Avión Dehn

En geometría , Max Dehn introdujo dos ejemplos de planos, una geometría semieuclidiana y una geometría no legendriana , que poseen infinitas rectas paralelas a una dada que pasan por un punto dado, pero donde la suma de los ángulos de un triángulo es al menos π . Un fenómeno similar ocurre en la geometría hiperbólica , excepto que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que π . Los ejemplos de Dehn utilizan un cuerpo no arquimediano, por lo que se viola el axioma arquimediano . Fueron introducidos por Max Dehn ( 1900 ) y analizados por Hilbert (1902 , pp. 127-130, o pp. 42-43 en algunas ediciones posteriores) . 

Para construir sus geometrías, Dehn utilizó un campo pitagórico ordenado no arquimediano Ω( t ), una clausura pitagórica del campo de funciones racionales R ( t ), que consiste en el campo más pequeño de funciones de valor real en la recta real que contiene las constantes reales, la función identidad t (que toma cualquier número real sobre sí mismo) y cerrado bajo la operación${\textstyle \omega \mapsto {\sqrt {1+\omega ^{2}}}}$El campo Ω( t ) se ordena asignando x  > y si la función x es mayor que y para números reales suficientemente grandes. Un elemento x de Ω( t ) se denomina finito si m < x < n para ciertos enteros m y n , y se denomina infinito en caso contrario.     

El conjunto de todos los pares ( x , y ), donde x e y son cualesquiera elementos (posiblemente infinitos) del campo Ω( t ), y con la métrica usual 

${\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

que toma valores en Ω( t ), da un modelo de geometría euclidiana . El postulado de las paralelas es verdadero en este modelo, pero si la desviación de la perpendicular es infinitesimal (es decir, menor que cualquier número racional positivo), las líneas que se intersecan se intersecan en un punto que no está en la parte finita del plano. Por lo tanto, si el modelo se restringe a la parte finita del plano (puntos ( x , y ) con x e y finitos), se obtiene una geometría en la que el postulado de las paralelas no se cumple pero la suma de los ángulos de un triángulo es π . Esta es la geometría semieuclidiana de Dehn. Se discute en Rucker (1982 , pp. 91-92) .

En el mismo artículo, Dehn también construyó un ejemplo de una geometría no legendriana donde hay infinitas líneas que pasan por un punto sin encontrarse con otra línea, pero la suma de los ángulos de un triángulo excede π . La geometría elíptica de Riemann sobre Ω( t ) consiste en el plano proyectivo sobre Ω( t ), que puede identificarse con el plano afín de puntos ( x : y :1) junto con la "línea en el infinito", y tiene la propiedad de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que π. La geometría no legendriana consiste en los puntos ( x : y :1) de este subespacio afín tales que tx y ty son finitos (donde, como se indicó anteriormente, t es el elemento de Ω( t ) representado por la función identidad ). El teorema de Legendre afirma que la suma de los ángulos de un triángulo es como máximo π , pero presupone el axioma de Arquímedes, y el ejemplo de Dehn muestra que el teorema de Legendre no tiene por qué cumplirse si se omite el axioma de Arquímedes.

• Dehn, Max (1900), "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck" , Mathematische Annalen , 53 (3): 404– 439, doi : 10.1007/BF01448980 , ISSN 0025-5831 , JFM 31.0471.01 , S2CID 122651688   
• Hilbert, David (1902), Los fundamentos de la geometría (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216 
• Rucker, Rudy (1982), El infinito y la mente. La ciencia y la filosofía del infinito , Boston, Mass.: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1, MR 0658492