odómetro de Markov

En matemáticas, un odómetro de Markov es un tipo particular de sistema dinámico topológico . Desempeña un papel fundamental en la teoría ergódica y, especialmente, en la teoría de órbitas de sistemas dinámicos , ya que un teorema de H. Dye afirma que toda transformación ergódica no singular es equivalente a un odómetro de Markov en términos de órbitas. ^{[ 1 ]}

El ejemplo básico de dicho sistema es el "odómetro no singular", que es un grupo topológico aditivo definido en el espacio producto de espacios discretos , inducido por la adición definida como${\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}}$, dónde${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$. Este grupo puede ser dotado de la estructura de un sistema dinámico ; el resultado es un sistema dinámico conservativo .

La forma general, que se denomina "odómetro de Markov", se puede construir mediante el diagrama de Bratteli-Vershik para definir el espacio compacto de Bratteli-Vershik junto con una transformación correspondiente.

Se pueden definir varios tipos de odómetros no singulares. ^{[ 2 ]} A veces se les denomina máquinas de sumar . ^{[ 3 ]} El más simple se ilustra con el proceso de Bernoulli . Este es el conjunto de todas las cadenas infinitas en dos símbolos, aquí denotado por${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$dotado de la topología del producto . Esta definición se extiende naturalmente a un odómetro más general definido en el espacio del producto.

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)}$

para alguna secuencia de números enteros${\displaystyle (k_{n})}$con cada${\displaystyle k_{n}\geq 2.}$

El odómetro para${\displaystyle k_{n}=2}$a pesar de${\displaystyle n}$se denomina odómetro diádico , máquina de sumar von Neumann-Kakutani o máquina de sumar diádica .

La entropía topológica de toda máquina de sumar es cero. ^{[ 3 ]} Cualquier aplicación continua de un intervalo con una entropía topológica de cero es topológicamente conjugada a una máquina de sumar, cuando se restringe a su acción sobre el conjunto transitivo topológicamente invariante , con órbitas periódicas eliminadas. ^{[ 3 ]}

odómetro diádico

El conjunto de todas las cadenas infinitas en cadenas de dos símbolos${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$tiene una topología natural , la topología producto , generada por los conjuntos de cilindros . La topología producto se extiende a un álgebra sigma de Borel ; sea${\displaystyle {\mathcal {B}}}$denotan que álgebra. Puntos individuales${\displaystyle x\in \Omega }$se denotan como${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).}$

El proceso de Bernoulli se dota convencionalmente de una colección de medidas , las medidas de Bernoulli, dadas por${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=1)=p}$y${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=0)=1-p}$, para algunos${\displaystyle 0<p<1}$independiente de${\displaystyle n}$. El valor de${\displaystyle p=1/2}$es bastante especial; corresponde al caso especial de la medida de Haar , cuando${\displaystyle \Omega }$se considera un grupo abeliano compacto . Nótese que la medida de Bernoulli no es la misma que la medida 2-ádica en los enteros diádicos . Formalmente, se puede observar que${\displaystyle \Omega }$es también el espacio base para los enteros diádicos; sin embargo, los enteros diádicos están dotados de una métrica , la métrica p-ádica, que induce una topología métrica distinta de la topología de producto utilizada aquí.

El espacio${\displaystyle \Omega }$puede dotarse de suma, definida como suma de coordenadas, con un bit de acarreo. Es decir, para cada coordenada, sea ${\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _ {n}\,{\bmod {\,}}2}$ dónde${\displaystyle \varepsilon _{0}=0}$y

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}}$

inductivamente. El incremento de uno se denomina entonces odómetro (diádico) . Es la transformación${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$dado por${\displaystyle T(x)=x+{\underline {1}}}$, dónde${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$Se le llama odómetro por su aspecto cuando "da la vuelta":${\displaystyle T}$es la transformación${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )}$y eso${\displaystyle T}$es${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-medible, es decir,${\displaystyle T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}}$a pesar de${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.}$

La transformación${\displaystyle T}$es no singular para cada${\displaystyle \mu _{p}}$. Recordemos que una transformación medible${\displaystyle \tau$ :\Omega \to \Omega } no es singular cuando, dado${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}}$, uno tiene eso${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$si y solo si${\displaystyle \mu (\sigma)=0}$En este caso, se encuentra

${\displaystyle {\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }}$

dónde${\displaystyle \varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2}$. Por eso${\displaystyle T}$es no singular con respecto a${\displaystyle \mu _{p}}$.

La transformación${\displaystyle T}$es ergódico . Esto se deduce porque, para cada${\displaystyle x\in \Omega }$y número natural${\displaystyle n}$, la órbita de${\displaystyle x}$bajo${\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}}$es el conjunto${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$Esto a su vez implica que${\displaystyle T}$es conservativo , puesto que toda transformación ergódica no singular invertible en un espacio no atómico es conservativa.

