Propiedad asociativa

En matemáticas , la propiedad asociativa ^{[ 1 ]} es una propiedad de algunas operaciones binarias que hace que reorganizar los paréntesis en una expresión no cambie el resultado. En lógica proposicional , la asociatividad es una regla de reemplazo válida para expresiones en demostraciones lógicas .

Dentro de una expresión que contiene dos o más ocurrencias consecutivas del mismo operador asociativo, el orden en que se realizan las operaciones no importa siempre que no se altere la secuencia de los operandos . Es decir (después de reescribir la expresión con paréntesis y en notación infija si es necesario), reorganizar los paréntesis en dicha expresión no cambiará su valor. Considere las siguientes ecuaciones:

${\begin{aligned}(2+3)+4&=2+(3+4)=9\,\\2\times (3\times 4)&=(2\times 3)\times 4=24.\end{aligned}}$

Aunque los paréntesis se reorganizaron en cada línea, los valores de las expresiones no se modificaron. Esto siempre se cumple al realizar sumas y multiplicaciones de números reales , ya que son operaciones asociativas.

La asociatividad no es lo mismo que la conmutatividad , que determina si el orden de dos operandos afecta al resultado. Por ejemplo, el orden no importa en la multiplicación de números reales, es decir, $a \times b = b \times a$ , por lo que decimos que la multiplicación de números reales es una operación conmutativa. Sin embargo, operaciones como la composición de funciones y la multiplicación de matrices son asociativas, pero no (generalmente) conmutativas.

Las operaciones asociativas abundan en matemáticas; de hecho, muchas estructuras algebraicas (como semigrupos y categorías ) requieren explícitamente que sus operaciones binarias sean asociativas. Sin embargo, muchas operaciones importantes e interesantes no lo son; algunos ejemplos son la resta , la exponenciación y el producto vectorial . A diferencia de las propiedades teóricas de los números reales, la suma de números de coma flotante en informática no es asociativa, y la elección de cómo asociar una expresión puede tener un efecto significativo en el error de redondeo.

Definición

Formalmente, una operación binaria $\ast$ Una función en un conjunto $S$ se denomina asociativa si satisface la ley asociativa :

(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)

, para todos

x,y,z

en

S.

Aquí, ∗ se usa para reemplazar el símbolo de la operación, que puede ser cualquier símbolo, e incluso la ausencia de símbolo ( yuxtaposición ) como en la multiplicación .

(xy)z=x(yz)

, para todos

x,y,z

en

S.

La ley asociativa también puede expresarse en notación funcional de la siguiente manera: $(f\circ (g\circ h))(x)=((f\circ g)\circ h)(x)$

Ley asociativa generalizada

Si una operación binaria es asociativa, la aplicación repetida de la operación produce el mismo resultado independientemente de cómo se inserten los pares de paréntesis válidos en la expresión. ^{[ 2 ]} Esto se denomina ley asociativa generalizada .

El número de posibles paréntesis es simplemente el número de Catalan , $C_{n}$ , para n operaciones sobre n + 1 valores. Por ejemplo, un producto de 3 operaciones sobre 4 elementos se puede escribir (ignorando las permutaciones de los argumentos), en $C_{3}=5$ posibles maneras:

$((ab)c)d$
$(a(bc))d$
$a((bc)d)$
$a(b(cd))$
$(ab)(cd)$

Si la operación de producto es asociativa, la ley asociativa generalizada dice que todas estas expresiones producirán el mismo resultado. Por lo tanto, a menos que la expresión con paréntesis omitidos ya tenga un significado diferente (ver más abajo), los paréntesis pueden considerarse innecesarios y el producto puede escribirse sin ambigüedad como

abcd

A medida que aumenta el número de elementos, crece rápidamente el número de formas posibles de insertar paréntesis , pero siguen siendo innecesarios para la desambiguación.

