

Las variantes de primer orden de las lógicas t-norma emplean el lenguaje lógico habitual de la lógica de primer orden con los conectores proposicionales anteriores y los siguientes cuantificadores :

• cuantificador general${\displaystyle \forall }$
• cuantificador existencial${\displaystyle \exists }$

La variante de primer orden de una lógica t-norma proposicional${\displaystyle L}$se suele denotar por${\displaystyle L\forall .}$

La semántica algebraica se utiliza predominantemente para lógicas difusas t-norm proposicionales, con tres clases principales de álgebras con respecto a las cuales una lógica difusa t-norm${\displaystyle L}$está completo :

• Semántica general , formada por todos${\displaystyle L}$-álgebras — es decir, todas las álgebras para las que la lógica es correcta .
• Semántica lineal , formada por todos los elementos lineales.${\displaystyle L}$-álgebras — es decir, todas${\displaystyle L}$-álgebras cuyo orden reticular es lineal .
• Semántica estándar , formada por todos los estándares${\displaystyle L}$-álgebras — es decir, todas${\displaystyle L}$-álgebras cuyo reducto reticular es el intervalo unitario real [0,  1] con el orden usual. En estándar${\displaystyle L}$-álgebras, la interpretación de la conjunción fuerte es una t-norma continua por la izquierda y la interpretación de la mayoría de los conectivos proposicionales está determinada por la t-norma (de ahí los nombres lógicas basadas en t-normas y t-normas).${\displaystyle L}$-álgebras , que también se utiliza para${\displaystyle L}$-álgebras en el retículo [0,  1]). Sin embargo, en lógicas t-norma con conectivos adicionales, la interpretación de valor real de los conectivos adicionales puede estar restringida por condiciones adicionales para que el álgebra t-norma se denomine estándar: por ejemplo, en estándar${\displaystyle L_{\sim }}$-álgebras de la lógica${\displaystyle L}$con involución, la interpretación de la negación involutiva adicional${\displaystyle \sim }$Se requiere que sea la involución estándar${\displaystyle f_{\sim }(x)=1-x,}$en lugar de otras involuciones que también pueden interpretar${\displaystyle \sim }$sobre t-norm${\displaystyle L_{\sim }}$-álgebras. ^{[ 10 ]} En general, por lo tanto, la definición de álgebras t-norma estándar debe darse explícitamente para lógicas t-norma con conectivos adicionales.

• Esteva F. y Godo L., 2001, "Lógica basada en t-normas monoidales: Hacia una lógica de t-normas continuas por la izquierda". Fuzzy Sets and Systems 124 : 271–288.
• Flaminio T. y Marchioni E., 2006, Lógicas basadas en la norma T con una negación involutiva independiente. Fuzzy Sets and Systems 157 : 3125–3144.
• Gottwald S. y Hájek P., 2005, Lógica difusa matemática basada en normas triangulares. En EP Klement y R. Mesiar (eds.), Aspectos lógicos, algebraicos, analíticos y probabilísticos de las normas triangulares , pp.  275–300. Elsevier, Ámsterdam, 2005.
• Hájek P., 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6.