toro no conmutativo

En matemáticas , y más específicamente en la teoría de las C*-álgebras , los toros no conmutativos A _θ , también conocidos como álgebras de rotación irracional para valores irracionales de θ, forman una familia de C*-álgebras no conmutativas que generalizan el álgebra de funciones continuas en el 2-toro . Muchas propiedades topológicas y geométricas del 2-toro clásico tienen análogos algebraicos para los toros no conmutativos, y como tales son ejemplos fundamentales de un espacio no conmutativo en el sentido de Alain Connes .

Para cualquier número real irracional θ , el toro no conmutativo${\displaystyle A_{\theta }}$es la subálgebra C* de${\displaystyle B(L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ))}$, el álgebra de operadores lineales acotados sobre funciones de cuadrado integrable en el círculo unitario${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$generado por dos operadores unitarios${\displaystyle U,V}$definido como

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)(z)&=zf(z)\\V(f)(z)&=f(ze^{-2\pi i\theta }).\end{aligned}}}$

Un cálculo rápido muestra que VU = e ^{−2π i θ} UV . ^{[ 1 ]}

• Propiedad universal: Un _θ puede definirse (salvo isomorfismo) como el álgebra C* universal generada por dos elementos unitarios U y V que satisfacen la relación VU  =  e ^{2π i θ} UV . ^{[ 1 ]} Esta definición se extiende al caso en que θ es racional. En particular, cuando θ  =  0, A _θ es isomorfo a funciones continuas en el 2-toro mediante la transformada de Gelfand .
• Álgebra de rotación irracional: Sea el grupo cíclico infinito Z actuando sobre el círculo S ¹ mediante la acción de rotación por ángulo 2 π iθ . Esto induce una acción de Z por automorfismos sobre el álgebra de funciones continuas C ( S ^{1 ). El} producto cruzado C*- resultante C ( S ¹ ) ⋊ Z es isomorfo a A _θ . Los unitarios generadores son el generador del grupo Z y la función identidad en el círculo z  : S ¹ → C . ^{[ 1 ]}
• Álgebra de grupo retorcida: La función σ  : Z ² × Z ² → C ; σ(( m , n ), ( p , q )) = e ^{2π inpθ} es un 2-cociclo de grupo en Z ^{2 , y el} álgebra de grupo retorcida correspondiente C* ( Z ² ; σ ) es isomorfa a A _θ . 

• Cada álgebra de rotación irracional A _θ es simple, es decir, no contiene ningún ideal cerrado propio de dos lados aparte de${\displaystyle \{0\}}$y sí misma. ^{[ 1 ]}
• Cada álgebra de rotación irracional tiene un estado trazal único . ^{[ 1 ]}
• Las álgebras de rotación irracional son nucleares .

La K-teoría de A _θ es Z ² tanto en dimensión par como impar, por lo que no distingue las álgebras de rotación irracionales. Pero como grupo ordenado , K ₀ ≃ Z + θ Z . Por lo tanto, dos toros no conmutativos A _θ y A _η son isomorfos si y solo si θ  + η o θ − η es un entero. ^{[ 1 ] [ 2 ]}   

Dos álgebras de rotación irracionales A _θ y A _η son fuertemente equivalentes de Morita si y solo si θ y η están en la misma órbita de la acción de SL(2, Z ) sobre R mediante transformaciones lineales fraccionarias . En particular, los toros no conmutativos con θ racional son Morita equivalentes al toro clásico. Por otro lado, los toros no conmutativos con θ irracional son álgebras C* simples. ^{[ 2 ]}