espacio nilpotente

En topología , una rama de las matemáticas , un espacio nilpotente , definido por primera vez por Emmanuel Dror Farjoun (1969), ^{[ 1 ]} es un espacio topológico con base${\displaystyle X}$de tal manera que

• el grupo fundamental${\displaystyle \pi =\pi _ {1}(X)}$es un grupo nilpotente ;
• ${\displaystyle \pi }$actúa de forma nilpotente ^{[ 2 ]} sobre los grupos de homotopía superiores${\displaystyle \pi _{i}(X),i\geq 2}$, es decir, hay una serie central${\displaystyle \pi _{i}(X)=G_{1}^{i}\triangleright G_{2}^{i}\triangleright \dots \triangleright G_{n_{i}}^{i}=1}$de tal manera que la acción inducida de${\displaystyle \pi }$en el grupo cociente${\displaystyle G_{k}^{i}/G_{k+1}^{i}}$es trivial para todos${\displaystyle k}$.

Los espacios simplemente conexos y los espacios simples son ejemplos (triviales) de espacios nilpotentes; otros ejemplos son los espacios de lazos conexos . La fibra homotópica de cualquier aplicación entre espacios nilpotentes es una unión disjunta de espacios nilpotentes. Además, el componente nulo del espacio de aplicaciones apuntado${\displaystyle \operatorname {Map} _{*}(K,X)}$, dónde${\displaystyle K}$es un complejo CW puntiagudo y de dimensión finita y${\displaystyle X}$Cualquier espacio con punto central es un espacio nilpotente. Los espacios proyectivos reales de dimensión impar son espacios nilpotentes, mientras que el plano proyectivo no lo es.

Un teorema fundamental sobre espacios nilpotentes ^{[ 2 ]} establece que cualquier aplicación que induzca un isomorfismo de homología integral entre dos espacios nilpotentes es una equivalencia homotópica débil. Para espacios simplemente conexos, este teorema recupera un corolario bien conocido de los teoremas de Whitehead y Hurewicz .

Los espacios nilpotentes son de gran interés en la teoría de la homotopía racional , porque la mayoría de las construcciones aplicables a espacios simplemente conexos pueden extenderse a espacios nilpotentes. La completación nilpotente de Bousfield-Kan de un espacio se asocia con cualquier espacio conexo apuntado.${\displaystyle X}$un espacio universal${\displaystyle {\widehat {X}}}$ a través del cual cualquier mapa de${\displaystyle X}$a un espacio nilpotente${\displaystyle N}$factores únicos hasta un espacio contraíble de opciones. Sin embargo, a menudo,${\displaystyle {\widehat {X}}}$ en sí mismo no es nilpotente, sino solo un límite inverso de una torre de espacios nilpotentes. Esta torre, como pro-espacio, siempre modela el tipo de homología del espacio apuntado dado.${\displaystyle X}$Por lo tanto, la completación de Bousfield-Kan de un espacio es, en sentido preciso, la completación nilpotente de ese espacio, con respecto a un anillo dado. La torre de completación de Bousfield-Kan de cualquier espacio conexo apuntado${\displaystyle {X}}$, es una torre de espacios nilpotentes que tiene la misma prohomología (R-) que el espacio dado${\displaystyle {X}}$.

Los espacios nilpotentes admiten una buena teoría de localización aritmética en el sentido de Bousfield y Kan, citados anteriormente, y la sucesión espectral inestable de Adams converge fuertemente para cualquier espacio de este tipo. Los espacios nilpotentes admiten la descomposición mediante el llamado cuadrado aritmético, que presenta cualquier espacio nilpotente como una imagen homotópica de localizaciones racionales y p-ádicas.

Los espacios nilpotentes aparecen naturalmente como espacios de automorfismo de espacios de dimensión finita.${\displaystyle {aut_{I}{X}}}$ sea ​​el espacio de autoequivalencia homotópica apuntada de dimensión finita ${\displaystyle {K}}$, que induce identidad en los grupos de homotopía hasta la dimensión de${\displaystyle {K}}$. Luego el espacio de clasificación${\displaystyle Baut_{I}{K}}$es un espacio nilpotente.

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio nilpotente y dejar${\displaystyle h}$sea ​​una teoría de homología generalizada reducida, como la teoría K. Si${\displaystyle h(X)=0}$, entonces${\displaystyle h}$desaparece en cualquier sección Postnikov de${\displaystyle X}$. Esto se deduce de un teorema que establece que cualquier sección de este tipo es${\displaystyle X}$-celular. Se sabe que cualquier functor de celularización ${\displaystyle celda_{A}X}$de un espacio nilpotente truncado es un espacio nilpotente truncado. Pero ED Farjoun conjetura que lo mismo es cierto para cualquier localización.${\displaystyle L_{f}X}$de un espacio nilpotente truncado${\displaystyle X=X_{<n}}$.