Un ejemplo donde esto no funciona es la bicondicional lógica $\leftrightarrow$ . Es asociativa; por lo tanto, $A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C)$ es equivalente a $(A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C$ , pero $A \leftrightarrow B \leftrightarrow C$ significa más comúnmente $(A \leftrightarrow B) y (B \leftrightarrow C)$ , lo cual no es equivalente.

Ejemplos

Algunos ejemplos de operaciones asociativas incluyen los siguientes.

La concatenación de las tres cadenas "hello", " ", "world"se puede calcular concatenando las dos primeras cadenas (obteniendo "hello ") y añadiendo la tercera cadena ( "world"), o uniendo la segunda y la tercera cadena (obteniendo " world") y concatenando la primera cadena ( "hello") con el resultado. Ambos métodos producen el mismo resultado; la concatenación de cadenas es asociativa (pero no conmutativa).
En aritmética , la suma y la multiplicación de números reales son asociativas; es decir, $\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{para todos }}x,y,z\in \mathbb {R}.$ Debido a la asociatividad, los paréntesis de agrupación pueden omitirse sin ambigüedad.
La operación trivial $x * y = x$ (es decir, el resultado es el primer argumento, sin importar cuál sea el segundo argumento) es asociativa pero no conmutativa. Del mismo modo, la operación trivial $x\circ y=y$ (es decir, el resultado es el segundo argumento, sin importar cuál sea el primer argumento) es asociativo pero no conmutativo.
La suma y la multiplicación de números complejos y cuaterniones son asociativas. La suma de octoniones también es asociativa, pero la multiplicación de octoniones no lo es.
Las funciones máximo común divisor y mínimo común múltiplo actúan de forma asociativa. $\left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ para todo }}x,y,z\in \mathbb {Z} .$
Tomando la intersección o la unión de conjuntos : $\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{para todos los conjuntos }}A,B,C.$
Si $M$ es un conjunto y $S$ denota el conjunto de todas las funciones de $M$ a $M$ , entonces la operación de composición de funciones en $S$ es asociativa: $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{para todo }}f,g,h\in S.$
De forma un poco más general, dados cuatro conjuntos $M$ , $N$ , $P$ y $Q$ , con $h : M \to N$ , $g : N \to P$ y $f : P \to Q$ , entonces $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$ Como antes. En resumen, la composición de mapas es siempre asociativa.
En teoría de categorías , la composición de morfismos es asociativa por definición. La asociatividad de los functores y las transformaciones naturales se deduce de la asociatividad de los morfismos.
Consideremos un conjunto con tres elementos, $A$ , $B$ y $C.$ La siguiente operación: es asociativa. Por lo tanto, por ejemplo, $A (B C) = (A B) C = A$ . Esta operación no es conmutativa.
Dado que las matrices representan funciones lineales y la multiplicación de matrices representa la composición de funciones, se puede concluir inmediatamente que la multiplicación de matrices es asociativa. ^{[ 3 ]}
Para los números reales (y para cualquier conjunto totalmente ordenado ), la operación de mínimo y máximo es asociativa: $\max(a,\max(b,c))=\max(\max(a,b),c)\quad {\text{ y }}\quad \min(a,\min(b,c))=\min(\min(a,b),c).$

Lógica proposicional

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional veritativo-funcional estándar, la asociación ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} o la asociatividad ^{[ 6 ]} son dos reglas válidas de reemplazo . Estas reglas permiten mover paréntesis en expresiones lógicas en demostraciones lógicas . Las reglas (utilizando la notación de conectores lógicos ) son:

$(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)$

y

$(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),$

dónde " $\Leftrightarrow$ " es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba por".

conectores funcionales de la verdad

La asociatividad es una propiedad de algunos conectores lógicos de la lógica proposicional veritativo-funcional . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la asociatividad es una propiedad de conectores particulares. Las siguientes expresiones (y sus recíprocas, dado que $\leftrightarrow es conmutativo) son$ tautologías veritativo-funcionales .

