campo ordenado no arquimediano

En matemáticas , un cuerpo ordenado no arquimediano es un cuerpo ordenado que no satisface la propiedad arquimediana . Dichos cuerpos contendrán elementos infinitesimales e infinitamente grandes, definidos adecuadamente.

Supongamos que F es un cuerpo ordenado . Decimos que F satisface la propiedad arquimediana si, para cada par de elementos positivos x e y de F , existe un número natural n tal que nx > y . Aquí, n denota el elemento del cuerpo resultante de formar la suma de n copias del elemento del cuerpo 1 , de modo que nx es la suma de n copias de x .

Un campo ordenado que no satisface la propiedad arquimediana es un campo ordenado no arquimediano.

Los cuerpos de los números racionales y de los números reales , con sus ordenaciones habituales, satisfacen la propiedad arquimediana.

Ejemplos de campos ordenados no arquimedianos son el campo de Levi-Civita , los números hiperreales , los números surrealistas , el campo de Dehn y el campo de funciones racionales con coeficientes reales (donde definimos f > g para significar que f ( t )> g ( t ) para t suficientemente grande ).

En un cuerpo ordenado no arquimediano, podemos encontrar dos elementos positivos x e y tales que, para cada número natural n , nx ≤ y . Esto significa que el elemento positivo y / x es mayor que cada número natural n (es decir, es un "elemento infinito"), y el elemento positivo x / y es menor que 1/ n para cada número natural n (es decir, es un "elemento infinitesimal").

Por el contrario, si un cuerpo ordenado contiene un elemento infinito o infinitesimal en este sentido, entonces es un cuerpo ordenado no arquimediano.

Los campos hiperreales , campos ordenados no arquimedianos que contienen los números reales como subcampo, se utilizan para proporcionar una base matemática para el análisis no estándar .

Max Dehn utilizó el campo de Dehn , un ejemplo de un campo ordenado no arquimediano, para construir geometrías no euclidianas en las que el postulado de las paralelas no se cumple, pero aun así los triángulos tienen ángulos que suman π . ^{[ 1 ]}

El campo de las funciones racionales sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$puede utilizarse para construir un cuerpo ordenado que sea Cauchy completo (en el sentido de convergencia de sucesiones de Cauchy) pero que no sean los números reales. ^{[ 2 ]} Esta completitud puede describirse como el cuerpo de series de Laurent formales sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$Es un cuerpo ordenado no arquimediano. A veces, el término «completo» se usa para indicar que se cumple la propiedad de cota superior mínima , es decir, la completitud de Dedekind . No existen cuerpos ordenados no arquimedianos de Dedekind completos. La sutil distinción entre estos dos usos de la palabra «completo» suele generar confusión.