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Articulo de referencia

Teorema de no eliminación

En física , el teorema de no eliminación de la teoría de la información cuántica es un teorema de imposibilidad que establece que, en general, dadas dos copias de un estado cuán...

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En física , el teorema de no eliminación de la teoría de la información cuántica es un teorema de imposibilidad que establece que, en general, dadas dos copias de un estado cuántico arbitrario, es imposible eliminar una de ellas. Es el dual , con inversión temporal, del teorema de no clonación , [ 1 ] [ 2 ] que establece que los estados arbitrarios no pueden copiarse. Fue demostrado por Arun K. Pati y Samuel L. Braunstein . [ 3 ] Intuitivamente, esto se debe a que la información se conserva bajo la evolución unitaria. [ 4 ]

Este teorema resulta extraordinario porque, en muchos sentidos, los estados cuánticos son frágiles; el teorema afirma que, en un caso particular, también son robustos.

El teorema de no eliminación, junto con el teorema de no clonación, sustentan la interpretación de la mecánica cuántica en términos de teoría de categorías y, en particular, como una categoría monoidal simétrica de daga . [ 5 ] [ 6 ] Esta formulación, conocida como mecánica cuántica categórica , a su vez permite establecer una conexión entre la mecánica cuántica y la lógica lineal como la lógica de la teoría de la información cuántica (en analogía exacta con la lógica clásica que se fundamenta en categorías cartesianas cerradas ).

Descripción general

Supongamos que existen dos copias de un estado cuántico desconocido. Una pregunta pertinente en este contexto es si, dadas dos copias idénticas, es posible eliminar una de ellas mediante operaciones cuánticas. Resulta que no es posible. El teorema de no eliminación es una consecuencia de la linealidad de la mecánica cuántica . Al igual que el teorema de no clonación, esto tiene importantes implicaciones en la computación cuántica , la teoría de la información cuántica y la mecánica cuántica en general.

El proceso de eliminación cuántica toma dos copias de un estado cuántico arbitrario y desconocido en el puerto de entrada y genera un estado vacío junto con el original. Matemáticamente, esto se puede describir mediante:

U|ψ⟩A|ψ⟩B|A⟩do=|ψ⟩A|0⟩B|A′⟩do{\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}}

dóndeU{\displaystyle U}es un operador unitario,|ψ⟩A{\displaystyle |\psi \rangle _{A}}es el estado cuántico desconocido,|0⟩B{\displaystyle |0\rangle _{B}}es el estado vacío,|A⟩do{\displaystyle |A\rangle _{C}}es el estado inicial de la máquina de eliminación y|A′⟩do{\displaystyle |A'\rangle _{C}}es el estado final de la máquina.

Cabe señalar que los bits clásicos pueden copiarse y eliminarse, al igual que los cúbits en estados ortogonales. Por ejemplo, si tenemos dos cúbits idénticos|00⟩{\displaystyle |00\rangle }y|11⟩{\displaystyle |11\rangle }, entonces podemos transformarnos en|00⟩{\displaystyle |00\rangle }y|10⟩{\displaystyle |10\rangle }En este caso hemos eliminado la segunda copia. Sin embargo, de la linealidad de la teoría cuántica se deduce que no hayU{\displaystyle U}que puede realizar la operación de eliminación para cualquier estado arbitrario|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }.

Declaración formal

Dados tres espacios de Hilbert para sistemasA,B,do{\displaystyle A,B,C}, de tal manera que los espacios de Hilbert para sistemasA,B{\displaystyle A,B}son idénticos.

SiU{\displaystyle U}es una transformación unitaria, y|A⟩do{\displaystyle |A\rangle _{C}}es un estado auxiliar, tal queU|ψ⟩A|ψ⟩B|A⟩do=|ψ⟩A|0⟩B|Aψ⟩do,∀|ψ⟩{\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C},\quad \forall |\psi \rangle }donde el estado final de la ancilla|Aψ⟩do{\displaystyle |A_{\psi }\rangle _{C}}puede depender de|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }, entoncesU{\displaystyle U}es una operación de intercambio, en el sentido de que el mapa|ψ⟩A↦|Aψ⟩do{\displaystyle |\psi \rangle _{A}\mapsto |A_{\psi }\rangle _{C}}es una incrustación isométrica.

Prueba

El teorema se cumple para estados cuánticos en un espacio de Hilbert de cualquier dimensión. Para simplificar, consideremos la transformación de eliminación para dos cúbits idénticos. Si dos cúbits están en estados ortogonales, entonces la eliminación requiere que

|0⟩A|0⟩B|A⟩do→|0⟩A|0⟩B|A0⟩do{\displaystyle |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}},
|1⟩A|1⟩B|A⟩do→|1⟩A|0⟩B|A1⟩do{\displaystyle |1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}}.