Asociatividad de la disyunción: $((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))$
Asociatividad de la conjunción: $((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))$
Asociatividad de la equivalencia: $((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))$

La negación conjunta es un ejemplo de conector funcional de verdad que no es asociativo.

Operación no asociativa

Una operación binaria $*$ En un conjunto S que no satisface la ley asociativa se denomina no asociativo . Simbólicamente,

$(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{para algunos }}x,y,z\in S.$

Para este tipo de operación, el orden de evaluación sí importa. Por ejemplo:

Sustracción: $(5-3)-2\,\neq \,5-(3-2)$
División: $(4/2)/2\,\neq \,4/(2/2)$
Exponenciación: $2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}$
producto vectorial: ${\begin{aligned}\mathbf {i} \times (\mathbf {i} \times \mathbf {j} )&=\mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} \\(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )\times \mathbf {j} &=\mathbf {0} \times \mathbf {j} =\mathbf {0} \end{aligned}}$

Además, aunque la suma es asociativa para sumas finitas, no lo es dentro de sumas infinitas ( series ). Por ejemplo, $(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots =0$ mientras $1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =1.$

Algunas operaciones no asociativas son fundamentales en matemáticas. Suelen aparecer como multiplicaciones en estructuras llamadas álgebras no asociativas , que también incluyen sumas y multiplicaciones escalares . Ejemplos de ello son los octoniones y las álgebras de Lie . En las álgebras de Lie, la multiplicación satisface la identidad de Jacobi en lugar de la ley asociativa; esto permite abstraer la naturaleza algebraica de las transformaciones infinitesimales .

Otros ejemplos son cuasigrupo , cuasicampo , anillo no asociativo y magmas no asociativos conmutativos .

No asociatividad del cálculo de punto flotante

En matemáticas, la suma y la multiplicación de números reales son asociativas. Por el contrario, en informática, la suma y la multiplicación de números de coma flotante no son asociativas, ya que pueden introducirse diferentes errores de redondeo cuando se combinan valores de tamaño distinto en un orden diferente. ^{[ 7 ]}

Para ilustrar esto, consideremos una representación de punto flotante con una mantisa de 4 bits :

(1.000 ₂ ×2 ⁰ + 1.000 ₂ ×2 ⁰ ) + 1.000 ₂ ×2 ⁴ = 1.000 ₂ ×2 ¹ + 1.000 ₂ ×2 ⁴ = 1.00 1 ₂ ×2 ⁴

1.000 ₂ ×2 ⁰ + (1.000 ₂ ×2 ⁰ + 1.000 ₂ ×2 ⁴ ) = 1.000 ₂ ×2 ⁰ + 1.000 ₂ ×2 ⁴ = 1.00 0 ₂ ×2 ⁴

Aunque la mayoría de las computadoras realizan cálculos con 24 o 53 bits de mantisa, ^{[ 8 ]} esto sigue siendo una fuente importante de errores de redondeo, y enfoques como el algoritmo de suma de Kahan son formas de minimizarlos. Puede ser especialmente problemático en la computación paralela. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Notación para operaciones no asociativas

En general, se deben usar paréntesis para indicar el orden de evaluación si una operación no asociativa aparece más de una vez en una expresión (a menos que la notación especifique el orden de otra manera, como ${\dfrac {2}{3/4}}$ Sin embargo, los matemáticos coinciden en un orden de evaluación particular para varias operaciones no asociativas comunes. Se trata simplemente de una convención de notación para evitar paréntesis.

