campo pitagórico

En álgebra , un cuerpo pitagórico es un cuerpo en el que toda suma de dos cuadrados es un cuadrado; equivalentemente, tiene un número de Pitágoras igual a 1. Una extensión pitagórica de un cuerpo${\displaystyle F}$es una extensión obtenida al adjuntar un elemento${\displaystyle {\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}$para algunos${\displaystyle \lambda }$en${\displaystyle F}$. Por lo tanto, un cuerpo pitagórico es aquel cerrado bajo extensiones pitagóricas. Para cualquier cuerpo${\displaystyle F}$Existe un campo pitagórico mínimo.${\textstyle F^{\mathrm {py} }}$que lo contiene, único salvo isomorfismo , llamado su clausura pitagórica . ^{[ 1 ]} El cuerpo de Hilbert es el cuerpo pitagórico ordenado mínimo. ^{[ 2 ]}

Todo cuerpo euclidiano (un cuerpo ordenado en el que todos los elementos no negativos son cuadrados) es un cuerpo pitagórico ordenado, pero lo contrario no se cumple. ^{[ 3 ]} Un cuerpo cuadráticamente cerrado es un cuerpo pitagórico, pero no a la inversa (${\displaystyle \mathbf {R} }$es pitagórico); sin embargo, un cuerpo pitagórico no formalmente real es cuadráticamente cerrado. ^{[ 4 ]}

El anillo de Witt de un cuerpo pitagórico es de orden 2 si el cuerpo no es formalmente real , y libre de torsión en caso contrario. ^{[ 1 ]} Para un cuerpo${\displaystyle F}$Existe una secuencia exacta que involucra los anillos de Witt.

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Tor} IW(F)\rightarrow W(F)\rightarrow W(F^{\mathrm {py} })}$

dónde${\displaystyle IW(F)}$es el ideal fundamental del anillo de Witt de${\displaystyle F}$^{[ 5 ]} y${\displaystyle \operatorname {Tor} IW(F)}$denota su subgrupo de torsión (que es simplemente el nilradical de${\displaystyle W(F)}$). ^{[ 6 ]}

Los campos pitagóricos pueden usarse para construir modelos para algunos de los axiomas de Hilbert para la geometría ( Iyanaga y Kawada 1980 , 163 C) . La geometría de coordenadas dada por${\displaystyle F^{n}}$para${\displaystyle F}$Un cuerpo pitagórico satisface muchos de los axiomas de Hilbert, como los axiomas de incidencia, los de congruencia y los de paralelismos. Sin embargo, en general, esta geometría no tiene por qué satisfacer todos los axiomas de Hilbert a menos que el cuerpo F posea propiedades adicionales: por ejemplo, si el cuerpo también es ordenado, la geometría satisfará los axiomas de ordenación de Hilbert, y si el cuerpo también es completo, la geometría satisfará el axioma de completitud de Hilbert.

El cierre pitagórico de un cuerpo ordenado no arquimediano , como el cierre pitagórico del cuerpo de funciones racionales.${\displaystyle \mathbf {Q} (x)}$en una variable sobre los números racionales${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$puede utilizarse para construir geometrías no arquimedianas que satisfacen muchos de los axiomas de Hilbert pero no su axioma de completitud. ^{[ 10 ]} Dehn utilizó un campo de este tipo para construir dos planos de Dehn , ejemplos de geometría no legendriana y geometría semieuclidiana respectivamente, en los que hay muchas líneas que pasan por un punto que no intersecan una línea dada pero donde la suma de los ángulos de un triángulo es al menos π. ^{[ 11 ]}

Este teorema establece que si E / F es una extensión de cuerpo finita y E es pitagórico, entonces F también lo es . ^{[ 12 ]} En consecuencia, ningún cuerpo numérico algebraico es pitagórico, puesto que todos esos cuerpos son finitos sobre Q , que no es pitagórico. ^{[ 13 ]}

Un cuerpo superpitagórico F es un cuerpo formalmente real con la propiedad de que si S es un subgrupo de índice 2 en F ^∗ y no contiene −1, entonces S define un orden en F. Una definición equivalente es que F es un cuerpo formalmente real en el que el conjunto de cuadrados forma un abanico . Un cuerpo superpitagórico es necesariamente pitagórico. ^{[ 12 ]}

Se cumple el análogo del teorema de Diller-Dress: si E / F es una extensión finita y E es superpitagórico, entonces F también lo es . ^{[ 14 ]} En sentido contrario, si F es superpitagórico y E es un cuerpo formalmente real que contiene a F y está contenido en la clausura cuadrática de F, entonces E es superpitagórico. ^{[ 15 ]}

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