Plano no desarguesiano

En matemáticas, un plano no desarguesiano es un plano proyectivo (o a veces un plano afín ) que no satisface el teorema de Desargues (llamado así en honor a Girard Desargues ), o dicho de otro modo, un plano que no es un plano desarguesiano . El teorema de Desargues es cierto en todos los espacios proyectivos de dimensión distinta de 2; ^{[ 1 ]} en otras palabras, los únicos espacios proyectivos de dimensión distinta de 2 son las geometrías proyectivas clásicas sobre un cuerpo (o anillo de división ). Sin embargo, David Hilbert descubrió que algunos planos proyectivos no lo satisfacen. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El estado actual del conocimiento sobre estos ejemplos no es completo. ^{[ 4 ]}

Existen numerosos ejemplos de planos no desarguesianos, tanto finitos como infinitos. Algunos ejemplos conocidos de planos no desarguesianos infinitos incluyen:

• El avión Moulton .
• Planos de Moufang sobre álgebras de división alternativas que no son asociativas, como el plano proyectivo sobre los octoniones . Dado que todos los anillos de división alternativos finitos son cuerpos ( teorema de Artin-Zorn ), los únicos planos de Moufang no desarguesianos son infinitos.

En cuanto a los planos finitos no desarguesianos, todo plano proyectivo de orden como máximo 8 es desarguesiano, pero existen tres ejemplos no desarguesianos de orden 9, cada uno con 91 puntos y 91 líneas. ^{[ 5 ]} Son los siguientes:

• El plano de Hughes de orden 9.
• El plano de Hall de orden 9. Descubierto inicialmente por Veblen y Wedderburn , este plano fue generalizado a una familia infinita de planos por Marshall Hall . Los planos de Hall son una subclase de los planos de André, que son más generales .
• El dual del plano de Hall de orden 9.

Se conocen numerosas otras construcciones de planos no desarguesianos, tanto finitos como infinitos; véase, por ejemplo, Dembowski (1968) . Todas las construcciones conocidas de planos no desarguesianos finitos producen planos cuyo orden es una potencia prima propia, es decir, un entero de la forma p ^e , donde p es un primo y e es un entero mayor que 1.

Hanfried Lenz propuso un esquema de clasificación para planos proyectivos en 1954, ^{[ 6 ]} que fue perfeccionado por Adriano Barlotti en 1957. ^{[ 7 ]} Este esquema se basa en los tipos de transitividad punto - línea permitidos por el grupo de colineación del plano y se conoce como la clasificación de Lenz - Barlotti de planos proyectivos . La lista de 53 tipos se encuentra en Dembowski (1968 , pp. 124-125) y una tabla con los resultados de existencia conocidos hasta entonces (tanto para grupos de colineación como para planos que poseen dicho grupo de colineación) en los casos finito e infinito aparece en la página 126. En 2007, "36 de ellos existen como grupos finitos. Entre 7 y 12 existen como planos proyectivos finitos, y 14 o 15 existen como planos proyectivos infinitos". ^{[ 4 ]} 

Existen otros esquemas de clasificación. Uno de los más sencillos se basa en tipos especiales de anillos ternarios planares (PTR) que pueden utilizarse para coordinar el plano proyectivo. Estos tipos son campos , campos sesgados , anillos de división alternativos , semicampos , campos cercanos , campos cercanos derechos , cuasicampos y cuasicampos derechos . ^{[ 8 ]}

En un plano proyectivo desarguesiano, una cónica puede definirse de varias maneras diferentes que pueden demostrarse como equivalentes. En planos no desarguesianos, estas demostraciones ya no son válidas y las diferentes definiciones pueden dar lugar a objetos no equivalentes. ^{[ 9 ]} Theodore G. Ostrom sugirió el nombre de conicoide para estas figuras de tipo cónico, pero no proporcionó una definición formal y el término no parece ser de uso generalizado. ^{[ 10 ]}

Existen varias formas de definir las cónicas en los planos de Desargues:

1. El conjunto de puntos absolutos de una polaridad se conoce como cónica de von Staudt . Si el plano se define sobre un campo de característica dos, solo se obtienen cónicas degeneradas .
2. El conjunto de puntos de intersección de las líneas correspondientes de dos haces de rayos que están relacionados proyectivamente, pero no en perspectiva, se conoce como cónica de Steiner . Si los haces de rayos están relacionados en perspectiva, la cónica es degenerada.
3. El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación homogénea irreducible de grado dos.

Además, en un plano desarguesiano finito:

4. Un conjunto de q + 1 puntos, sin tres puntos colineales, en PG(2, q ) se denomina óvalo . Si q es impar, según el teorema de Segre , un óvalo en PG(2, q ) es una cónica, en el sentido 3 anterior.
5. Una cónica de Ostrom se basa en una generalización de los conjuntos armónicos.

Artzy ha dado un ejemplo de una cónica de Steiner en un plano de Moufang que no es una cónica de von Staudt. ^{[ 11 ]} Garner da un ejemplo de una cónica de von Staudt que no es una cónica de Ostrom en un plano semifijo finito. ^{[ 9 ]}

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• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Manual de diseños combinatorios (2.ª  ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 1-58488-506-8
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer Verlag
• Hall, Marshall (1943), "Planos proyectivos", Transactions of the American Mathematical Society , 54 (2), American Mathematical Society: 229–277 , doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892   
• Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Planos proyectivos , Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Kárteszi, F. (1976), Introducción a las geometrías finitas , Ámsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
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