Tenga en cuenta que para el caso especial de${\displaystyle p=1/2}$, eso${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)}$es un sistema dinámico que conserva la medida .

Un concepto estrechamente relacionado con el odómetro conservador es el del modelo de pila de arena abeliana . Este modelo reemplaza la secuencia lineal dirigida de grupos finitos construida anteriormente por un grafo no dirigido.${\displaystyle (V,E)}$de vértices y aristas. En cada vértice${\displaystyle v\in V}$uno coloca un grupo finito${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$con${\displaystyle n=deg(v)}$el grado del vértice${\displaystyle v}$Las funciones de transición se definen mediante el laplaciano del grafo . Es decir, se puede incrementar cualquier vértice en uno; al incrementar el elemento más grande del grupo (de modo que vuelva a cero), cada uno de los vértices vecinos se incrementa en uno.

Los modelos de pila de arena difieren de la definición anterior de un odómetro conservador en tres aspectos. Primero, en general, no hay un vértice único designado como vértice inicial, mientras que en el modelo anterior, el primer vértice es el inicial; es el que se incrementa mediante la función de transición. Segundo, los modelos de pila de arena suelen usar aristas no dirigidas, de modo que el recorrido del odómetro se redistribuye en todas las direcciones. Una tercera diferencia es que los modelos de pila de arena no se suelen aplicar a un grafo infinito, sino que se designa un vértice especial, el "sumidero", que absorbe todos los incrementos y nunca se desborda. El sumidero equivale a eliminar las partes infinitas de un grafo infinito y reemplazarlas por él; o bien, a ignorar todos los cambios posteriores a ese punto de terminación.

Dejar${\displaystyle B=(V,E)}$sea ​​un diagrama de Bratteli-Vershik ordenado , que consiste en un conjunto de vértices de la forma${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}}$(unión disjunta) donde${\displaystyle V^{0}}$es un elemento único y está en un conjunto de aristas${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$(unión disjunta).

El diagrama incluye mapeos de sobreyección de la fuente.${\displaystyle s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}}$y mapeos de sobreyección de rango${\displaystyle r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}}$Suponemos que${\displaystyle e,e'\in E^{(n)}}$son comparables si y solo si${\displaystyle r_{n}(e)=r_{n}(e')}$.

Para este diagrama, observamos el espacio de productos.${\displaystyle \textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$equipado con la topología del producto . Definimos "compacto de Bratteli-Vershik" como el subespacio de caminos infinitos,

${\displaystyle X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ and }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}}$

Supongamos que existe un único camino infinito.${\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$para el cual cada${\displaystyle x_{n}}$es máximo y de manera similar un camino infinito${\displaystyle x_{\text{min}}}$. Definir el "mapa Bratteli-Vershik"${\displaystyle T_{B}:X_{B}\to X_{B}}$por${\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }}$y, para cualquier${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$definir${\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )}$, dónde${\displaystyle k}$es el primer índice para el cual${\displaystyle x_{k}}$no es máximo y en consecuencia, deje${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})}$ser el camino único para el cual${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k-1}}$son todos máximos y${\displaystyle y_{k}}$es el sucesor de${\displaystyle x_{k}}$. Entonces${\displaystyle T_{B}}$es homeomorfismo de${\displaystyle X_{B}}$.

Dejar${\displaystyle P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)}$sea ​​una secuencia de matrices estocásticas${\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)}$de tal manera que${\displaystyle p_{v,e}^{(n)}>0}$si y solo si${\displaystyle v=s_{n}(e)}$. Defina "medida de Markov" en los cilindros de${\displaystyle X_{B}}$por${\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}$Entonces el sistema${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}$Se denomina "odómetro de Markov".

Se puede demostrar que el odómetro no singular es un odómetro de Markov donde todos los${\displaystyle V^{(n)}}$son elementos únicos.

• modelo de pila de arena abeliana

• Aaronson, J. (1997). Introducción a la teoría ergódica infinita . Encuestas y monografías matemáticas. Vol.  50. Sociedad Matemática Americana . págs. 25–32 . ISBN  9781470412814.
• Dooley, Anthony H. (2003). «Odómetros de Markov». En Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.). Temas de dinámica y teoría ergódica. Artículos de revisión y minicursos presentados en la conferencia internacional y taller estadounidense-ucraniano sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, 21-30 de agosto de 2000. Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. Vol.  310. Cambridge: Cambridge University Press . pp. 60-80 . ISBN  0-521-53365-1. Zbl 1063.37005 .