Una operación asociativa izquierda es una operación no asociativa que se evalúa convencionalmente de izquierda a derecha, es decir,

$\left.{\begin{array}{l}a*b*c=(a*b)*c\\a*b*c*d=((a*b)*c)*d\\a*b*c*d*e=(((a*b)*c)*d)*e\quad \\{\mbox{etc.}}\end{array}}\right\}{\mbox{for all }}a,b,c,d,e\in S$

mientras que una operación asociativa derecha se evalúa convencionalmente de derecha a izquierda:

$\left.{\begin{array}{l}x*y*z=x*(y*z)\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\v*w*x*y*z=v*(w*(x*(y*z)))\quad \\{\mbox{etc.}}\end{array}}\right\}{\mbox{for all }}z,y,x,w,v\in S$

Se producen operaciones asociativas tanto por la izquierda como por la derecha. Las operaciones asociativas por la izquierda incluyen las siguientes:

Resta y división de números reales ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}: $x-y-z=(x-y)-z$; $x/y/z=(x/y)/z$
Aplicación de funciones: $(f\,x\,y)=((f\,x)\,y)$

Esta notación puede justificarse por el isomorfismo de currificación , que permite una aplicación parcial.

Las operaciones asociativas por la derecha incluyen las siguientes:

Exponenciación de números reales en notación de superíndice: $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$
La exponenciación se usa comúnmente con paréntesis o de forma asociativa derecha porque una operación de exponenciación asociativa izquierda repetida es de poca utilidad. Las potencias repetidas se reescribirían en su mayoría con multiplicación:; $(x^{y})^{z}=x^{(yz)}$
Formateado correctamente, el superíndice se comporta inherentemente como un conjunto de paréntesis; por ejemplo, en la expresión $2^{x+3}$ La suma se realiza antes de la exponenciación a pesar de que no haya paréntesis explícitos. $2^{(x+3)}$ envuelto alrededor de él. Por lo tanto, dada una expresión como $x^{y^{z}}$ , el exponente completo $y^{z}$ de la base $x$ se evalúa primero. Sin embargo, en algunos contextos, especialmente en la escritura a mano, la diferencia entre ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ , $x^{yz}=x^{(yz)}$ y $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ puede ser difícil de ver. En tal caso, generalmente se sobreentiende la asociatividad derecha.
Definición de función: $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )$; $x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)$
El uso de la notación asociativa derecha para estas operaciones puede justificarse por la correspondencia de Curry-Howard y por el isomorfismo de curry .

Las operaciones no asociativas para las que no se define un orden de evaluación convencional incluyen las siguientes.

Exponenciación de números reales en notación infija ^{[ 16 ]}: $(x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z)$
Operadores de flecha hacia arriba de Knuth: $a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c$; $a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c$
Tomando el producto vectorial de tres vectores: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ for some }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}$
Tomar el promedio por pares de números reales: ${(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}x\neq z.$
Tomando el complemento relativo de conjuntos: $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ .
(Compárese con la no implicación material en lógica).

Historia

William Rowan Hamilton parece haber acuñado el término "propiedad asociativa" ^{[ 17 ]} alrededor de 1844, época en la que contemplaba el álgebra no asociativa de los octoniones que había aprendido de John T. Graves . ^{[ 18 ]}

Relación con la conmutatividad en ciertos casos especiales

En general, las operaciones asociativas no son conmutativas. Sin embargo, bajo ciertas condiciones especiales, la asociatividad puede implicar la conmutatividad. Los operadores asociativos definidos en un intervalo de la recta real son conmutativos si son continuos e inyectivos en ambos argumentos. ^{[ 19 ]} Una consecuencia es que todo operador asociativo continuo sobre dos entradas reales que sea estrictamente creciente en cada una de sus entradas es conmutativo. ^{[ 20 ]}

Véase también

Prueba de asociatividad de la luz
Series telescópicas , el uso de la asociatividad de la adición para cancelar términos en una serie infinita.
Un semigrupo es un conjunto con una operación binaria asociativa.
La conmutatividad y la distributividad son otras dos propiedades de las operaciones binarias que se discuten con frecuencia.
La asociatividad de potencia , la alternatividad , la flexibilidad y la asociatividad N-aria son formas débiles de asociatividad.
Las identidades de Moufang también proporcionan una forma débil de asociatividad.
ecuación de asociatividad

Referencias

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