Dejar|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩{\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }sea ​​el estado de un cúbit desconocido. Si tenemos dos copias de un cúbit desconocido, entonces por la linealidad de la transformación de eliminación tenemos

|ψ⟩A|ψ⟩B|A⟩do=[α2|0⟩A|0⟩B+β2|1⟩A|1⟩B+αβ(|0⟩A|1⟩B+|1⟩A|0⟩B)]|A⟩do{\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=[\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}+\alpha \beta (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]|A\rangle _{C}}
→α2|0⟩A|0⟩B|A0⟩do+β2|1⟩A|0⟩B|A1⟩do+2αβ|Φ⟩ABdo.{\displaystyle \qquad \rightarrow \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC}.}

En la expresión anterior se ha utilizado la siguiente transformación:

1/2(|0⟩A|1⟩B+|1⟩A|0⟩B)|A⟩do→|Φ⟩ABdo.{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A\rangle _{C}\rightarrow |\Phi \rangle _{ABC}.}

Sin embargo, si podemos eliminar una copia, entonces, en el puerto de salida de la máquina que la elimina, el estado combinado debería ser

|ψ⟩A|0⟩B|A′⟩do=(α|0⟩A|0⟩B+β|1⟩A|0⟩B)|A′⟩do{\displaystyle |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}}.

En general, estos estados no son idénticos y, por lo tanto, podemos decir que la máquina no logra eliminar una copia. Si requerimos que los estados de salida finales sean los mismos, entonces veremos que solo hay una opción:

|Φ⟩=1/2(|0⟩A|0⟩B|A1⟩do+|1⟩A|0⟩B|A0⟩do),{\displaystyle |\Phi \rangle =1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}),}

y

|A′⟩do=α|A0⟩do+β|A1⟩do.{\displaystyle |A'\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}.}

Desde el estado final|A′⟩{\displaystyle |A'\rangle }de la ancilla se normaliza para todos los valores deα,β{\displaystyle \alpha ,\beta }Debe ser cierto que|A0⟩do{\displaystyle |A_{0}\rangle _{C}}y|A1⟩do{\displaystyle |A_{1}\rangle _{C}}son ortogonales. Esto significa que la información cuántica reside simplemente en el estado final del ancilo. Siempre se puede obtener el estado desconocido a partir del estado final del ancilo mediante una operación local en el espacio de Hilbert del ancilo. Por lo tanto, la linealidad de la teoría cuántica no permite eliminar por completo un estado cuántico desconocido.

Consecuencia

  • Si fuera posible eliminar un estado cuántico desconocido, entonces, utilizando dos pares de estados EPR , podríamos enviar señales más rápido que la luz. Por lo tanto, la violación del teorema de no eliminación es incompatible con la condición de no señalización .
  • Los teoremas de no clonación y de no eliminación apuntan a la conservación de la información cuántica.
  • Las versiones más estrictas del teorema de no clonación y del teorema de no eliminación confieren permanencia a la información cuántica. Para crear una copia, es necesario importar la información de alguna parte del universo, y para eliminar un estado, es necesario exportarlo a otra parte del universo donde seguirá existiendo.

Véase también

Referencias

  1. ↑ WK Wootters y WH Zurek, "No se puede clonar un solo cuanto", Nature 299 (1982), pág. 802.
  2. ↑ D. Dieks, "Comunicación mediante dispositivos EPR", Physics Letters A , vol. 92 (6) (1982), pág. 271.
  3. ↑ AK Pati y SL Braunstein, "Imposibilidad de eliminar un estado cuántico desconocido", Nature 404 (2000), pág. 164.
  4. ↑ Horodecki, Michał; Horodecki, Ryszard; Sen(De), Aditi; Sen, Ujjwal (2005-12-01). "Origen común de los principios de no clonación y no eliminación Conservación de la información" . Foundations of Physics . 35 (12): 2041– 2049. arXiv : quant-ph/0407038 . Bibcode : 2005FoPh...35.2041H . doi : 10.1007/s10701-005-8661-4 . ISSN 1572-9516 . 
  5. ↑ John Baez, Física, topología, lógica y computación: una piedra Rosetta (2009).
  6. ↑ Bob Coecke, Quantum Picturalism , (2009), ArXiv 0908.1787 .
  7. ↑ "Teorema cuántico de no ocultamiento confirmado experimentalmente por primera vez" . Archivado del original el 22/11/2025 . Consultado el 02/02/2026 .