Conjunto errante

En sistemas dinámicos y teoría ergódica , el concepto de conjunto errante formaliza una idea de movimiento y mezcla . Cuando un sistema dinámico posee un conjunto errante de medida distinta de cero, se trata de un sistema disipativo . Esto es lo opuesto a un sistema conservativo , al que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré . Intuitivamente, la conexión entre conjuntos errantes y disipación se comprende fácilmente: si una porción del espacio de fases se "desvía" durante la evolución temporal normal del sistema y nunca vuelve a visitarse, entonces el sistema es disipativo. El lenguaje de los conjuntos errantes puede utilizarse para dar una definición matemática precisa al concepto de sistema disipativo. La noción de conjuntos errantes en el espacio de fases fue introducida por Birkhoff en 1927.

Una definición común y discreta de conjuntos errantes comienza con un mapa.${\displaystyle f:X\to X}$de un espacio topológico X . Un punto${\displaystyle x\in X}$Se dice que es un punto errante si existe un entorno U de x y un entero positivo N tal que para todo${\displaystyle n>N}$, el mapa iterado no se interseca:

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing .}$

Una definición más práctica solo requiere que la intersección tenga medida cero . Para ser precisos, la definición requiere que X sea un espacio de medida , es decir, parte de una terna.${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$de conjuntos Borel${\displaystyle \Sigma }$y una medida${\displaystyle \mu }$de tal manera que

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

a pesar de${\displaystyle n>N}$. De manera similar, un sistema de tiempo continuo tendrá un mapa${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X}$definiendo la evolución temporal o el flujo del sistema, con el operador de evolución temporal.${\displaystyle \varphi }$siendo una acción de grupo abeliana continua de un parámetro sobre X :

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.}$

En tal caso, un punto errante${\displaystyle x\in X}$tendrá un vecindario U de x y un tiempo T tal que para todo tiempo${\displaystyle t>T}$, el mapa evolucionado en el tiempo tiene medida cero:

${\displaystyle \mu \left(\varphi _ {t}(U)\cap U\right)=0.}$

Estas definiciones más simples pueden generalizarse completamente a la acción de grupo de un grupo topológico . Sea${\displaystyle \Omega =(X,\Sigma ,\mu )}$Sea un espacio de medida, es decir, un conjunto con una medida definida en sus subconjuntos de Borel .${\displaystyle \Gamma }$ ser un grupo que actúa en ese escenario. Dado un punto${\displaystyle x\in \Omega }$, el conjunto

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

Se denomina trayectoria u órbita del punto x .

Un elemento${\displaystyle x\in \Omega }$Se denomina punto errante si existe un entorno U de x y un entorno V de la identidad en${\displaystyle \Gamma }$ de tal manera que

${\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0}$

a pesar de${\displaystyle \gamma \en \Gamma -V}$.

Un punto no errante es lo opuesto. En el caso discreto,${\displaystyle x\in X}$es no errante si, para cada conjunto abierto U que contiene a x y cada N > 0, existe algún n > N tal que

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

Se aplican definiciones similares a las acciones grupales en tiempo continuo, discretas y continuas.

Un conjunto errante es una colección de puntos errantes. Más precisamente, un subconjunto W de${\displaystyle \Omega }$es un conjunto errante bajo la acción de un grupo discreto${\displaystyle \Gamma }$si W es medible y si, para cualquier${\displaystyle \gamma \en \Gamma -\{e\}}$la intersección

${\displaystyle \gamma W\cap W}$

es un conjunto de medida cero.

El concepto de conjunto errante es, en cierto sentido, dual a las ideas expresadas en el teorema de recurrencia de Poincaré. Si existe un conjunto errante de medida positiva, entonces la acción de${\displaystyle \Gamma }$Se dice que es disipativo y el sistema dinámico${\displaystyle (\Omega,\Gamma)}$Se dice que es un sistema disipativo . Si no existe tal conjunto errante, se dice que la acción es conservativa y el sistema es un sistema conservativo . Por ejemplo, cualquier sistema para el cual se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré no puede tener, por definición, un conjunto errante de medida positiva; y, por lo tanto, es un ejemplo de un sistema conservativo.

Defina la trayectoria de un conjunto errante W como

${\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.}$

La acción de${\displaystyle \Gamma }$Se dice que es completamente disipativo si existe un conjunto errante W de medida positiva, tal que la órbita${\displaystyle W^{*}}$es casi en todas partes igual a${\displaystyle \Omega }$, es decir, si

${\displaystyle \Omega -W^{*}}$

es un conjunto de medida cero.

La descomposición de Hopf establece que todo espacio de medida con una transformación no singular puede descomponerse en un conjunto conservativo invariante y un conjunto errante invariante.

• Teorema de no existencia de dominio errante

• Nicholls, Peter J. (1989). La teoría ergódica de los grupos discretos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
• Alexandre I. Danilenko y Cesar E. Silva (8 de abril de 2009). Teoría ergódica: transformaciones no singulares ; Véase Arxiv arXiv:0803.2424 .
• Krengel, Ulrich (1985), Teoremas ergódicos , Estudios De Gruyter en Matemáticas, vol.  6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3